《偏導(dǎo)數(shù)與全微分》PPT課件

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1、機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 1/28四 、 小 結(jié) 思 考 題一 、 偏 導(dǎo) 數(shù)三 、 高 階 偏 導(dǎo) 數(shù)二 、 全 微 分 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 2/28一 、 偏 導(dǎo) 數(shù)1.【 偏 導(dǎo) 數(shù) 的 定 義 】(1)【 二 元 函 數(shù) 在 一 點(diǎn) 處 的 偏 導(dǎo) 數(shù) 】 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 3/28(2)【 二 元 函 數(shù) 在 區(qū) 域 內(nèi) 的 偏 導(dǎo) 數(shù) 】注 意 求 偏 導(dǎo) 的 方 法 ！ 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 4/28偏 導(dǎo) 數(shù) 的 概 念 可 以 推 廣 到 二 元 以 上 函 數(shù)如 u =

2、 f (x , y , z) 在 (x , y , z) 處 ,),(),(lim),( 0 x zyxfzyxxfzyxf xx ,),(),(lim),( 0 y zyxfzyyxfzyxf yy .),(),(lim),( 0 z zyxfzzyxfzyxf zz (3)【 多 元 函 數(shù) 的 偏 導(dǎo) 數(shù) 】 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 5/28例 1 . 求 22 3 yyxxz 解 法 1 xz)2,1(xz解 法 2 )2,1(xz 在 點(diǎn) (1 , 2) 處 的 偏 導(dǎo) 數(shù) .)2,1(yz ,32 yx yz yx 23 ,82312 )2,1(yz 722

3、13 462 xx 1)62( xx 81xz 231 yy 2)23( yy 72yz 先 求 后 代先 代 后 求 再 代 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 6/28【 解 】 xz xyx xyx x 2222 21 1 322 222 )(| yx yy yx .| 22 yx y|)|( 2 yy yz yyx xyx x 2222 21 1 32222 )( )(| yx xyy yx . 1sgn22 yyx x)0( y 00 yxyz 不 存 在 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 7/28 例 7.9 例 7.10 例 7.11 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上

4、 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 8/282.【 有 關(guān) 偏 導(dǎo) 數(shù) 的 幾 點(diǎn) 說(shuō) 明 】(1) 的 方 法 ：求 ),( 00 yxxz ， 再 代 值 ；先 求 出 偏 導(dǎo) 函 數(shù) xz(2) 求 分 界 點(diǎn) 、 不 連 續(xù) 點(diǎn) 處 的 偏 導(dǎo) 數(shù) 要 用 定 義 求 ； ).0,0(),0,0(,),( yx ffxyyxfz 求設(shè) 解 xxf xx 0|0|lim)0,0( 0 0 ).0,0(yf 例 如 . ),( 00 xxxyxfz 的 導(dǎo) 數(shù) ， 再 代 入對(duì)先 求 ).1,(,arcsin)1(),( xfyxyxyxf x求如 ： 設(shè) 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回

5、 結(jié) 束 9/28一 元 函 數(shù) 中 在 某 點(diǎn) 可 導(dǎo) 連 續(xù) ，多 元 函 數(shù) 中 在 某 點(diǎn) 偏 導(dǎo) 數(shù) 存 在 連 續(xù) ，(3). 【 偏 導(dǎo) 數(shù) 存 在 與 連 續(xù) 的 關(guān) 系 】 2 2 ( , ) (0,0)( , ) 0 ( , ) (0,0)( , ) (0,0) .xy x yx yf x y x yf x y 設(shè)求 在 的 偏 導(dǎo) 數(shù) 與 連 續(xù) 性 的 關(guān) 系【 解 】【 例 7.12】 ,)0,0(),( 時(shí)當(dāng) yx 按 定 義 可 知 ：x fxff xx )0,0()0,(lim)0,0( 0 ,00lim0 xx 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束

6、10/28但 函 數(shù) 在 原 點(diǎn) 處 并 不 連 續(xù) (令 y=kx,知 極 限 不 存 在 ,故 不 連 續(xù) ).偏 導(dǎo) 數(shù) 存 在【 思 考 題 】 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) 存 在 . 【 結(jié) 論 】 可 偏 導(dǎo) 連 續(xù)連 續(xù) .y fyff yy )0,0(),0(lim)0,0( 0 ,00lim0 yy 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 11/28(4). 【 偏 導(dǎo) 數(shù) 的 幾 何 意 義 】 ,),(),(,( 00000 上 一 點(diǎn)為 曲 面設(shè) yxfzyxfyxM 如 圖(復(fù) 習(xí) :反 函 數(shù) 求 導(dǎo) 法 則 的 幾 何 意 義 ) 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè)

7、返 回 結(jié) 束 12/28【 幾 何 意 義 】 . tan . tan 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 13/28復(fù) 習(xí) 一 元 函 數(shù) y f x 在 0 x 可 微 0 0f x x f x A x o x 微 分 dy A x 0dy f x x 即二 、 全 微 分 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 14/28),(),( yxfyxxf xyxfx ),(),(),( yxfyyxf yyxfy ),(由 一 元 函 數(shù) 微 分 學(xué) 中 增 量 與 微 分 的 關(guān) 系 得2. 【 全 增 量 的 概 念 】1. 【 偏 增 量 與 偏 微 分 】二 元

8、 函 數(shù)對(duì) x和 對(duì) y的 偏 增 量 二 元 函 數(shù)對(duì) x和 對(duì) y的 偏 微 分 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 15/283.【 全 微 分 定 義 】 )( yBxAz可 微即【 定 義 】 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 16/28函 數(shù) 可 微 的 充 分 條 件 與 必 要 條 件1. 【 可 微 的 必 要 條 件 】 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 17/28事 實(shí) 上 ),(oyBxAz ,0lim0 z),(lim00 yyxxfyx ),(lim0 zyxf ),( yxf可 微 連 續(xù)【 定 理 7.2】 即 ： 機(jī) 動(dòng)

9、 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 18/28 可 導(dǎo) 與 可 微 的 關(guān) 系 : 一 元 函 數(shù) ： 在 某 點(diǎn) 的 導(dǎo) 數(shù) 存 在 微 分 存 在 多 元 函 數(shù) ： 各 偏 導(dǎo) 數(shù) 存 在 全 微 分 存 在 【 結(jié) 論 】 多 元 函 數(shù) 的 各 偏 導(dǎo) 數(shù) 存 在 并 不 能 保 證 全 微分 存 在 。 故 偏 導(dǎo) 數(shù) 存 在 是 可 微 分 的 必 要 條 件 而 不 是充 分 條 件 。 即 可 微 可 偏 導(dǎo)【 警 惕 】 若 偏 導(dǎo) 數(shù) 存 在 ， 雖 能 從 形 式 上 寫 出dyyzdxxz 但 它 不 一 定 是 函 數(shù) 的 全 微 分 . 但 如 果 再 假

10、定 多 元 函 數(shù) 的 各 個(gè) 偏 導(dǎo) 數(shù) 連 續(xù) ， 則可 以 證 明 函 數(shù) 是 可 微 分 的 。 即 有 下 面 的 定 理 。 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 19/28(1)習(xí) 慣 上 ， 記 全 微 分 為 .dyyzdxxzdz (3)全 微 分 的 定 義 （ 或 疊 加 原 理 ） 可 推 廣 到 三 元 及 三元 以 上 函 數(shù) .dzzudyyudxxudu (2)全 微 分 符 合【 注 】2.【 可 微 的 充 分 條 件 】 可 微偏 導(dǎo) 數(shù) 連 續(xù)即 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 20/283. 【 充 要 條 件 】 （ 即

11、是 定 義 ） 0),(),(lim),( 0 yyxfxyxfzyxf yx可 微【 注 意 】 用 全 微 分 定 義 驗(yàn) 證 一 個(gè) 可 導(dǎo) 函 數(shù) 的 可 微 性 只 需 0),(),(lim 00000 yyxfxyxfz yx驗(yàn) 證 例 7.14 偏 微 分 在 近 似 計(jì) 算 中 的 應(yīng) 用 。 例 7.15 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 21/28多 元 函 數(shù) 的 極 限 存 在 、 連 續(xù) 、 可 偏 導(dǎo) 、 可 微 、偏 導(dǎo) 數(shù) 連 續(xù) 之 間 的 關(guān) 系函 數(shù) 可 微函 數(shù) 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) 連 續(xù) 函 數(shù) 可 導(dǎo)極 限 存 在 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上

12、頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 22/28三 、 高 階 偏 導(dǎo) 數(shù)設(shè) z = f (x , y)在 域 D 內(nèi) 存 在 偏 導(dǎo) 數(shù) ),(,),( yxfyzyxfxz yx 若 這 兩 個(gè) 偏 導(dǎo) 數(shù) 仍 存 在 偏 導(dǎo) 數(shù) ，)( xz )( yzx )( xzy ),()( 22 yxfyzyzy yy則 稱 它 們 是 z = f ( x , y ) 的 二 階 偏 導(dǎo) 數(shù) . 按 求 導(dǎo) 順 序 不 同 , 有 下 列 四 個(gè) 二 階 偏 導(dǎo)22xz );,( yxf xx yx z 2 ),( yxf yx);,(2 yxfxyz xyx數(shù) : 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回

13、 結(jié) 束 23/28【 定 義 式 】 x yxfyxxfyxf xxxxx ),(),(lim),( 0 y yxfyyxfyxf xxyxy ),(),(lim),( 0其 余 類 推(2) 同 樣 可 得 ： 三 階 、 四 階 、 、 以 及 n 階 偏 導(dǎo) 數(shù) 。(3) 定 義 二 階 及 二 階 以 上 的 偏 導(dǎo) 數(shù) 統(tǒng) 稱 為 高 階 偏 導(dǎo) 數(shù) 。【 解 】 xz ,33 322 yyyx yz ;92 23 xxyyx 22xz ,6 2xy 22yz ;182 3 xyx 33xz ,6 2y xy z2 .196 22 yyxyxz2 ,196 22 yyx 機(jī) 動(dòng) 目

14、 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 24/28 例 7.17 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 25/28說(shuō) 明 :函 數(shù) 在 其 定 義 區(qū) 域 內(nèi) 是 連 續(xù) 的 , 故 求 初 等 函 數(shù) 的 高 階 導(dǎo)數(shù) 可 以 選 擇 方 便 的 求 導(dǎo) 順 序 .因 為 初 等 函 數(shù) 的 偏 導(dǎo) 數(shù) 仍 為 初 等 函 數(shù) ,而 初 等 證 明 具 備 怎 樣 的 條 件 才 能 使 混 合 偏 導(dǎo) 數(shù) 相 等 ？(2)【 問(wèn) 題 】 即 混 合 偏 導(dǎo) 數(shù) 與 求 導(dǎo) 次 序 無(wú) 關(guān) .即 ： 二 階 混 合 偏 導(dǎo) 數(shù) 在 連 續(xù) 的 條 件 下 與 求 導(dǎo) 的 先 后 順

15、序 無(wú) 關(guān) 。例 7.18 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 26/28偏 導(dǎo) 數(shù) 的 定 義 ：偏 導(dǎo) 數(shù) 的 計(jì) 算高 階 偏 導(dǎo) 數(shù) （ 偏 增 量 比 的 極 限 ） 純 偏 導(dǎo)混 合 偏 導(dǎo) （ 相 等 的 條 件 ）四 、 小 結(jié)可 偏 導(dǎo) 與 連 續(xù) 的 關(guān) 系 ： 可 偏 導(dǎo) 連 續(xù) 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 27/28多 元 函 數(shù) 全 微 分 的 概 念 ；多 元 函 數(shù) 全 微 分 的 求 法 ；多 元 函 數(shù) 極 限 、 連 續(xù) 、 可 導(dǎo) 、 可 微 的 關(guān) 系 （ 注 意 ： 與 一 元 函 數(shù) 有 很 大 區(qū) 別 ）可 微 的 條 件 必 要 條 件 （ 定 理 2）充 分 條 件 （ 定 理 3）充 要 條 件 （ 定 義 ） 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 28/28【 思 考 題 】