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1、第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 中值定理中值定理一、羅爾定理一、羅爾定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理12一、羅爾(Rolle)定理例如例如,3點擊圖片任意處播放點擊圖片任意處播放暫停暫停物理解釋物理解釋:變速直線運動在變速直線運動在折返點處折返點處,瞬時速瞬時速度等于零度等于零.幾何解釋幾何解釋:4證證56注意注意:若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其其結(jié)論可能不成立結(jié)論可能不成立.例如例如,7例例1 1證證由零點定理由零點定理即為方程的小于即為方程的小于1的正實根的正實
2、根.矛盾矛盾,89設(shè) 在0,上連續(xù),在(0,)內(nèi)可導(dǎo),證明至少存在一點(0,),使得 =證明證明:只要證明只要證明 由羅爾定理由羅爾定理,至少存在一至少存在一點點 10求證：存在求證：存在使使 設(shè)設(shè) 可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且在在連續(xù)，連續(xù)，證：證：因此至少存在因此至少存在則則在在 上滿足羅爾定理條件上滿足羅爾定理條件,即即設(shè)輔助函數(shù)設(shè)輔助函數(shù)使得使得例例41114二、拉格朗日(Lagrange)中值定理15幾何解釋幾何解釋:證證分析分析:弦弦AB方程為方程為16作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意:1 1、17拉格朗日中值定理又稱拉格朗日中值定理又稱有限增量定理有限增量定理.18證證:在在I I上任取兩點上任取兩點定理定理3在 上用拉格 朗日中值公式,得由 的任意性知,在 I 上為常數(shù)19例例6 6證證20例例7 7證證由上式得由上式得212223 證明對任意 證明證明：不妨設(shè)不妨設(shè) 因為因為 24三、柯西(Cauchy)中值定理25幾何解釋幾何解釋:證證 作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)2627例例1111證證分析分析:結(jié)論可變形為結(jié)論可變形為2829
(管理) 第三章 第1節(jié) 中值定理
