（江蘇專用）高考數(shù)學總復習 第八篇《第48講　空間幾何體的表面積與體積》理（含解析） 蘇教版

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1、 A級　基礎達標演練 (時間：45分鐘　滿分：80分) 一、填空題(每小題5分，共35分) 1．(2011·常州模擬)在三棱錐S-ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S為直角頂點的等腰直角三角形，且AB＝BC＝CA＝2，則三棱錐S-ABC的表面積是________． 解析　設側棱長為a，則a＝2，a＝，側面積為3××a2＝3，底面積為×22＝，表面積為3＋. 答案　3＋ 2．(2010·湖北)圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8 cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是________cm.

2、 解析　設球的半徑為r cm，則πr2×8＋πr3×3＝πr2×6r.解得r＝4 cm. 答案　4 3．(2010·蘇州模擬)如圖所示，已知一個多面體的平面展開圖由一個邊長為1的正方形和4個邊長為1的正三角形組成，則該多面體的體積是________． 解析　由題知該多面體為正四棱錐，底面邊長為1，側棱長為1，斜高為，連接頂點和底面中心即為高，可求得高為，所以體積V＝×1×1×＝. 答案　 4．(2011·揚州模擬)如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1-ABC1的

3、體積為________． 解析　三棱錐B1-ABC1的體積等于三棱錐A-B1BC1的體積，三棱錐A-B1BC1的高為，底面積為，故其體積為××＝. 答案　 5．某種卷筒衛(wèi)生紙繞在盤上，空盤時盤芯直徑40 mm，滿盤時直徑120 mm，已知衛(wèi)生紙的厚度為0.1 mm，則滿盤時衛(wèi)生紙的總長度大約是________m(π取3.14，精確到1 m)． 解析　衛(wèi)生紙總長度為≈3.14×32 000＝100 480(mm)≈100(m)． 答案　100 6．(2010·蘇州模

4、擬)已知一個凸多面體共有9個面，所有棱長均為1，其平面展開圖如圖所示，則該凸多面體的體積V＝________. 解析　該凸多面體由一個正方體及一個正四棱錐組成， 因為正方體的棱長為1，所以V正方體＝13＝1， 因為正四棱錐的棱長全為1， 所以正四棱錐的底面積為1×1＝1， 又因為正四棱錐的高為＝， 所以此凸多面體的體積V＝1＋×1×＝1＋. 答案　1＋ 7．空間點到平面的距離定義如下：過空間一點作平面的垂線，這點和垂足之間的距離叫做這個點到這個平面的距離，平面α，β，γ兩兩互相垂直，點A∈α，點A到平面β，γ的距離都是3，點P是α上的動點，且滿足P到β的距離是P到點A距離的

5、2倍，則點P到平面γ的距離的最小值為________． 解析　由題意，可在平面α建立直角坐標系如圖所示，問題變?yōu)橐阎狿B＝2PA，求PC的最小值，設P(x，y)，則有3－x＝2，即4y2＝－3(x＋1)2＋12≤12，y≤，所以PC＝3－y≥3－，故所求的最小值為3－. 答案　3－ 二、解答題(每小題15分，共45分) 8．在四面體的六條棱中，有五條棱長都等于a. (1)求該四面體的體積的最大值； (2)當四面體的體積最大時，求其表面積． 解　(1)如圖，在四面體ABCD中，設AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取A

6、D的中點為P，BC的中點為E，連接BP、EP、CP. 得到AD⊥平面BPC， ∴VABCD＝VABPC＋VDBPC ＝·S△BPC·AP＋S△BPC·PD ＝·S△BPC·AD ＝··a ·x ＝ ≤·＝a3(當且僅當x＝a時取等號)． ∴該四面體的體積的最大值為a3. (2)由(1)知，△ABC和△BCD都是邊長為a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰長為a，底邊長為a，∴S表＝2×a2＋2××a× ＝a2＋a× ＝a2＋ ＝a2. 9．一個正三棱錐的底面邊長為6，側棱長為，求這個三棱錐的體積．

7、 解　如圖所示，正三棱錐S -ABC. 設H為正△ABC的中心，連接SH， 則SH的長即為該正三棱錐的高． 連接AH并延長交BC于E， 則E為BC的中點，且AH⊥BC. 因為△ABC是邊長為6的正三角形， ∴AE＝×6＝3，所以AH＝AE＝2. 在△ABC中，S△ABC＝BC·AE＝×6×3＝9. 在Rt△SHA中，SA＝，AH＝2， 所以SH＝＝＝， 故V正三棱錐＝S△ABC·SH＝×9×＝9. 10．如圖所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為a的正三角形，側棱長等于b，一條側棱AA1和底面相鄰兩邊AB、AC都成45°角，求這個三棱柱的側面積．

8、 解　求斜棱柱的側面積一般有兩種方法：一是定義法；二是公式法． 因為AA1和底面AB、AC成等角，且為45°角， 所以A1在底面ABC上的射影在∠BAC的平分線AG上， 又△ABC為正三角形，所以AG⊥BC. 因為A1A在底面ABC上的射影在AG上，所以BC⊥A1A. 又A1A∥B1B，所以B1B⊥BC，即側面B1BCC1為矩形． 所以SB1BCC1＝B1B·BC＝ab. 又側面A1ABB1和側面A1ACC1都是平行四邊形，且全等， 所以SA1ABB1＝SA1ACC1＝A1A·AB·sin 45°＝ab， 故S側＝(＋1)ab. B級　綜合創(chuàng)新備

9、選 (時間：30分鐘　滿分：60分) 一、填空題(每小題5分，共30分) 1．(2011·南京模擬)用半徑為R的半圓形鐵皮卷成一個圓錐桶，那么這個圓錐的高是________． 解析　底面圓的周長為πR，底面圓的半徑為，所以圓錐高為h＝＝R. 答案　R 2．(2011·南京調(diào)研)如圖，已知正三棱柱ABC -A1B1C1的底面邊長為2 cm，高為5 cm，則一質(zhì)點自點A出發(fā)，沿著三棱柱的側面繞行兩周到達點A1的最短路線的長為________cm. 解析　根據(jù)題意，利用分割法將原

10、三棱柱分割為兩個相同的三棱柱，然后將其展開為如圖所示的實線部分，則可知所求最短路線的長為＝13 cm. 答案　13 3．正方體ABCD -A1B1C1D1的棱長為2，點M是BC的中點，點P是平面ABCD內(nèi)的一個動點，且滿足PM＝2，P到直線A1D1的距離為，則點P的軌跡是________． 解析　由PM＝2，知點P在以M為圓心，2為半徑的圓上．又由P到直線A1D1的距離為，知點P在與BC平行且過AB中點的直線上，故點P的軌跡是它們的交點，即為兩點． 答案　兩個點 4．(2011·揚州中學沖刺)在120°的二面角內(nèi)放置一個小球，它與二面角的兩個面相切于A、B兩點，這兩個點的距離AB

11、＝5，則小球的半徑為________． 解析　如圖，在△ABC中，AC＝BC，AB＝5，∠ACB＝120°，所以∠AOB＝60°，所以△AOB是等邊三角形，OA＝OB＝AB＝5. 答案　5 5．(2011·南京模擬)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AA1＝3，M為線段B1B上的一動點，則當AM＋MC1最小時，△AMC1的面積為________． 解析　如圖，當AM＋MC1最小時，BM＝1，所以AM2＝2，C1M2＝8，AC＝14，于是由余弦定理，得cos∠AMC1＝＝－， 所以sin∠AMC1＝，S△AMC1＝××2×＝. 答案　 6．如圖，在

12、透明塑料制成的長方體ABCD-A1B1C1D1容器內(nèi)灌進一些水，將容器底面一邊BC固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個說法： ①水的部分始終呈棱柱狀； ②水面四邊形EFGH的面積不改變； ③棱A1D1始終與水面EFGH平行； ④當E∈AA1時，AE＋BF是定值． 其中所有正確的命題的序號是________． 解析　觀察圖形并試驗可知①正確，②不正確；③正確．④中AE＝B1F，BF＝A1E，所以AE＋BF＝AA1為定值，故正確命題是①③④. 答案?、佗邰? 二、解答題(每小題15分，共30分) 7．給出一塊邊長為2的正三角形紙片，

13、把它折成一個側棱長與底面邊長都相等的三棱錐，并使它的全面積與原三角形面積相等，設計一種折疊方法，用虛線標在圖中，并求該三棱錐的體積． 解　取等邊三角形三邊的中點A、B、C，連結AB、BC、CA得正三角形的三條中位線，以中位線為折線折起三角形，使三角形三頂點重合，則得側棱長與底面邊長都等于1的三棱 錐S-ABC，作SO⊥平面ABC，連結并延長CO交AB于E，則E是AB的中點，連結SE. 因為O是△ABC的內(nèi)心， 所以OC＝CE＝×＝ 在Rt△SOC中，SC＝1， SO＝＝＝， 故VS-ABC＝S△ABC×SO＝×CE×AB×SO ＝××1×＝. 8．如圖所示，在平行四邊形ABC

14、D中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD. (1)求證：AB⊥DE； (2)求三棱錐E-ABD的側面積． (1)證明　在△ABD中，因為AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°， 所以BD＝＝2， 所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD. 又因為平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB?平面ABD，所以AB⊥平面EBD. 又因為DE?平面EBD，所以AB⊥DE. (2)解　由(1)知AB⊥BD，因為CD∥AB， 所以CD⊥BD，從而DE⊥BD， 在Rt△DBE中，由DB＝2，DE＝DC＝AB＝2， 得S△BDE＝DB·DE＝2. 又因為AB⊥平面EBD，BE?平面EBD， 所以AB⊥BE.因為BE＝BC＝AD＝4， 所以S△ABE＝AB·BE＝4， 因為DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD， 所以ED⊥平面ABD，而AD?平面ABD，所以ED⊥AD， 所以S△ADE＝AD·DE＝4. 綜上，三棱錐E-ABD的側面積S＝8＋2.