專(zhuān)題11相似三角形及銳角三角函數(shù)問(wèn)題原卷版蘇科版

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1、 2020年中考數(shù)學(xué)必考經(jīng)典題講練案【蘇科版】 專(zhuān)題11相似三角形及銳角三角函數(shù)問(wèn)題 【方法指導(dǎo)】 1.判定三角形相似的思路： ①條件中若有平行線(xiàn)，可用平行線(xiàn)找出相等的角而判定； ②條件中若有一對(duì)等角，可再找一對(duì)等角或再找?jiàn)A這對(duì)等角的兩組邊對(duì)應(yīng)成比例； ③條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例可找?jiàn)A角相等； ④條件中若有一對(duì)直角，可考慮再找一對(duì)等角或證明直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)成比例； ⑤條件中若有等腰關(guān)系，可找頂角相等或找一對(duì)底角相等或找底、腰對(duì)應(yīng)成比例. 2.相似的基本模型 （1）熟悉利用利用相似求解問(wèn)題的基本圖形 ，可以迅速找到解題思路，事半功倍. （2）證明等積式

2、或者比例式的一般方法：經(jīng)常把等積式化為比例式，把比例式的四條線(xiàn)段分別看做兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊.然后，通過(guò)證明這兩個(gè)三角形相似，從而得出結(jié)果. 3.銳角三角函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題： (1)弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，建立數(shù)學(xué)模型； (2)將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題； (3)選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確； (4)得出數(shù)學(xué)問(wèn)題 的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，從而得 到問(wèn)題的解． 【題型剖析】 【類(lèi)型1】平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理 【例1】（2019?淮安）如圖，，直線(xiàn)、與、、分別相交于點(diǎn)、、和點(diǎn)、、．若，，，則　?。?/p>

3、 【變式1-1】（2019秋?淮陰區(qū)期中）如圖，已知，，，，則的值　　 A． B． C． D．1 【變式1-2】（2019秋?高新區(qū)模擬）如圖，在中，、分別在、上，，交于，那么下列比例式中正確的是　　 A． B． C． D． 【類(lèi)型2】相似三角形的性質(zhì) 【例2】（2019?丹陽(yáng)市模擬）如圖，為斜邊中點(diǎn)，，，，在邊上，，若與相似，則　． 【變式2-1】（2018秋?興化市期末）已知，頂點(diǎn)、、分別與、、對(duì)應(yīng)，若，的周長(zhǎng)是，則的周長(zhǎng)是　 ?。? 【變式2-2】（2018秋?梁溪區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知是面積為的等邊三角形，，，，與相交于點(diǎn)，則點(diǎn)到線(xiàn)段的距離等于（結(jié)果保留根

4、號(hào)）　?。? 【變式2-3】（2019秋?秦淮區(qū)校級(jí)月考）如圖，，，，，在邊上取點(diǎn)，使得與相似，則滿(mǎn)足條件的長(zhǎng)為 ?。? 【類(lèi)型3】位似變換 【例3】（2019?鎮(zhèn)江模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為位似中心，把圖形按相似比放大得到圖形（即所得圖形與原圖形的相似比為，在圖形上，則圖形上與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)______． 【變式3-1】．（2019?興化市模擬）如圖，與位似，點(diǎn)位似中心，且，則　?。? 【變式3-2】（2019?亭湖區(qū)一模）線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，以原點(diǎn)為位似中心，在第一象限內(nèi)將線(xiàn)段縮小為原來(lái)的后得線(xiàn)段與對(duì)應(yīng)），則點(diǎn)的坐標(biāo)為　?。? 【類(lèi)型4】相似三角

5、形的性質(zhì)與判定 ．【例4】（2019秋?東臺(tái)市期末）如圖1，中，，是的高． （1）求證：． （2）與相似嗎？為什么？ （3）如圖2，設(shè)，，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接，求的長(zhǎng)． 【變式4-1】（2019秋?江陰市期末）如圖，中，，是的中點(diǎn)，于． （1）求證：； （2）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)． 【變式4-2】（2019秋?沭陽(yáng)縣期末）如圖，直線(xiàn)與相切于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)． （1）求證：； （2）若，，求的長(zhǎng)度． 【類(lèi)型5】相似三角形的應(yīng)用 【例5】（2019秋?雨花臺(tái)區(qū)期末）新建馬路需要在道路兩旁安裝路燈、種植樹(shù)苗．如圖，某道路一側(cè)路燈在兩棵同樣高度的樹(shù)苗

6、和之間，樹(shù)苗高，兩棵樹(shù)苗之間的距離為，在路燈的照射下，樹(shù)苗的影長(zhǎng)為，樹(shù)苗的影長(zhǎng)為，點(diǎn)、、、、在一條直線(xiàn)上．求路燈的高度． 【變式5-1】（2019?宜興市二模）小亮同學(xué)想利用影長(zhǎng)測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，如圖，他在某一時(shí)刻立1米長(zhǎng)的標(biāo)桿測(cè)得其影長(zhǎng)為1.2米，同時(shí)旗桿的投影一部分在地面上處，另一部分在某一建筑的墻上處，分別測(cè)得其長(zhǎng)度為9.6米和2米，求旗桿的高度． 【變式5-2】（2019?淮陰區(qū)一模）《鐵血紅安》在中央一臺(tái)熱播后，吸引了眾多游客前往影視基地游玩．某天小明站在地面上給站在城樓上的小亮照相時(shí)發(fā)現(xiàn)：他的眼睛、涼亭頂端、小亮頭頂三點(diǎn)恰好在一條直線(xiàn)上（如圖）．已知小明的眼睛離地面1

7、.65米，涼亭頂端離地面2米，小明到?jīng)鐾さ木嚯x為2米，涼亭離城樓底部的距離為40米，小亮身高1.7米．請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出城樓的高度． 【類(lèi)型6】解直角三角形 【例6】（2019?丹東模擬）如圖，在中，，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，，過(guò)作于，交延長(zhǎng)線(xiàn)于．求的長(zhǎng)． 【變式6-1】（2019?楊浦區(qū)一模）如圖，是的中線(xiàn)，，，．求：（1）的長(zhǎng)；（2）的正弦值． 【類(lèi)型7】銳角三角函數(shù)的應(yīng)用 【例7】（2019?洪澤區(qū)二模）如圖，樓梯的傾斜角為，樓梯底部到墻根垂直距離為，為了改善樓梯的安全性能，準(zhǔn)備重新建造樓梯，使其傾斜角為，求調(diào)整后的樓梯的長(zhǎng)． 【變式7-1】（2019?

8、高淳區(qū)二模）高淳固城湖大橋采用型塔型斜拉橋結(jié)構(gòu)（如甲圖），圖乙是從圖甲抽象出的平面圖．測(cè)得拉索與水平橋面的夾角是，拉索與水平橋面的夾角是，兩拉索頂端的距離為2米，兩拉索底端距離為10米，請(qǐng)求出立柱的長(zhǎng)（結(jié)果精確到0.1米）． （參考數(shù)據(jù)：，， 【變式7-2】（2019?南京一模）如圖是小莉在一次放風(fēng)箏活動(dòng)中某時(shí)段的示意圖，她在處時(shí)的風(fēng)箏線(xiàn)（整個(gè)過(guò)程中風(fēng)箏線(xiàn)近似地看作直線(xiàn)）與水平線(xiàn)構(gòu)成角，線(xiàn)段表示小紅身高1.5米．當(dāng)她從點(diǎn)跑動(dòng)4米到達(dá)點(diǎn)處時(shí)，風(fēng)箏線(xiàn)與水平線(xiàn)構(gòu)成角，此時(shí)風(fēng)箏到達(dá)點(diǎn)處，風(fēng)箏的水平移動(dòng)距離為8米，這一過(guò)程中風(fēng)箏線(xiàn)的長(zhǎng)度保持不變，求風(fēng)箏原來(lái)的高度． （參考數(shù)據(jù)：，，． 【

9、達(dá)標(biāo)檢測(cè)】 1．（2019?常州）若△ABC～△A′BC′，相似比為1：2，則△ABC與△AB′C的周長(zhǎng)的比為（　　） A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4 2．（2019?蘇州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上的一點(diǎn)，且AD＝AB＝2，AD⊥AB．過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AD，DE交AC于點(diǎn)E．若DE＝1，則△ABC的面積為（　　） A．42 B．4 C．25 D．8 3．（2019?杭州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB和AC上，DE∥BC，M為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AM交DE于點(diǎn)N，則（　　） A．ADAN=ANAE B．BDMN=MNCE C

10、．DNBM=NEMC D．DNMC=NEBM 4．（2019?連云港）在如圖所示的象棋盤(pán)（各個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均相等）中，根據(jù)“馬走日”的規(guī)則，“馬”應(yīng)落在下列哪個(gè)位置處，能使“馬”、“車(chē)”、“炮”所在位置的格點(diǎn)構(gòu)成的三角形與“帥”、“相”、“兵”所在位置的格點(diǎn)構(gòu)成的三角形相似（　　） A．①處 B．②處 C．③處 D．④處 5．（2019?蘇州）如圖，小亮為了測(cè)量校園里教學(xué)樓AB的高度，將測(cè)角儀CD豎直放置在與教學(xué)樓水平距離為183m的地面上，若測(cè)角儀的高度是1.5m．測(cè)得教學(xué)樓的頂部A處的仰角為30．則教學(xué)樓的高度是（　?。? A．55.5m B．54m C．19.5m D．1

11、8m 6．（2019?本溪）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是A（4，2），B（5，0），以點(diǎn)O為位似中心，相似比為12，把△ABO縮小，得到△A1B1O，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為　 ?。? 7．（2019?蘇州）如圖，一塊含有45角的直角三角板，外框的一條直角邊長(zhǎng)為8cm，三角板的外框線(xiàn)和與其平行的內(nèi)框線(xiàn)之間的距離均為2cm，則圖中陰影部分的面積為　 　cm2（結(jié)果保留根號(hào)）． 8．（2019?南京）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線(xiàn)MN交AB于點(diǎn)D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，則AC的長(zhǎng)　?。? 9．（2019?連云港）如圖，在矩形ABCD

12、中，AB＝4，AD＝3，以點(diǎn)C為圓心作⊙C與直線(xiàn)BD相切，點(diǎn)P是⊙C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP交BD于點(diǎn)T，則APAT的最大值是　?。? 10．（2019?徐州）如圖，無(wú)人機(jī)于空中A處測(cè)得某建筑頂部B處的仰角為45，測(cè)得該建筑底部C處的俯角為17．若無(wú)人機(jī)的飛行高度AD為62m，則該建筑的高度BC為 　m． （參考數(shù)據(jù)：sin17≈0.29，cos17≈0.96，tan17≈0.31） 11．（2019?宿遷）如圖，∠MAN＝60，若△ABC的頂點(diǎn)B在射線(xiàn)AM上，且AB＝2，點(diǎn)C在射線(xiàn)AN上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，BC的取值范圍是　?。? 12．（2019?鹽城）如

13、圖，在△ABC中，BC=6+2，∠C＝45，AB=2AC，則AC的長(zhǎng)為　?。? 13．（2019?宿遷）如圖①，在鈍角△ABC中，∠ABC＝30，AC＝4，點(diǎn)D為邊AB中點(diǎn)，點(diǎn)E為邊BC中點(diǎn)，將△BDE繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α度（0≤α≤180）． （1）如圖②，當(dāng)0＜α＜180時(shí)，連接AD、CE．求證：△BDA∽△BEC； （2）如圖③，直線(xiàn)CE、AD交于點(diǎn)G．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠AGC的大小是否發(fā)生變化？如變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如不變，請(qǐng)求出這個(gè)角的度數(shù)； （3）將△BDE從圖①位置繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180，求點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路程． 14．（2019?南京）如圖①，在Rt△ABC中，∠C

14、＝90，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E、F在邊AB上，點(diǎn)G在邊BC上． 小明的作法 1．如圖②，在邊AC上取一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DG∥AB交BC于點(diǎn)G． 2．以點(diǎn)D為圓心，DG長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)E． 3．在EB上截取EF＝ED，連接FG，則四邊形DEFG為所求作的菱形． （1）證明小明所作的四邊形DEFG是菱形． （2）小明進(jìn)一步探索，發(fā)現(xiàn)可作出的菱形的個(gè)數(shù)隨著點(diǎn)D的位置變化而變化……請(qǐng)你繼續(xù)探索，直接寫(xiě)出菱形的個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)的CD的長(zhǎng)的取值范圍． 15．（2019?宿遷）宿遷市政府為了方便市民綠色出行，推出了共享單車(chē)服務(wù)．圖①是某品牌共享單車(chē)放在

15、水平地面上的實(shí)物圖，圖②是其示意圖，其中AB、CD都與地面l平行，車(chē)輪半徑為32cm，∠BCD＝64，BC＝60cm，坐墊E與點(diǎn)B的距離BE為15cm． （1）求坐墊E到地面的距離； （2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)坐墊E到CD的距離調(diào)整為人體腿長(zhǎng)的0.8時(shí)，坐騎比較舒適．小明的腿長(zhǎng)約為80cm，現(xiàn)將坐墊E調(diào)整至坐騎舒適高度位置E，求EE′的長(zhǎng)． （結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：sin64≈0.90，cos64≈0.44，tan64≈2.05） 16．（2019?泰州）某體育看臺(tái)側(cè)面的示意圖如圖所示，觀(guān)眾區(qū)AC的坡度i為1：2，頂端C離水平地面AB的高度為10m，從頂棚的D處看E處的仰角α＝1830′，豎直的立桿上C、D兩點(diǎn)間的距離為4m，E處到觀(guān)眾區(qū)底端A處的水平距離AF為3m．求： （1）觀(guān)眾區(qū)的水平寬度AB； （2）頂棚的E處離地面的高度EF．（sin1830′≈0.32，tanl830′≈0.33，結(jié)果精確到0.1m）