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1、
專題對(duì)點(diǎn)練22 直線與圓及圓錐曲線
1.(2017河南南陽(yáng)、信陽(yáng)等六市一模,理20)
如圖,拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)為F,拋物線上一定點(diǎn)Q(1,2).
(1)求拋物線C的方程及準(zhǔn)線l的方程;
(2)過焦點(diǎn)F的直線(不經(jīng)過點(diǎn)Q)與拋物線交于A,B兩點(diǎn),與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)M,記QA,QB,QM的斜率分別為k1,k2,k3,問是否存在常數(shù)λ,使得k1+k2=λk3成立?若存在λ,求出λ的值;若不存在,說明理由.
解 (1)把Q(1,2)代入y2=2px,得2p=4,
所以拋物線方程為y2=4x,
準(zhǔn)線l的方程為x=-1.
(2)由條件可設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),k≠
2、0.
由拋物線準(zhǔn)線l:x=-1,可知M(-1,-2k).
又Q(1,2),所以k3==k+1,
把直線AB的方程y=k(x-1),代入拋物線方程y2=4x,并整理,可得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=1,
又Q(1,2),則k1=,k2=.
因?yàn)锳,F,B三點(diǎn)共線,所以kAF=kBF=k,
即=k,所以k1+k2==2(k+1),
即存在常數(shù)λ=2,使得k1+k2=2k3成立.
2.已知拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于P,Q兩點(diǎn).
(1)若F在
3、線段AB上,R是PQ的中點(diǎn),證明AR∥FQ;
(2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,求AB中點(diǎn)的軌跡方程.
解 由題知F.設(shè)l1:y=a,l2:y=b,則ab≠0,
且A,B,P,Q,R.
記過A,B兩點(diǎn)的直線為l,
則l的方程為2x-(a+b)y+ab=0.
(1)由于F在線段AB上,故1+ab=0.
記AR的斜率為k1,FQ的斜率為k2,
則k1==-b=k2.
所以AR∥FQ.
(2)設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0),
則S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,
S△PQF=.
由題設(shè)可得2×|b-a|,
所以x1=0(舍去),x1=1.
4、
設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E(x,y).當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),由kAB=kDE可得(x≠1).
而=y,所以y2=x-1(x≠1).
當(dāng)AB與x軸垂直時(shí),E與D重合.
所以,所求軌跡方程為y2=x-1.
3.(2016河南許昌、新鄉(xiāng)、平頂山二模,理20)
已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,過F的直線l交拋物線C于點(diǎn)A,B,當(dāng)直線l的傾斜角是45°時(shí),AB的中垂線交y軸于點(diǎn)Q(0,5).
(1)求p的值;
(2)以AB為直徑的圓交x軸于點(diǎn)M,N,記劣弧的長(zhǎng)度為S,當(dāng)直線l繞F旋轉(zhuǎn)時(shí),求的最大值.
解 (1)拋物線C:x2=2py(p>0)
5、的焦點(diǎn)為F,
當(dāng)l的傾斜角為45°時(shí),l的方程為y=x+.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由得x2-2px-p2=0,
x1+x2=2p,y1+y2=x1+x2+p=3p,得AB中點(diǎn)為D,AB中垂線為y-p=-(x-p),將x=0代入得y=p=5,解得p=2.
(2)設(shè)l的方程為y=kx+1,代入x2=4y得x2-4kx-4=0,|AB|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4,
AB中點(diǎn)為D(2k,2k2+1),
令∠MDN=2α,S=2α·|AB|=α·|AB|,
∴=α,D到x軸的距離|DE|=2k2+1,cos α=.
6、
當(dāng)k2=0時(shí),cos α取最小值,α的最大值為.故的最大值為.
4.在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓與直線x-y=4相切.
(1)求圓O的方程;
(2)若圓O上有兩點(diǎn)M,N關(guān)于直線x+2y=0對(duì)稱,且|MN|=2,求直線MN的方程;
(3)圓O與x軸相交于A,B兩點(diǎn),圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使|PA|,|PO|,|PB|成等比數(shù)列,求的取值范圍.
解 (1)依題意,圓O的半徑r等于原點(diǎn)O到直線x-y=4的距離,即r==2.所以圓O的方程為x2+y2=4.
(2)由題意,可設(shè)直線MN的方程為2x-y+m=0.
則圓心O到直線MN的距離d=,
所以+()2=22,即m=±
7、;.
所以直線MN的方程為2x-y+=0或2x-y-=0.
(3)設(shè)P(x,y),由題意得A(-2,0),B(2,0).
由|PA|,|PO|,|PB|成等比數(shù)列,
得=x2+y2,即x2-y2=2.
因?yàn)?(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1).
由于點(diǎn)P在圓O內(nèi),故
由此得y2<1.
所以的取值范圍為[-2,0). ?導(dǎo)學(xué)號(hào)16804215?
5.(2017山西呂梁二模,理20)
如圖,已知圓N:x2+(y+)2=36,P是圓N上的點(diǎn),點(diǎn)Q在線段NP上,且有點(diǎn)D(0,)和DP上的點(diǎn)M,滿足=2=0.
(1)當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)Q的軌
8、跡方程;
(2)若斜率為的直線l與(1)中所求Q的軌跡交于不同兩點(diǎn)A,B,又點(diǎn)C,求△ABC面積取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的直線l的方程.
解 (1)由題意,MQ是線段DP的中垂線,
∴|NP|=|NQ|+|QP|=|QN|+|QD|=6>|DN|=2,
∴Q的軌跡是以D,N為焦點(diǎn)的橢圓,且c=,a=3,b=2,
∴所求點(diǎn)Q的軌跡方程是=1.
(2)設(shè)l:y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
與橢圓聯(lián)立,可得9x2+6mx+2m2-18=0,
x1+x2=-m,x1·x2=(2m2-18),
|AB|=,
∵C到直線l的距離d=,
又S=|AB|d=,
9、∴m=±3時(shí),S最大,此時(shí)直線l的方程為y=x±3. ?導(dǎo)學(xué)號(hào)16804216?
6.(2017安徽黃山二模,理20)已知橢圓E:=1(a>)的離心率e=,右焦點(diǎn)F(c,0),過點(diǎn)A的直線交橢圓E于P,Q兩點(diǎn).
(1)求橢圓E的方程;
(2)若點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M,求證:M,F,Q三點(diǎn)共線;
(3)當(dāng)△FPQ面積最大時(shí),求直線PQ的方程.
(1)解 由?a=,c=ea==2,則b2=a2-c2=2,故橢圓E的方程是=1.
(2)證明 由(1)可得A(3,0),設(shè)直線PQ的方程為y=k(x-3),
由方程組得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6
10、=0,
依題意Δ=12(2-3k2)>0,得-<k<.
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=.
∵F(2,0),M(x1,-y1),=(2-x1,y1),=(x2-2,y2),
由(2-x1)y2-(x2-2)y1=(2-x1)·k(x2-3)-(x2-2)·k(x1-3)=k[5(x1+x2)-2x1x2-12]=k=0,
得,∴M,F,Q三點(diǎn)共線.
(3)解 設(shè)直線PQ的方程為x=my+3.
由方程組得(m2+3)y2+6my+3=0,
依題意Δ=36m2-12(m2+3)>0,得m2>.
設(shè)P
11、(x1,y1),Q(x2,y2),則y1+y2=-,y1y2=.
∴S△FPQ=|AF|·|y1-y2|=
=
=,
令t=m2+3(t≥3),則S△FPQ=|y1-y2|
=,
∴,t=m2+3=9,即m2=6,m=±時(shí),S△FPQ最大,
∴S△FPQ最大時(shí)直線PQ的方程為x±y-3=0.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題對(duì)點(diǎn)練22 直線與圓及圓錐曲線 理
