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1、
專題對點練22 直線與圓及圓錐曲線
1.(2017河南南陽、信陽等六市一模,理20)
如圖,拋物線C:y2=2px的焦點為F,拋物線上一定點Q(1,2).
(1)求拋物線C的方程及準線l的方程;
(2)過焦點F的直線(不經(jīng)過點Q)與拋物線交于A,B兩點,與準線l交于點M,記QA,QB,QM的斜率分別為k1,k2,k3,問是否存在常數(shù)λ,使得k1+k2=λk3成立?若存在λ,求出λ的值;若不存在,說明理由.
解 (1)把Q(1,2)代入y2=2px,得2p=4,
所以拋物線方程為y2=4x,
準線l的方程為x=-1.
(2)由條件可設直線AB的方程為y=k(x-1),k≠
2、0.
由拋物線準線l:x=-1,可知M(-1,-2k).
又Q(1,2),所以k3==k+1,
把直線AB的方程y=k(x-1),代入拋物線方程y2=4x,并整理,可得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=1,
又Q(1,2),則k1=,k2=.
因為A,F,B三點共線,所以kAF=kBF=k,
即=k,所以k1+k2==2(k+1),
即存在常數(shù)λ=2,使得k1+k2=2k3成立.
2.已知拋物線C:y2=2x的焦點為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點,交C的準線于P,Q兩點.
(1)若F在
3、線段AB上,R是PQ的中點,證明AR∥FQ;
(2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,求AB中點的軌跡方程.
解 由題知F.設l1:y=a,l2:y=b,則ab≠0,
且A,B,P,Q,R.
記過A,B兩點的直線為l,
則l的方程為2x-(a+b)y+ab=0.
(1)由于F在線段AB上,故1+ab=0.
記AR的斜率為k1,FQ的斜率為k2,
則k1==-b=k2.
所以AR∥FQ.
(2)設l與x軸的交點為D(x1,0),
則S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,
S△PQF=.
由題設可得2×|b-a|,
所以x1=0(舍去),x1=1.
4、
設滿足條件的AB的中點為E(x,y).當AB與x軸不垂直時,由kAB=kDE可得(x≠1).
而=y,所以y2=x-1(x≠1).
當AB與x軸垂直時,E與D重合.
所以,所求軌跡方程為y2=x-1.
3.(2016河南許昌、新鄉(xiāng)、平頂山二模,理20)
已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,過F的直線l交拋物線C于點A,B,當直線l的傾斜角是45°時,AB的中垂線交y軸于點Q(0,5).
(1)求p的值;
(2)以AB為直徑的圓交x軸于點M,N,記劣弧的長度為S,當直線l繞F旋轉時,求的最大值.
解 (1)拋物線C:x2=2py(p>0)
5、的焦點為F,
當l的傾斜角為45°時,l的方程為y=x+.
設A(x1,y1),B(x2,y2),
由得x2-2px-p2=0,
x1+x2=2p,y1+y2=x1+x2+p=3p,得AB中點為D,AB中垂線為y-p=-(x-p),將x=0代入得y=p=5,解得p=2.
(2)設l的方程為y=kx+1,代入x2=4y得x2-4kx-4=0,|AB|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4,
AB中點為D(2k,2k2+1),
令∠MDN=2α,S=2α·|AB|=α·|AB|,
∴=α,D到x軸的距離|DE|=2k2+1,cos α=.
6、
當k2=0時,cos α取最小值,α的最大值為.故的最大值為.
4.在直角坐標系xOy中,以坐標原點O為圓心的圓與直線x-y=4相切.
(1)求圓O的方程;
(2)若圓O上有兩點M,N關于直線x+2y=0對稱,且|MN|=2,求直線MN的方程;
(3)圓O與x軸相交于A,B兩點,圓內的動點P使|PA|,|PO|,|PB|成等比數(shù)列,求的取值范圍.
解 (1)依題意,圓O的半徑r等于原點O到直線x-y=4的距離,即r==2.所以圓O的方程為x2+y2=4.
(2)由題意,可設直線MN的方程為2x-y+m=0.
則圓心O到直線MN的距離d=,
所以+()2=22,即m=±
7、;.
所以直線MN的方程為2x-y+=0或2x-y-=0.
(3)設P(x,y),由題意得A(-2,0),B(2,0).
由|PA|,|PO|,|PB|成等比數(shù)列,
得=x2+y2,即x2-y2=2.
因為=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1).
由于點P在圓O內,故
由此得y2<1.
所以的取值范圍為[-2,0). ?導學號16804215?
5.(2017山西呂梁二模,理20)
如圖,已知圓N:x2+(y+)2=36,P是圓N上的點,點Q在線段NP上,且有點D(0,)和DP上的點M,滿足=2=0.
(1)當P在圓上運動時,求點Q的軌
8、跡方程;
(2)若斜率為的直線l與(1)中所求Q的軌跡交于不同兩點A,B,又點C,求△ABC面積取最大值時對應的直線l的方程.
解 (1)由題意,MQ是線段DP的中垂線,
∴|NP|=|NQ|+|QP|=|QN|+|QD|=6>|DN|=2,
∴Q的軌跡是以D,N為焦點的橢圓,且c=,a=3,b=2,
∴所求點Q的軌跡方程是=1.
(2)設l:y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
與橢圓聯(lián)立,可得9x2+6mx+2m2-18=0,
x1+x2=-m,x1·x2=(2m2-18),
|AB|=,
∵C到直線l的距離d=,
又S=|AB|d=,
9、∴m=±3時,S最大,此時直線l的方程為y=x±3. ?導學號16804216?
6.(2017安徽黃山二模,理20)已知橢圓E:=1(a>)的離心率e=,右焦點F(c,0),過點A的直線交橢圓E于P,Q兩點.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若點P關于x軸的對稱點為M,求證:M,F,Q三點共線;
(3)當△FPQ面積最大時,求直線PQ的方程.
(1)解 由?a=,c=ea==2,則b2=a2-c2=2,故橢圓E的方程是=1.
(2)證明 由(1)可得A(3,0),設直線PQ的方程為y=k(x-3),
由方程組得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6
10、=0,
依題意Δ=12(2-3k2)>0,得-<k<.
設P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=.
∵F(2,0),M(x1,-y1),=(2-x1,y1),=(x2-2,y2),
由(2-x1)y2-(x2-2)y1=(2-x1)·k(x2-3)-(x2-2)·k(x1-3)=k[5(x1+x2)-2x1x2-12]=k=0,
得,∴M,F,Q三點共線.
(3)解 設直線PQ的方程為x=my+3.
由方程組得(m2+3)y2+6my+3=0,
依題意Δ=36m2-12(m2+3)>0,得m2>.
設P
11、(x1,y1),Q(x2,y2),則y1+y2=-,y1y2=.
∴S△FPQ=|AF|·|y1-y2|=
=
=,
令t=m2+3(t≥3),則S△FPQ=|y1-y2|
=,
∴,t=m2+3=9,即m2=6,m=±時,S△FPQ最大,
∴S△FPQ最大時直線PQ的方程為x±y-3=0.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
高考數(shù)學二輪復習 專題對點練22 直線與圓及圓錐曲線 理
