數(shù)列的綜合應(yīng)用 (2)

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1、數(shù)列的綜合應(yīng)用 1．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,則的最小值為________. 2 ．函數(shù)的圖像如圖所示,在區(qū)間上可找到個(gè)不同的數(shù)使得則的取值集合是 3．在等差數(shù)列中，表示其前項(xiàng)，若，，則的取值范圍是 （4，） 4.已知 的一個(gè)內(nèi)角為120o，并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則的面積為_____________ 5.已知奇函數(shù)是定義在R上的增函數(shù),數(shù)列是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列滿足,則的值 6.等差數(shù)列中，已知，，則的取值范圍是 . 7．如圖,互不相同的點(diǎn)和分別在角O的兩條邊上,所有相互

2、平行,且所有梯形的面積均相等.設(shè)若則數(shù)列的通項(xiàng)公式是_________. 8.設(shè)函數(shù)，是公差為的等差數(shù)列，，則 一、 典型例題 例1 如圖，、、…、（）是曲線C：（）上的個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)（）在軸的正半軸上，且是正三角形（是坐標(biāo)原點(diǎn)）． （Ⅰ）寫出、、； （Ⅱ）求出點(diǎn)（）的橫坐標(biāo)關(guān)于n的表達(dá)式； （Ⅲ）設(shè)，若對(duì)任意的正整數(shù)n，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 解：（1）與的交點(diǎn)為，,故 與的交點(diǎn)為，故, 與的交點(diǎn)為,故 (2)第n個(gè)正三角形為（點(diǎn)即為原點(diǎn)），它的邊長(zhǎng)為，則，其中 ，于是的坐標(biāo)為，∴， ，，

3、兩式相減 ， 是公差和首項(xiàng)都是2等差數(shù)列，，第n個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為 ，關(guān)于n的表達(dá)式。 （3） 是關(guān)于n遞減數(shù)列，的最大值 不等式恒成立，，，，， ，。 例2 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知,,. (Ⅰ) 求的值; (Ⅱ) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅲ) 證明:對(duì)一切正整數(shù),有. 【答案】(1) 解: ,. 當(dāng)時(shí), 又, (2)解: ,. ① 當(dāng)時(shí), ② 由① — ②,得 數(shù)列是以首項(xiàng)為,公差為1的等差數(shù)列. 當(dāng)時(shí),上式顯然成立. (3)證明:由(2)知, ①當(dāng)時(shí),,原不等式成立. ②當(dāng)時(shí), ,

4、原不等式亦成立. ③當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí)原不等式亦成立. 綜上,對(duì)一切正整數(shù),有. 例3在金融危機(jī)中,某鋼材公司積壓了部分圓鋼,經(jīng)清理知共有2009根.現(xiàn)將它們堆放在一起. (1)若堆放成縱斷面為正三角形(每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多1根),并使剩余的圓鋼盡可能地少,則剩余了多少根圓鋼? (2)若堆成縱斷面為等腰梯形(每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多1根),且不少于七層， （Ⅰ）共有幾種不同的方案? （Ⅱ）已知每根圓鋼的直徑為10cm，為考慮安全隱患，堆放高度不得高于4m，則選擇哪個(gè)方案，最能節(jié)省堆放場(chǎng)地？ 解：（1）當(dāng)縱斷面為正三角形時(shí)，設(shè)共堆放層,則從上到下每層圓

5、鋼根數(shù)是以1為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，且剩余的圓鋼一定小于根，從而由且得，當(dāng)時(shí)，使剩余的圓鋼盡可能地少，此時(shí)剩余了56根圓鋼； （2）（Ⅰ）當(dāng)縱斷面為等腰梯形時(shí)，設(shè)共堆放層,則從上到下每層圓鋼根數(shù)是以為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，從而，即，因與的奇偶性不同，所以與的奇偶性也不同，且，從而由上述等式得： 或或或，所以共有4種方案可供選擇。 （Ⅱ）因?qū)訑?shù)越多，最下層堆放得越少，占用面積也越少，所以由（2）可知： 若，則，說(shuō)明最上層有29根圓鋼，最下層有69根圓鋼，此時(shí)如圖所示，兩腰之長(zhǎng)為400 cm，上下底之長(zhǎng)為280 cm和680cm，從而梯形之高為 cm，而所以符合條件； 若，則，說(shuō)

6、明最上層有17根圓鋼，最下層有65根圓鋼，此時(shí)如圖所示，兩腰之長(zhǎng)為480 cm，上下底之長(zhǎng)為160 cm和640cm，從而梯形之高為 cm，顯然大于4m，不合條件，舍去，綜上所述，選擇堆放41層這個(gè)方案，最能節(jié)省堆放場(chǎng)地。 例4 設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列為n（n=3,4,…,）階“期待數(shù)列”： ① ；② . （1）分別寫出一個(gè)單調(diào)遞增的3階和4階“期待數(shù)列”； （2）若某2k+1()階“期待數(shù)列” 是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式； （3）記n階“期待數(shù)列”的前k項(xiàng)和為. 試證：； ② 解：（1）數(shù)列為三階期待數(shù)列； 數(shù)列為四階期待數(shù)列； （2）設(shè)等差數(shù)列的

7、公差為， ， 所以， 即， 當(dāng)d=0時(shí),與期待數(shù)列的條件①②矛盾， 當(dāng)d>0時(shí),據(jù)期待數(shù)列的條件①②得： 由得， 當(dāng)d<0時(shí)， 同理可得 由得， （3）（）當(dāng)k=n時(shí)，顯然成立； 當(dāng)k

8、 其中的真命題為 4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且的最大值為8，則 ． 5．已知的內(nèi)角的對(duì)邊成等比數(shù)列，則的取值范圍為 。 6.已知函數(shù)是定義在上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列是等差數(shù)列，，則的值________0(填“>”、“<”之一)． 答案：> 7．觀察下圖： 第一行：1 第二行：2 3 4 第三行：3 4 5 6 7 第四行：4 5 6 7 8 9 10 … …則第 行的各數(shù)之和等于．

9、 1006 8. 已知等比數(shù)列的公比為，記，，，則以下結(jié)論一定正確的是 （1）. 數(shù)列為等差數(shù)列，公差為 　（2）. 數(shù)列為等比數(shù)列，公比為 （3）. 數(shù)列為等比數(shù)列，公比為 ?。?）. 數(shù)列為等比數(shù)列，公比為 【答案】 （3） 9．?dāng)?shù)列滿足，，且 =2，則的最小值為 ． 10．在正項(xiàng)等比數(shù)列中,,,則滿足的最大正整數(shù) 的值為_____________.12 11. 設(shè)數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和為，已知為常數(shù)，），　 （１） 求ｐ，ｑ的值； （２） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （３） 是否存在正整數(shù)ｍ，

10、ｎ，使成立？若存在，求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)（ｍ，ｎ）；若不存在，說(shuō)明理由。 解：由題意，知即解之得 ⑵由⑴知，，① 當(dāng)時(shí)，，② ①②得，， 又，所以，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， 所以． ⑶由⑵得，，由，得 ，即， 即，因?yàn)?，所以? 所以，且， 因?yàn)?，所以或或? 當(dāng)時(shí)，由得，，所以； 當(dāng)時(shí)，由得，，所以或； 當(dāng)時(shí)，由得，，所以或或， 綜上可知，存在符合條件的所有有序?qū)崝?shù)對(duì)為： ． 12.數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，且，設(shè)， (1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2) 當(dāng)時(shí)若均有，求的取值范圍； (3) 當(dāng)時(shí)，是否存在正數(shù)數(shù)組，同時(shí)滿足：①成等差數(shù)列；

11、②為等比數(shù)列，若存在，求出所有滿足題設(shè)的數(shù)組，若不存在，說(shuō)明理由。 解：（1） （2）時(shí)， 時(shí)，只要，不成立， 時(shí)， （?。┏闪?，從而成立 （ⅱ）即，，對(duì)成立，所以 即， 綜上， （2）存在唯一正數(shù)組，證明如下： 時(shí)， 要使得為等比數(shù)列，則 又成等差數(shù)列，即，所以，則 13.已知在直角坐標(biāo)系中，，其中數(shù)列都是遞增數(shù)列。 （1）若，判斷直線與是否平行； （2）若數(shù)列都是正項(xiàng)等差數(shù)列，設(shè)四邊形的面積為. 求證：也是等差數(shù)列； （3）若,，記直線的斜率為，數(shù)列前8項(xiàng)依次遞減，求滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)。 解 ⑴由題意、、、.

12、 ∴，. ，∴與不平行. ⑵、為等差數(shù)列，設(shè)它們的公差分別為和，則， 由題意. ∴ ， ∴，∴是與無(wú)關(guān)的常數(shù)， ∴數(shù)列是等差數(shù)列. ⑶、，∴. 又?jǐn)?shù)列前項(xiàng)依次遞減， ∴對(duì)成立，即對(duì)成立. 又?jǐn)?shù)列是遞增數(shù)列，∴，只要時(shí)，即即可. 又，聯(lián)立不等式，作出可行域（如右圖所示），易得或. 當(dāng)時(shí)，，即，有解； 當(dāng)時(shí)，，即，有解.∴數(shù)列共有個(gè). 14．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，數(shù)列是等比數(shù)列，． （1）若．求數(shù)列和的通項(xiàng)公式； （2）若是正整數(shù)且成等比數(shù)列，求的最大值． 解：（1）由題得，所以，從而等差數(shù)列的公差，所以，從而，所以． （2）設(shè)等差數(shù)列的

13、公差為，等比數(shù)列的公比為，則，，，. 因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以． 設(shè)，，， 則，整理得，. 解得（舍去負(fù)根）. ，要使得最大，即需要d最大，即及取最大值.，， 當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，及取最大值. 從而最大的， 所以，最大的 15已知直角的三邊長(zhǎng)，滿足 （1）在之間插入2011個(gè)數(shù)，使這2013個(gè)數(shù)構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，且它們的和為，求c的最小值. （2）已知均為正整數(shù)，且成等差數(shù)列，將滿足條件的三角形的面積從小到大排成一列，求（）. （3）已知成等比數(shù)列，若數(shù)列滿足，證明：數(shù)列中的任意連續(xù)三項(xiàng)為邊長(zhǎng)均可以構(gòu)成直角三角形. 解：（1）是等差數(shù)列，∴，即. 所，c的最小值為； （2）設(shè)的公差為，則， . 設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)為，面積，， 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， ; 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，; 綜上，. （3）證明：因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，. 由于為直角三角形的三邊長(zhǎng)，知，， 又,得. 于是 . , 則有. 故數(shù)列中的任意連續(xù)三項(xiàng)為邊長(zhǎng)均可以構(gòu)成直角三角形.