數(shù)列的綜合應用 (2)

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1、數(shù)列的綜合應用 1.等差數(shù)列的前項和為,已知,則的最小值為________. 2 .函數(shù)的圖像如圖所示,在區(qū)間上可找到個不同的數(shù)使得則的取值集合是 3.在等差數(shù)列中,表示其前項,若,,則的取值范圍是 (4,) 4.已知 的一個內(nèi)角為120o,并且三邊長構成公差為4的等差數(shù)列,則的面積為_____________ 5.已知奇函數(shù)是定義在R上的增函數(shù),數(shù)列是一個公差為2的等差數(shù)列滿足,則的值 6.等差數(shù)列中,已知,,則的取值范圍是 . 7.如圖,互不相同的點和分別在角O的兩條邊上,所有相互

2、平行,且所有梯形的面積均相等.設若則數(shù)列的通項公式是_________. 8.設函數(shù),是公差為的等差數(shù)列,,則 一、 典型例題 例1 如圖,、、…、()是曲線C:()上的個點,點()在軸的正半軸上,且是正三角形(是坐標原點). (Ⅰ)寫出、、; (Ⅱ)求出點()的橫坐標關于n的表達式; (Ⅲ)設,若對任意的正整數(shù)n,當時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍. 解:(1)與的交點為,,故 與的交點為,故, 與的交點為,故 (2)第n個正三角形為(點即為原點),它的邊長為,則,其中 ,于是的坐標為,∴, ,,

3、兩式相減 , 是公差和首項都是2等差數(shù)列,,第n個正三角形的邊長為 ,關于n的表達式。 (3) 是關于n遞減數(shù)列,的最大值 不等式恒成立,,,,, ,。 例2 設數(shù)列的前項和為.已知,,. (Ⅰ) 求的值; (Ⅱ) 求數(shù)列的通項公式; (Ⅲ) 證明:對一切正整數(shù),有. 【答案】(1) 解: ,. 當時, 又, (2)解: ,. ① 當時, ② 由① — ②,得 數(shù)列是以首項為,公差為1的等差數(shù)列. 當時,上式顯然成立. (3)證明:由(2)知, ①當時,,原不等式成立. ②當時, ,

4、原不等式亦成立. ③當時, 當時原不等式亦成立. 綜上,對一切正整數(shù),有. 例3在金融危機中,某鋼材公司積壓了部分圓鋼,經(jīng)清理知共有2009根.現(xiàn)將它們堆放在一起. (1)若堆放成縱斷面為正三角形(每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多1根),并使剩余的圓鋼盡可能地少,則剩余了多少根圓鋼? (2)若堆成縱斷面為等腰梯形(每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多1根),且不少于七層, (Ⅰ)共有幾種不同的方案? (Ⅱ)已知每根圓鋼的直徑為10cm,為考慮安全隱患,堆放高度不得高于4m,則選擇哪個方案,最能節(jié)省堆放場地? 解:(1)當縱斷面為正三角形時,設共堆放層,則從上到下每層圓

5、鋼根數(shù)是以1為首項、1為公差的等差數(shù)列,且剩余的圓鋼一定小于根,從而由且得,當時,使剩余的圓鋼盡可能地少,此時剩余了56根圓鋼; (2)(Ⅰ)當縱斷面為等腰梯形時,設共堆放層,則從上到下每層圓鋼根數(shù)是以為首項、1為公差的等差數(shù)列,從而,即,因與的奇偶性不同,所以與的奇偶性也不同,且,從而由上述等式得: 或或或,所以共有4種方案可供選擇。 (Ⅱ)因?qū)訑?shù)越多,最下層堆放得越少,占用面積也越少,所以由(2)可知: 若,則,說明最上層有29根圓鋼,最下層有69根圓鋼,此時如圖所示,兩腰之長為400 cm,上下底之長為280 cm和680cm,從而梯形之高為 cm,而所以符合條件; 若,則,說

6、明最上層有17根圓鋼,最下層有65根圓鋼,此時如圖所示,兩腰之長為480 cm,上下底之長為160 cm和640cm,從而梯形之高為 cm,顯然大于4m,不合條件,舍去,綜上所述,選擇堆放41層這個方案,最能節(jié)省堆放場地。 例4 設滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列為n(n=3,4,…,)階“期待數(shù)列”: ① ;② . (1)分別寫出一個單調(diào)遞增的3階和4階“期待數(shù)列”; (2)若某2k+1()階“期待數(shù)列” 是等差數(shù)列,求該數(shù)列的通項公式; (3)記n階“期待數(shù)列”的前k項和為. 試證:; ② 解:(1)數(shù)列為三階期待數(shù)列; 數(shù)列為四階期待數(shù)列; (2)設等差數(shù)列的

7、公差為, , 所以, 即, 當d=0時,與期待數(shù)列的條件①②矛盾, 當d>0時,據(jù)期待數(shù)列的條件①②得: 由得, 當d<0時, 同理可得 由得, (3)()當k=n時,顯然成立; 當k

8、 其中的真命題為 4.已知數(shù)列的前項和,且的最大值為8,則 . 5.已知的內(nèi)角的對邊成等比數(shù)列,則的取值范圍為 。 6.已知函數(shù)是定義在上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù),數(shù)列是等差數(shù)列,,則的值________0(填“>”、“<”之一). 答案:> 7.觀察下圖: 第一行:1 第二行:2 3 4 第三行:3 4 5 6 7 第四行:4 5 6 7 8 9 10 … …則第 行的各數(shù)之和等于.

9、 1006 8. 已知等比數(shù)列的公比為,記,,,則以下結(jié)論一定正確的是 (1). 數(shù)列為等差數(shù)列,公差為 ?。?). 數(shù)列為等比數(shù)列,公比為 (3). 數(shù)列為等比數(shù)列,公比為 ?。?). 數(shù)列為等比數(shù)列,公比為 【答案】 (3) 9.數(shù)列滿足,,且 =2,則的最小值為 . 10.在正項等比數(shù)列中,,,則滿足的最大正整數(shù) 的值為_____________.12 11. 設數(shù)列的前n項和為,已知為常數(shù),),  (1) 求p,q的值; (2) 求數(shù)列的通項公式; (3) 是否存在正整數(shù)m,

10、n,使成立?若存在,求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對(m,n);若不存在,說明理由。 解:由題意,知即解之得 ⑵由⑴知,,① 當時,,② ①②得,, 又,所以,所以是首項為,公比為的等比數(shù)列, 所以. ⑶由⑵得,,由,得 ,即, 即,因為,所以, 所以,且, 因為,所以或或. 當時,由得,,所以; 當時,由得,,所以或; 當時,由得,,所以或或, 綜上可知,存在符合條件的所有有序?qū)崝?shù)對為: . 12.數(shù)列的首項為,前項和為,且,設, (1) 求數(shù)列的通項公式; (2) 當時若均有,求的取值范圍; (3) 當時,是否存在正數(shù)數(shù)組,同時滿足:①成等差數(shù)列;

11、②為等比數(shù)列,若存在,求出所有滿足題設的數(shù)組,若不存在,說明理由。 解:(1) (2)時, 時,只要,不成立, 時, (?。┏闪?,從而成立 (ⅱ)即,,對成立,所以 即, 綜上, (2)存在唯一正數(shù)組,證明如下: 時, 要使得為等比數(shù)列,則 又成等差數(shù)列,即,所以,則 13.已知在直角坐標系中,,其中數(shù)列都是遞增數(shù)列。 (1)若,判斷直線與是否平行; (2)若數(shù)列都是正項等差數(shù)列,設四邊形的面積為. 求證:也是等差數(shù)列; (3)若,,記直線的斜率為,數(shù)列前8項依次遞減,求滿足條件的數(shù)列的個數(shù)。 解 ⑴由題意、、、.

12、 ∴,. ,∴與不平行. ⑵、為等差數(shù)列,設它們的公差分別為和,則, 由題意. ∴ , ∴,∴是與無關的常數(shù), ∴數(shù)列是等差數(shù)列. ⑶、,∴. 又數(shù)列前項依次遞減, ∴對成立,即對成立. 又數(shù)列是遞增數(shù)列,∴,只要時,即即可. 又,聯(lián)立不等式,作出可行域(如右圖所示),易得或. 當時,,即,有解; 當時,,即,有解.∴數(shù)列共有個. 14.已知數(shù)列是等差數(shù)列,,數(shù)列是等比數(shù)列,. (1)若.求數(shù)列和的通項公式; (2)若是正整數(shù)且成等比數(shù)列,求的最大值. 解:(1)由題得,所以,從而等差數(shù)列的公差,所以,從而,所以. (2)設等差數(shù)列的

13、公差為,等比數(shù)列的公比為,則,,,. 因為成等比數(shù)列,所以. 設,,, 則,整理得,. 解得(舍去負根). ,要使得最大,即需要d最大,即及取最大值.,, 當且僅當且時,及取最大值. 從而最大的, 所以,最大的 15已知直角的三邊長,滿足 (1)在之間插入2011個數(shù),使這2013個數(shù)構成以為首項的等差數(shù)列,且它們的和為,求c的最小值. (2)已知均為正整數(shù),且成等差數(shù)列,將滿足條件的三角形的面積從小到大排成一列,求(). (3)已知成等比數(shù)列,若數(shù)列滿足,證明:數(shù)列中的任意連續(xù)三項為邊長均可以構成直角三角形. 解:(1)是等差數(shù)列,∴,即. 所,c的最小值為; (2)設的公差為,則, . 設三角形的三邊長為,面積,, 當為偶數(shù)時, ; 當為奇數(shù)時,; 綜上,. (3)證明:因為成等比數(shù)列,. 由于為直角三角形的三邊長,知,, 又,得. 于是 . , 則有. 故數(shù)列中的任意連續(xù)三項為邊長均可以構成直角三角形.

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