167;1中值定理

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1、 第三章第三章 中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1 中值定理中值定理2 2 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則3 3 函數(shù)的單調(diào)性與極值函數(shù)的單調(diào)性與極值(一) 、羅爾定理(二) 、拉格朗日中值定理1 中值定理中值定理 第二章我們討論了微分法，解決了曲線的切線、第二章我們討論了微分法，解決了曲線的切線、法線及有關(guān)變化率問題法線及有關(guān)變化率問題.這一章我們來討論導(dǎo)數(shù)的應(yīng)這一章我們來討論導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題用問題.我們知道，函數(shù)我們知道，函數(shù))()(00 xfxxfy )(xfy 在區(qū)間在區(qū)間 xxx 00,上的增量上的增量可用它的微分可用它的微分xxfdy )(0 來近似計算來近似計算 其誤差是比其誤差是比

2、x 高階的無窮小高階的無窮小)(0 xfxy 即即是近似關(guān)系是近似關(guān)系)|(|充分小充分小x )(lim00 xfxyx 而而是極限關(guān)系是極限關(guān)系,都不便應(yīng)用都不便應(yīng)用 我們的任務(wù)是尋求差商與導(dǎo)數(shù)的直接關(guān)系，既我們的任務(wù)是尋求差商與導(dǎo)數(shù)的直接關(guān)系，既不是極限關(guān)系，也不是近似關(guān)系不是極限關(guān)系，也不是近似關(guān)系.對此，拉格朗日對此，拉格朗日（Lagrange）中值定理給出了圓滿的解答：）中值定理給出了圓滿的解答：xxxfy )(0 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)定理定理(Rolle)若函數(shù)若函數(shù) f ( x ) 滿足滿足（1）在閉區(qū)間）在閉區(qū)間a, b上連續(xù)上連續(xù)（2）在開區(qū)間）在開區(qū)間(a,

3、 b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)（3）在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等）在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等 f (a)= f (b)0)()(),(,),( fxfbaba在在該該點點的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為零零，即即使使得得函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點則則在在例如例如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上連續(xù)上連續(xù)在在 ,)3 , 1(上可導(dǎo)上可導(dǎo)在在 , 0)3()1( ff且且),1(2)( xxf)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f( (一一) )、 羅爾羅爾(Rolle)定理定理幾何解釋幾何解釋: :xyo)(xfy abC1 2 若連續(xù)曲線弧的兩個若連續(xù)曲線弧的兩個端點的縱坐標(biāo)相等，端

4、點的縱坐標(biāo)相等，且除去兩個端點外處且除去兩個端點外處處有不垂直于橫軸的處有不垂直于橫軸的切線，切線，.,切切線線是是水水平平的的在在該該點點處處的的上上至至少少有有一一點點在在曲曲線線弧弧CAB物理解釋物理解釋: :變速直線運(yùn)動在折返點處變速直線運(yùn)動在折返點處,瞬時速度等于零瞬時速度等于零.作用：作用：.0)x(f根的存在性根的存在性常用來討論常用來討論 注意：注意： Rolle定理有三個條件：閉區(qū)間連續(xù)；開區(qū)定理有三個條件：閉區(qū)間連續(xù)；開區(qū)間可間可 導(dǎo)；區(qū)間端點處的函數(shù)值相等；導(dǎo)；區(qū)間端點處的函數(shù)值相等；這三個條件只是充分條件，而非必要條件這三個條件只是充分條件，而非必要條件如：如：y=x2

5、 在在 -1,2 上滿足上滿足(1),(2)，不滿足，不滿足 (3) 卻在卻在 (-1,2)內(nèi)有一點內(nèi)有一點 x=0 使使0200 xxxy但定理的條件又都是必須的，即為了保證結(jié)論成立但定理的條件又都是必須的，即為了保證結(jié)論成立三個條件缺一不可三個條件缺一不可.例如例如,;2 , 2, xxy,)0(2 ,2一一切切條條件件滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的不不存存在在外外上上除除在在f . 0)( xf但但在在內(nèi)內(nèi)找找不不到到一一點點能能使使又例如又例如,; 0)0(,1 , 0(,1)( fxxxf在在0,1上除去上除去x=0不連續(xù)外，滿足羅爾定理的不連續(xù)外，滿足羅爾定理的一切條件一切條件. 0

6、)( xf但但在在內(nèi)內(nèi)找找不不到到一一點點能能使使再例如再例如.1 , 0,)( xxxf在在0,1上除去端點的函數(shù)值不相等外，滿足羅爾上除去端點的函數(shù)值不相等外，滿足羅爾定理的一切條件定理的一切條件.0)(的的點點但但也也找找不不到到使使 xf羅爾定理的結(jié)論是在開區(qū)間內(nèi)至少有一使導(dǎo)數(shù)羅爾定理的結(jié)論是在開區(qū)間內(nèi)至少有一使導(dǎo)數(shù)等等0的點的點.有的函數(shù)這樣的點可能不止一個；有的函數(shù)這樣的點可能不止一個；另外還要注意點另外還要注意點并未具體指出，即使對于給并未具體指出，即使對于給定定的具體函數(shù)，點的具體函數(shù)，點也不一定能指出是哪一點，也不一定能指出是哪一點，如如)2ln()( xxxf在在-1，0上

7、滿足羅爾定理的全部條件，而上滿足羅爾定理的全部條件，而)2ln(2)( xxxxf但卻不易找到使但卻不易找到使 的點的點0)( xf但根據(jù)定理，這樣的點是存在的但根據(jù)定理，這樣的點是存在的.即便如此，我們即便如此，我們將會看到，這絲毫不影響這一重要定理的應(yīng)用將會看到，這絲毫不影響這一重要定理的應(yīng)用例例1 1320( )80,8.f xxxx驗證函數(shù)在區(qū)間上滿足羅爾定理的條件，并求出羅爾定理結(jié)論中的 值解：由于解：由于 是一初等函數(shù)，是一初等函數(shù)，32( )8f xxx所以區(qū)間所以區(qū)間 0, 8 包含在它的定義域內(nèi)，包含在它的定義域內(nèi)，且且 f (0) = f (8) = 0, 因此因此 f (

8、x) 在在 0,8 上上 滿足羅滿足羅爾定理的條件爾定理的條件.由于由于( )0,8(0 8) .f x在區(qū)間 上連續(xù)， ， 內(nèi)可導(dǎo)00(0,8)4,()0.xfx即在內(nèi)存在一點使得22382( ),3 (8)xfxxx0002230082()0,0,4,3 (8)xfxxxx令即得到例例2 不求導(dǎo)數(shù)，判斷不求導(dǎo)數(shù)，判斷f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的導(dǎo)數(shù)有幾個的導(dǎo)數(shù)有幾個根，以及所在的區(qū)間根，以及所在的區(qū)間.例例3 3.10155的正實根的正實根有且僅有一個小于有且僅有一個小于證明方程證明方程 xx證證, 15)(5 xxxf設(shè)設(shè),1 , 0)(連續(xù)連續(xù)在在則則xf. 3)1(,

9、1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即為方程的小于即為方程的小于1的正實根的正實根.,),1 , 0(011xxx 設(shè)設(shè)另另有有. 0)(1 xf使使,)(10件件之間滿足羅爾定理的條之間滿足羅爾定理的條在在xxxf使得使得之間之間在在至少存在一個至少存在一個),(10 xx )1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.為唯一實根為唯一實根拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù) f(x) （1 1） 閉區(qū)間閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù)； （2 2） 在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)

10、可導(dǎo), , 那末在那末在),(ba內(nèi)至少有一點內(nèi)至少有一點)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立. . :( )( ).f af b與羅爾定理相比條件中去掉了注意).()()( fabafbf結(jié)論亦可寫成結(jié)論亦可寫成( (二二) ) 、拉格朗日、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理幾何解釋幾何解釋:xoy)(xfy ABabC1 D2 .,ABCAB線平行于弦線平行于弦在該點處的切在該點處的切一點一點上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧xNM( )( )( ).f bf afbab-af(b)-f(a)注意注意: :拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個區(qū)間上的拉氏公式精

11、確地表達(dá)了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.例例4 4320( )61160,3.f xxxxx驗證函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日定理的條件，并求出拉氏定理結(jié)論中的 值解：由于解：由于 是一初等函數(shù)，是一初等函數(shù)，32( )6116f xxxx所以區(qū)間所以區(qū)間 0, 3 包含在它的定義域內(nèi)，包含在它的定義域內(nèi)，因此因此 f (x) 在在 0, 3 上上 滿足拉氏定理的條件滿足拉氏定理的條件.由于由于( )0,3(0 3) .f x在區(qū)間 上連續(xù)， 在， 內(nèi)可導(dǎo)0(3)(0)(),30fffx2000( 6)31211,3xx 即2

12、00430.xx亦即00001(3)(0,3)1,(3)(0)().30 xxxfffx解之得到舍去即在區(qū)間內(nèi)存在一點使得成立( )( , ),f xa b設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)則有則有),(,00baxxx ).10()()()(000 xxxfxfxxf).10()(0 xxxfy也可寫成也可寫成.的精確表達(dá)式的精確表達(dá)式增量增量 y 推論推論1.)(,)(上是一個常數(shù)上是一個常數(shù)在區(qū)間在區(qū)間那末那末上的導(dǎo)數(shù)恒為零上的導(dǎo)數(shù)恒為零在區(qū)間在區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)IxfIxf推論推論2 2CxgxfIxgxfI )()(),()(上上在區(qū)間在區(qū)間那末那末上上在區(qū)間在區(qū)間如果如果例例5 5).11(2arcco

13、sarcsin xxx證明證明證證1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf設(shè)設(shè))11(11)(22xxxf 1 , 1,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx0 例例6 6.)1ln(1,0 xxxxx 時時證明當(dāng)證明當(dāng)證：證：),1ln()(xxf 設(shè)設(shè), 0)(上滿足拉氏定理的條件上滿足拉氏定理的條件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即例例7

14、 7 證明：證明：2arctanarcsin,(,).1xxxx 證：證：21arctan,1xx由于2222222111arcsin1111xxxxxxxx21.1x2arctanarcsin0,(,).1xxxx 故故所以由拉氏定理的推論所以由拉氏定理的推論 2 知，應(yīng)當(dāng)有：知，應(yīng)當(dāng)有：02arctanarcsin,(,).1xxCxx 其中其中 C0 為一固定常數(shù)，為求出為一固定常數(shù)，為求出 C0 ，可將，可將 x=0 代代入上式得：入上式得：C0= 0.2arctanarcsin.1xxx例例8 8 證明：證明：證：證：1lnln1abaabbln,.0.abaaba bbaabb其中

15、為常數(shù)且先對上式變形，可得：先對上式變形，可得：ln .yx為此我們引入函數(shù)為此我們引入函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間 b, a 內(nèi)應(yīng)用拉氏定理，有：內(nèi)應(yīng)用拉氏定理，有：000lnln1(),( , )abfxxb aabx其中對對 ，有：有：0( , )xb a0111.axbln.abaababb1lnln1abaabb注意：注意： 一般來說，用中值定理證明一些不等式一般來說，用中值定理證明一些不等式時，可以考慮由以下三步來完成：時，可以考慮由以下三步來完成：（1） 由題設(shè)確定一個函數(shù)由題設(shè)確定一個函數(shù) f (x) ;（2）選擇與之對應(yīng)的區(qū)間；）選擇與之對應(yīng)的區(qū)間；（3） 將將 f (x0) 適當(dāng)進(jìn)行放大或縮小適當(dāng)進(jìn)行放大或縮小.柯西（柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf及及)(xF 在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且且)(xF 在在),(ba內(nèi)每一點處均不為零，那末在內(nèi)每一點處均不為零，那末在),(ba內(nèi)至少內(nèi)至少 有一點有一點)(ba , ,使等式使等式 )()()()()()( FfbFaFbfaf成立成立. . ( (三三) ) 、柯西、柯西(Cauchy)中值定理中值定理