安徽省安慶市桐城呂亭初級中學(xué)八年級數(shù)學(xué)上冊 公式法課件 新人教版

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1、 運用提公因式法分解因式的步驟運用提公因式法分解因式的步驟是什么？是什么？ 你能將你能將a2b2分解因式嗎？你是分解因式嗎？你是如何思考的？如何思考的？ 觀察平方差公式觀察平方差公式(ab)(ab)=a2b2的項、的項、指數(shù)、符號有什么特點？指數(shù)、符號有什么特點？ （1）左邊是二項式，每項都是平方的形式，）左邊是二項式，每項都是平方的形式， 兩項的符號相反兩項的符號相反（2）右邊是兩個多項式的積，一個因式是兩）右邊是兩個多項式的積，一個因式是兩 數(shù)的和，另一個因式是這兩數(shù)的差數(shù)的和，另一個因式是這兩數(shù)的差（3）在乘法公式中，）在乘法公式中，“平方差平方差”是計算結(jié)果，是計算結(jié)果， 而在分解因式

2、，而在分解因式， “平方差平方差”是得分解是得分解因因 式的多項式式的多項式 由此可知如果多項式是兩數(shù)差的形式，并由此可知如果多項式是兩數(shù)差的形式，并且這兩個數(shù)又都可以寫成平方的形式，那么這且這兩個數(shù)又都可以寫成平方的形式，那么這個多項式可以運用平方差公式分解因式個多項式可以運用平方差公式分解因式 1運用平方差公式分解因式；運用平方差公式分解因式；2用完全平方公式分解因式；用完全平方公式分解因式；3用分組法分解因式；用分組法分解因式；4用十字交叉法分解因式用十字交叉法分解因式 1能較熟練地應(yīng)用平方差公式、完全平能較熟練地應(yīng)用平方差公式、完全平方公式分解因式；方公式分解因式； 2能較熟練地應(yīng)用分

3、組法、十字交叉法能較熟練地應(yīng)用分組法、十字交叉法分解因式分解因式 1通過綜合運用提公因式法，公式法，通過綜合運用提公因式法，公式法，分組法和十字交叉法分解因式，進一步培養(yǎng)分組法和十字交叉法分解因式，進一步培養(yǎng)觀察和聯(lián)想能力；觀察和聯(lián)想能力； 2通過知識結(jié)構(gòu)圖培養(yǎng)歸納總結(jié)的能通過知識結(jié)構(gòu)圖培養(yǎng)歸納總結(jié)的能力力1應(yīng)用平方差公式分解因式；應(yīng)用平方差公式分解因式；2用完全平方公式分解因式；用完全平方公式分解因式；3會用分組法分解因式；會用分組法分解因式；4會用十字交叉法分解因式會用十字交叉法分解因式 1靈活應(yīng)用公式法分解因式，并理解因靈活應(yīng)用公式法分解因式，并理解因式分解的要求；式分解的要求； 2靈活

4、應(yīng)用分組法和十字交叉法分解因靈活應(yīng)用分組法和十字交叉法分解因式；式； 3如何確定公因式以及提出公因式后如何確定公因式以及提出公因式后的另外一個因式的另外一個因式 在邊長為在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形，把余下的部分剪拼成一個矩形，的小正方形，把余下的部分剪拼成一個矩形，通過計算兩個圖形的面積，驗證了一個等式，通過計算兩個圖形的面積，驗證了一個等式，則這個等式是（則這個等式是（ ） Aa2b2=(ab)(ab) B(ab)2=a2+2ab+b2 C(ab)2=a22abb2 D(a+2b)(ab)=a2+ab2b2abba例例1 把下列各式因式分解：把下列

5、各式因式分解：（1）( x + z )- ( y + z )（2）4( a + b) - 25(a - c)（3）4a - 4a（4）(xy + z) (xyz )（5）9(m+n)2(m-n)2（6）5x3y(x-y)-10 x4y3(y-x)2（4）原式）原式=(x+y+z)+(x-y-z)(x+y+z)- (x-y-z) =2x (2y + 2z) =4x (y + z )（3）原式）原式=4a(a-1)=4a(a+1)(a-1)解：（解：（1）原式）原式=(x+z)+(y+z)(x+z)-(y+z) =(x+y+2z)(x-y)（2）原式）原式=4( a + b) - 25(a - c

6、) =2(ab) 5(a-c)2(ab)-5(a-c) =(7a2b5c)(3a2b5c) （5）原式）原式=3(m+n)2(m-n)2=3(m+n)+(m-n)3(m+n)-(m-n)=(3m+3n+m-n) (3m+3n-m+n)=(4m+2n) (2m+4n)=4 (2m+n) (m+2n)（6）原式）原式=5x3y(x-y)-10 x4y3(x-y)2 =5x3y(x-y)1-2xy2(x-y) =5x3y(x-y)(1-2x2y2+2xy3) 例例2 若若n是整數(shù)，證明是整數(shù)，證明(2n+1)2-(2n-1)2是是8的倍數(shù)的倍數(shù)證明：證明： (2n+1)2-(2n-1)2 =（2n1

7、2n-1）（）（2n1-2n1） =4n2 =8n因為因為n是整數(shù)，所以原式是是整數(shù)，所以原式是8的倍數(shù)的倍數(shù)（1） 652-642 （2） 5.42-4.62解：解：652-642 =(65+64)(65-64) =1291 =129解：解：5.42-4.62 =(5.4+4.6)(5.4-4.6) =100.8 =80例例3 計算下列各式的值：計算下列各式的值：(3x+2y)(3-2y)=41.5=69x2-4y2 =6解解1： 例例4 已知已知x和和y滿足方程組滿足方程組 ，求求9x24y2的值？的值？3x+2y=46x-4y=33x+2y=43x-2y=1.53x+2y=46x-4y=

8、3由得：由得：(x+2y)(x-2y)=5 將代入得：將代入得：x+2y=5 + 得：得：x=3代入得：代入得：y=1解：解：（2006年莆田）解方程組：年莆田）解方程組：x24y2=5，x2y=1 所以，原方程組的解為：所以，原方程組的解為：x=3，y=1已知，已知，x+ y =7，x-y =5，求代數(shù)式，求代數(shù)式 x2- y2-2y+2x的值的值解：解： x2y22y+2x =x2y2（2x2y） =（x +y）（）（ x y ）2（xy） =（ x y ）（）（ x y 2） =59=45baba 觀察圖形，根據(jù)圖形的面積關(guān)系，不需觀察圖形，根據(jù)圖形的面積關(guān)系，不需要其他的線，便可以得到

9、一個用來分解因式要其他的線，便可以得到一個用來分解因式的公式，這個公式是的公式，這個公式是_（1）x4-2x2+1解：原式解：原式=（x2-1)2 =(x+1)(x-1)2 =(x+1)2(x-1)2（2）(x2+y2)2-4x2y2解：原式解：原式=（x2+y2)2-(2xy)2 =(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy) =(x+y)2(x-y)2例例5 分解因式分解因式（3）3abx2+6abxy+3aby2解：原式解：原式=3ab（x22xyy2）=3ab(x+y)2（4）（）（m+n）2-4m（m+n）+4m2 解：原式解：原式=（m+n）2-22m（m+n）+（2m)2 =（

10、mn2m ）2 =（mn）2(x+2)(x+1)x2+3x+2(x-2)(x+1)x2-x-2(x-2)(x-1)x2-3x+2(x+2)(x-1)x2+x-2(x+2)(x+3)x2+5x+6(x+2)(x-3)x2-x-6(x-2)(x+3)x2+x-6(x-2)(x-3)x2-5x+6(x+a)(x+b)x2+(a+b)x+ab12345678=x2+px+q= x2+(a+b)x+ab=xxabax+bx=(a+b)x(x+a)(x+b)1x2+8x+12=2x2-11x-12=3x2-7x+12=4x2-4x-12=(x+2)(x+6)(x-6)(x+2)(x-3)(x-4)(x-1

11、2)(x+1)5x2+13x+12= (x+1)(x+12)6x2-x-12= (x-4)(x+3)將下列各式因式分解：將下列各式因式分解：對二次三項式對二次三項式x2+px+q進行因式分解，進行因式分解，應(yīng)重點掌握以下三個問應(yīng)重點掌握以下三個問題：題： mx+my-nx-ny ，兩組，得（，兩組，得（mx+my）-（nx+ny）解解1：原式：原式= （mx+my）-（nx+ny） =m(x+y)-n(x+y)=(x+y)(m-n)，兩組，得（，兩組，得（mx-nx）+(my-ny)解解2：原式：原式= （mx-nx）+(my-ny)=x(m-n)+y(m-n)= (m-n) (x+y)把把下

12、列各式因式分解：下列各式因式分解：（1）x2+2xy+y2-z2 （2）ab+a+b+1解：（解：（1）原式）原式=（x2+2xy+y2)-z2 =(x+y)2-z2 =(x+y+z)(x+y-z)（2）原式）原式=(ab+a)+(b+1) =a(b+1)+(b+1) =(b+1)(a+1)（3）9a4-4a2+4a-1解：解：9a4-4a2+4a-1= 9a4-(4a2-4a+1) = 9a4-(2a-1) 2 = (3a2+2a-1)(3a2-2a+1)= (a+1)(3a-1)(3a2-2a+1)（4）(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24解：解：(x-1)(x+2)(x-3)(

13、x+4)+24= (x2+x-2)(x2+x-12)+24= (x2+x) 2-14(x2+x)+48= (x2+x-6)(x2+x-8)= (x+3)(x-2)(x2+x-8)（2007年株洲市）年株洲市）分解因式分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10 解：令解：令x4+x2=m，則原式可化為，則原式可化為 (m-4)(m+3)+10 = m2-m-12+10 = m2-m-2 = (m-2)(m+1) = (x4+x2-2)(x4+x2+1) = (x2+2)(x2-1)(x4+x2+1) = (x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1) 如果如果a+b=0，求，求a3

14、2b3+ a2b 2ab2的值的值 原式原式= a3 +a2b- (2b3 +2ab2 )= a2 (a +b)- 2b2 (a +b )= (a +b) ( a2 - 2b2 )=0解：解：4x4+1 = 4x4+4x2+1-4x2 =（2x2+1）2-（2x）2 =（ 2x2+1+ 2x）（）（ 2x2+1-2x）因式分解：因式分解：4x4+1多多項項式式二項式二項式立方和差立方和差添項添項三項式三項式完全平方式完全平方式十字相乘法十字相乘法拆項法拆項法多于三項的多項式多于三項的多項式分組分解分組分解分組后提公因式分組后提公因式分組后運用公式分組后運用公式分組后十字相乘分組后十字相乘提取公

15、因式提取公因式平方差平方差2(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y) =_3(a+b) 2+2(a+b)-15 =_4-1-2a-a2=_5x2-6x+9-y2 =_6x2-4y2+x+2y=_79x2+6xy+y2+3x+y =_89x2+6xy+y2+3x+y-2=_1a3-ab2 =_a(a+b)(a-b)2x(a-b)(a+b+5)(a+b-3)-(a+1) 2 (x-3+y)(x-3-y)(x+2y)(x-2y+1)(3x+y)(3x+y+1)(3x+y+2)(3x+y-1)一、分解因式一、分解因式二、分解因式二、分解因式172-2(13x-7)228a2b2-2a4b-8b3解：

16、解：72-2(13x-1)2解：解：8a2b2-2a4b-8b3=262-(13x-7) 2=2(6+13x-7)(6-13x+7) =2(13x-1)(-13x+13)=-26(13x-1)(x-1) =2b(4a2b-a4-4b2)=-2b(a4-4a2b+4b2)=-2b(a2-2b) 2三、因式分解三、因式分解(x+2)(x-3)1x2-x- 6 =(x+2)(x-5)2x2-3x-10=(x-7)(x+4)3x2-3x-28=(x-1)(x-3)4x2-4x+3=(x+2)(x+3)(x-3)(x+7)5x2+5x+6=6x2+4x-21=(y+12)(y-3)7y2+9y-36=(

17、y-7)(y+16)(y+16)(y+3)8y2+9y-112=9y2+19y+48=4若若a+b=4，a2+b2=10 求求a3+a2b+ab2+b3的值的值解：原式解：原式=(a3+a2b)+(ab2+b3) =a2(a+b)+b2(a+b) =(a+b)(a2+b2) a+b=4，a2+b2=10 原式原式=410=405已知已知(x+y)2-2x-2y+1=0，求，求2x2+4xy+2y2的值的值解：由題意：解：由題意：(x+y)2-2(x+y)+1=0 (x+y-1)2=0即即x+y-1=0 x+y=1 2x2+4xy+2y2=2(x+y)2 =212=21（1）5a2(3a2)；

18、（2）3bc(4ac)； （3）2(pq)(3p2q)；（；（4）(a3)(m2)2（1）(16b)(16b)； （2）3(2xy)(2xy)； （3）(0.7p12)(0.7p12)；（；（4）3(xy)(xy)3（1）(15t)2；（；（2）(m7)2； （3）(y1/2)2； （4）(mn)2；（；（5）(5a8)2；（；（6）(abc)24（1）原式）原式=3.14（21+62+17）=314； （2）原式）原式=（758+258）（）（758258） =1016500=508 0005（1）（）（ab）2；（；（2）(p+2)(p2)； （3）y(2xy)2；（；（4）3a(xy)(xy)6（1）V =I(R1+R2+R3)，代入，代入R1，R2，R3的的 值，得值，得V=2207所求面積所求面積S=R24r2=（R2r）（）（R 2r），代入），代入R，r的數(shù)值后得的數(shù)值后得S=175.84cm2822x22=4(x1)或或x2(x2)2=4(x1)9m=1210(2n1) 2n21=2n1222n11= (2n11)22211. 1x -2 = (x+2)(x-2) 2 5x -3 = ( 5x+3)( 5x-3).（）；（ ）