新版高三數(shù)學(xué) 第21練 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題練習(xí)

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1、 1 1第21練 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題訓(xùn)練目標(biāo)(1)利用導(dǎo)數(shù)處理與不等式有關(guān)的題型；(2)解題步驟的規(guī)范訓(xùn)練訓(xùn)練題型(1)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式；(2)利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題及存在性問題；(3)利用導(dǎo)數(shù)證明與數(shù)列有關(guān)的不等式解題策略(1)構(gòu)造與所證不等式相關(guān)的函數(shù)；(2)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性或者最值再證明不等式；(3)處理恒成立問題注意參變量分離.1.已知函數(shù)f(x)x2axalnx(aR)(1)若函數(shù)f(x)在x1處取得極值，求a的值；(2)在(1)的條件下，求證：f(x)4x.2(20xx煙臺模擬)已知函數(shù)f(x)x2ax，g(x)lnx，h(x)f(x)g(x)(1)若函數(shù)yh(

2、x)的單調(diào)減區(qū)間是，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若f(x)g(x)對于定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍3(20xx山西四校聯(lián)考)已知f(x)lnxxa1.(1)若存在x(0，)，使得f(x)0成立，求a的取值范圍；(2)求證：在(1)的條件下，當(dāng)x1時，x2axaxlnx成立4.已知函數(shù)f(x)(2a)lnx2ax.(1)當(dāng)a|f(x1)f(x2)|成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍5(20xx福州質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)exax1.(1)當(dāng)a0時，設(shè)函數(shù)f(x)的最小值為g(a)，求證：g(a)0；(2)求證：對任意的正整數(shù)n，都有1n12n13n1nn10)，可知g(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1

3、，)上是增函數(shù)，所以g(x)g(1)0，所以f(x)4x成立2解(1)由題意可知，h(x)x2axlnx(x0)，由h(x)(x0)，若h(x)的單調(diào)減區(qū)間是，由h(1)h0，解得a3，而當(dāng)a3時，h(x)(x0)由h(x)0)，ax(x0)令(x)x(x0)，則(x)，yx2lnx1在(0，)上是增函數(shù)，且x1時，y0.當(dāng)x(0,1)時，(x)0，即(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1，)上是增函數(shù)，(x)min(1)1，故a1.即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，13(1)解原題即為存在x0，使得lnxxa10，alnxx1，令g(x)lnxx1，則g(x)1.令g(x)0，解得x1.當(dāng)0x1時，g(

4、x)1時，g(x)0，g(x)為增函數(shù)，g(x)ming(1)0，ag(1)0.故a的取值范圍是0，)(2)證明原不等式可化為x2axxlnxa0(x1，a0)令G(x)x2axxlnxa，則G(1)0.由(1)可知xlnx10，則G(x)xalnx1xlnx10，G(x)在(1，)上單調(diào)遞增，G(x)G(1)0成立，x2axxlnxa0成立，即x2axaxlnx成立4解(1)求導(dǎo)可得f(x)2a，令f(x)0，得x1，x2，當(dāng)a2時，f(x)0，函數(shù)f(x)在定義域(0，)內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)2a0時，在區(qū)間(0，)，(，)上f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)a2時，在區(qū)間(0，)，(，)上f(x)

5、0，f(x)單調(diào)遞增(2)由(1)知當(dāng)a(3，2)時，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,3上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x1,3時，f(x)maxf(1)12a，f(x)minf(3)(2a)ln 36a.問題等價于：對任意的a(3，2)，恒有(mln 3)a2ln 312a(2a)ln 36a成立，即am4a，因?yàn)閍0，所以m0及f(x)exa可得，函數(shù)f(x)在(，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，)上單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)的最小值為g(a)f(lna)elnaalna1aalna1，則g(a)lna，故當(dāng)a(0,1)時，g(a)0；當(dāng)a(1，)時，g(a)0時，總有exx1.于是，可得(x1)n1(ex)n1e(n1)x.令x1，即x，可得n1en；令x1，即x，可得n1e(n1)；令x1，即x，可得n1e(n2)；令x1，即x，可得n1e1.對以上各式求和可得：n1n1n1n1ene(n1)e(n2)e11.故對任意的正整數(shù)n，都有1n12n13n1nn1(n1)n1.