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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第4章三角函數(shù)與三角恒等變換學(xué)案16任意角、弧度及任意角的三角函數(shù)導(dǎo)學(xué)目標: 1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念,能進行弧度與角度的互化.3.理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義自主梳理1任意角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線OA繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置OB所成的圖形旋轉(zhuǎn)開始時的射線OA叫做角的_,射線的端點O叫做角的_,旋轉(zhuǎn)終止位置的射線OB叫做角的_,按_時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角,按_時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負角若一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn),稱它形成了一個_角(1)象限角使角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合,角的終邊落在第幾象
2、限,就說這個角是_角(2)象限界角(即終邊在坐標軸上的角)終邊在x軸上的角表示為_;終邊在y軸上的角表示為_;終邊落在坐標軸上的角可表示為_(3)終邊相同的角所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可構(gòu)成一個集合_或_,前者用角度制表示,后者用弧度制表示(4)弧度制把長度等于_長的弧所對的_叫1弧度的角以弧度作為單位來度量角的單位制,叫做_,它的單位符號是_,讀作_,通常略去不寫(5)度與弧度的換算關(guān)系360_ rad;180_ rad;1_ rad;1 rad_57.30.(6)弧長公式與扇形面積公式l_,即弧長等于_S扇_.2三角函數(shù)的定義設(shè)是一個任意角,它的終邊上任意一點P的坐標為(x,y),
3、|OP|r,我們規(guī)定:比值叫做的正弦,記作sin ,即sin ;比值叫做的余弦,記作cos ,即cos ;比值_(x0)叫做的正切,記作tan ,即tan .(1)三角函數(shù)值的符號各象限的三角函數(shù)值的符號如下圖所示,三角函數(shù)正值歌:一全正,二正弦,三正切,四余弦(2)三角函數(shù)線下圖中有向線段MP,OM,AT分別表示_,_和_自我檢測1“”是“cos 2”的_條件2與2010終邊相同的最小正角為_,最大負角為_3(2010山東青島高三教學(xué)質(zhì)量檢測)已知sin 0,則角是第_象限角4若n360,m360(m,nZ),則,終邊關(guān)于直線_對稱5已知角的終邊上一點的坐標為,則角的最小正值為_探究點一角的
4、概念例1(1)如果角是第三象限角,那么,角的終邊落在第幾象限;(2)寫出終邊落在直線yx上的角的集合;(3)若168k360 (kZ),求在0,360)內(nèi)終邊與角的終邊相同的角變式遷移1若是第二象限的角,試分別確定2,的終邊所在位置探究點二弧長與扇形面積例2已知一個扇形的圓心角是,00),當(dāng)為多少弧度時,該扇形有最大面積?變式遷移2(1)已知扇形的周長為10,面積為4,求扇形中心角的弧度數(shù);(2)已知扇形的周長為40,當(dāng)它的半徑和中心角取何值時,才能使扇形的面積最大?最大面積是多少?探究點三三角函數(shù)的定義例3已知角的終邊在直線3x4y0上,求sin ,cos ,tan 的值變式遷移3已知角的終
5、邊經(jīng)過點P(4a,3a) (a0),求sin ,cos ,tan 的值1角的度量由原來的角度制改換為弧度制,要養(yǎng)成用弧度表示角的習(xí)慣,象限角的判斷,終邊相同的角的表示,弧度、弧長公式和扇形面積公式的運用是學(xué)習(xí)三角函數(shù)的基礎(chǔ)2三角函數(shù)都是以角為自變量(用弧度表示),以比值為函數(shù)值的函數(shù),是從實數(shù)集到實數(shù)集的映射,注意兩種定義法,即坐標法和單位圓法(滿分:90分)一、填空題(每小題6分,共48分)1點P從(1,0)出發(fā),沿單位圓x2y21逆時針方向運動弧長到達Q,則Q的坐標為_2(2011汕頭模擬)若角和角的終邊關(guān)于x軸對稱,則角可以用表示為_3已知點P落在角的終邊上,且0,2),則的值為_4已知
6、為第三象限的角,則在第_象限5(2011南京模擬)已知點P(sin cos ,tan )在第一象限,且0,2,則的取值范圍是_6若1弧度的圓心角所對弦長等于2,則這個圓心角所對的弧長等于_7(2011淮安模擬)已知角的終邊落在直線y3x上,則_.8閱讀下列命題:若點P(a,2a) (a0)為角終邊上一點,則sin ;同時滿足sin ,cos 的角有且只有一個;設(shè)tan 且0 (為象限角),則在第一象限其中正確命題為_(將正確命題的序號填在橫線上)二、解答題(共42分)9(14分)已知扇形OAB的圓心角為120,半徑長為6,(1)求的弧長;(2)求弓形OAB的面積10(14分)在單位圓中畫出適合
7、下列條件的角的終邊的范圍,并由此寫出角的集合:(1)sin ;(2)cos .11(14分)已知角終邊經(jīng)過點P(x,) (x0),且cos x.求sin 的值答案 自主梳理1始邊頂點終邊逆順零(1)第幾象限(2)|k,kZ(3)|k360,kZ|2k,kZ(4)半徑圓心角弧度制rad弧度(5)2(6)|r弧所對的圓心角(弧度數(shù))的絕對值與半徑的積lr|r22.(2)的正弦線的余弦線的正切線自我檢測1充分而不必要2.2101503.三4.x軸5.課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引(1)一般地,角與終邊關(guān)于x軸對稱;角與終邊關(guān)于y軸對稱;角與終邊關(guān)于原點對稱(2)利用終邊相同的角的集合S|2k,kZ判斷一個角
8、所在的象限時,只需把這個角寫成0,2)范圍內(nèi)的一角與2的整數(shù)倍,然后判斷角的象限(3)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角,方法為先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合,然后通過對集合參數(shù)k賦值來求得所需角解(1)2k2k (kZ),2k2k(kZ),即2k2k (kZ)角終邊在第二象限又由各邊都加上,得2k22k (kZ)是第四象限角同理可知,是第一象限角(2)在(0,)內(nèi)終邊在直線yx上的角是,終邊在直線yx上的角的集合為.(3)168k360 (kZ),56k120 (kZ)056k120360,k0,1,2時,0,360)故在0,360)內(nèi)終邊與角的終邊相同的角是56,176,
9、296.變式遷移1解是第二象限的角,k36090k360180 (kZ)(1)2k36018022k360360 (kZ),2的終邊在第三或第四象限,或角的終邊在y軸的非正半軸上(2)k18045k18090 (kZ),當(dāng)k2n (nZ)時,n36045n36090;當(dāng)k2n1 (nZ)時,n3602252,舍去,.(2)扇形的周長為40,即R2R40,SlRR2R2R2100.當(dāng)且僅當(dāng)R2R,即R10,2時扇形面積取得最大值,最大值為100.例3解題導(dǎo)引某角的三角函數(shù)值只與該角終邊所在位置有關(guān),當(dāng)終邊確定時三角函數(shù)值就相應(yīng)確定了但若終邊落在某條直線上時,這時終邊實際上有兩個,因此對應(yīng)的函數(shù)值
10、有兩組,要分別求解解角的終邊在直線3x4y0上,在角的終邊上任取一點P(4t,3t) (t0),則x4t,y3t,r5|t|,當(dāng)t0時,r5t,sin ,cos ,tan ;當(dāng)t0時,sin ,cos ,tan ;t0,則r5a,角在第二象限,sin ,cos ,tan .若a0,cos 0,P在第四象限,.4二或四解析是第三象限角,180k360270k360(kZ)90k180135k180(kZ)當(dāng)k2m (mZ)時可得90m360135m360,故的終邊在第二象限當(dāng)k2m1 (mZ)時可得270m360315m360,故的終邊在第四象限綜上,可知是第二或第四象限的角5.解析由已知得2k
11、2k或2k2k,kZ.02,當(dāng)k0時,或.6.解析設(shè)圓的半徑為r,rsin 1.r.弧長lr.72或2解析角終邊落在直線y3x上,為第二或第四象限角當(dāng)為第二象限時,2.若為第四象限時,2.8解析中,當(dāng)在第三象限時,sin ,故錯中,同時滿足sin ,cos 的角為2k (kZ),不只有一個,故錯正確可能在第一象限或第四象限,故錯綜上選.9解(1)120,r6,的弧長為lr64.(4分)(2)S扇形OABlr4612,(8分)SABOr2sin 629,(12分)S弓形OABS扇形OABSABO129.(14分)10解(1)作直線y交單位圓于A、B兩點,連結(jié)OA、OB,則OA與OB圍成的區(qū)域即為角的集合為.(7分)(2)作直線x交單位圓于C、D兩點,連結(jié)OC、OD,則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角終邊的范圍故滿足條件的角的集合為.(14分)11解P(x,) (x0),點P到原點的距離r.(2分)又cos x,cos x.x0,x,r2.(6分)當(dāng)x時,P點坐標為(,),由三角函數(shù)的定義,有sin ,sin ;(10分)當(dāng)x時,同樣可求得sin .(14分)