高等數(shù)學教學課件:v-5-2定積分的性質(zhì) 中值定理

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1、高等數(shù)學第第 二二 節(jié)節(jié) 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì) 中值定理中值定理一、基本內(nèi)容一、基本內(nèi)容二、小結(jié)、思考題二、小結(jié)、思考題高等數(shù)學對定積分的對定積分的補充規(guī)定補充規(guī)定:(1)當)當ba 時,時,0)( badxxf;(2)當當ba 時時, abbadxxfdxxf)()(.說明說明 在下面的性質(zhì)中,假定定積分都存在下面的性質(zhì)中,假定定積分都存在,且不考慮積分上下限的大小在,且不考慮積分上下限的大小一、基本內(nèi)容一、基本內(nèi)容高等數(shù)學證證 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg

2、badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.(此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況)(此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況)性質(zhì)性質(zhì)1 1高等數(shù)學 babadxxfkdxxkf)()( (k 為為常常數(shù)數(shù)). 證證 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性質(zhì)性質(zhì)2 2高等數(shù)學 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.補充補充:不論:不論 的相對位置如何的相對位置如何, 上式總成立上式總成立.cba,例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)

3、()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf(定積分對于積分區(qū)間具有可加性)(定積分對于積分區(qū)間具有可加性)則則假設假設bca 性質(zhì)性質(zhì)3 3可可加加性性高等數(shù)學dxba 1dxba ab .則則0)( dxxfba. . )(ba 證證, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf性質(zhì)性質(zhì)4 4性質(zhì)性質(zhì)5 5如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上0)( xf,保保號號性性高等數(shù)學有有思思 考考. 0)(, 0)(, badxxf

4、xfba是否有是否有連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)上上若在若在高等數(shù)學比比較較積積分分值值dxex 20和和dxx 20的的大大小小. 解解令令,)(xexfx 0, 2 x, 0)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx 例例1高等數(shù)學性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論:的推論:證證),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于是于是 dxxfba )( dxxgba )(.則則dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(xgxf ,(1)單單

5、調(diào)調(diào)性性高等數(shù)學dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 證證, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba )(dxxfba )(.說明:說明: 可積性是顯然的可積性是顯然的.|)(xf|在區(qū)間在區(qū)間,ba上的上的性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論:的推論:(2)高等數(shù)學設設M及及m分分別別是是函函數(shù)數(shù)證證,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba (此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍)(此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍)則則 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上

6、上的的最最大大值值及及最最小小值值,性質(zhì)性質(zhì)6 6有有界界性性高等數(shù)學估估計計積積分分dxx 03sin31的的值值. 解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx例例2高等數(shù)學 估估計計積積分分dxxx 24sin的的值值. 解解,sin)(xxxf 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 2,4 x, 0 )(xf在在2,4 上上單單調(diào)調(diào)下下降降,故故4 x為為極極大大點點,2 x為為極極小小點點,例例3高等數(shù)學,22)4( fM,2)2( fm,442 a

7、b,422sin4224 dxxx.22sin2124 dxxx高等數(shù)學如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù),證證Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知則則在在積積分分區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點點 ,使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性質(zhì)性質(zhì)7 7(定積分中值定理)(定積分中值定理)積分中值公式積分中值公式高等數(shù)學在區(qū)間在區(qū)間,ba上至少存在一個點上至少存在一個點 ,使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在區(qū)間

8、在區(qū)間,ba上至少存在一上至少存在一個點個點 ,即即積分中值公式的幾何解釋:積分中值公式的幾何解釋:xyoab )( f使使得得以以區(qū)區(qū)間間,ba為為以以曲曲線線)(xfy 底底邊邊,為曲邊的曲邊梯形的面積為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為等于同一底邊而高為)( f的的一一個個矩矩形形的的面面積積。高等數(shù)學設設)(xf可可導導,且且1)(lim xfx, 求求dttfttxxx 2)(3sinlim. 解解由積分中值定理知有由積分中值定理知有,2, xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f )(3l

9、im2 f . 6 例例4高等數(shù)學分析分析的改變而改變的改變而改變隨隨x )1(.21lim,)()()0(0)0()0(0)(00 xxxfdttfUxfUxxfx證證明明有有中中值值定定理理,且且內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)可可導導,的的某某鄰鄰域域在在設設例例5的的關關系系與與分分析析)()2(xf 證明證明)()0(21)0()(0)0()0()(2200 xoxfxfdtttffdttfxx ,)()()0(21)0(22xxfxoxfxf 即即)()0(21)0()(0 xoxffxfx 時時,那那么么當當21lim)0(21lim)0(/)()0(21)0()(lim000 xxxffxxoxfxfxf高等數(shù)學定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)(注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應用)(注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應用)典型問題典型問題()估計積分值;()估計積分值;()不計算定積分比較積分大?。ǎ┎挥嬎愣ǚe分比較積分大小二、小結(jié)二、小結(jié)高等數(shù)學思考題思考題.lim,)()()0(0)0(, 0)0()0()0(0)(00)()1(存存在在,并并求求此此極極限限證證明明有有中中值值定定理理,且且階階導導數(shù)數(shù),內(nèi)內(nèi)有有的的某某鄰鄰域域在在設設 xnnxxfdttfUxfffnUxxfx

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