活用割補(bǔ)法求面積

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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 在組合圖形中，除了多邊形外，還有由圓、扇形、弓形與三角形、矩形、平行四邊形、梯形等圖形組合而成的不規(guī)則圖形，為了計(jì)算它們的面積，常常需要變動(dòng)圖形的位置或?qū)D形進(jìn)行分割、旋轉(zhuǎn)、拼補(bǔ)，使它變成可以計(jì)算出面積的規(guī)則圖形。就是在多邊形的組合圖形中，為了計(jì)算面積，有時(shí)也要用到割補(bǔ)的方法。 　　　　例1求下列各圖中陰影部分的面積： 　　 　　　　分析與解：（1）如左下圖所示，將左下角的陰影部分分為兩部分，然后按照右下圖所示，將這兩部分分別拼補(bǔ)在陰影位置?？梢钥闯?，原題圖的陰影部分等于右下圖中AB弧所形成的弓形，其面積等于扇形OAB與三角形OAB的面積之差。 π

2、×4×4÷4-4×4÷2=4.56。 　　 　?。?）在題圖虛線分割的兩個(gè)正方形中，右邊正方形的陰影部分是半徑為5的四分之一個(gè)圓，在左邊正方形中空白部分是半徑為5的四分之一個(gè)圓。 　　如下圖所示，將右邊的陰影部分平移到左邊正方形中?？梢钥闯觯}圖的陰影部分正好等于一個(gè)正方形的面積，為5×5=25。 　　 　　　　例2在一個(gè)等腰三角形中，兩條與底邊平行的線段將三角形的兩條邊等分成三段（見(jiàn)右圖），求圖中陰影部分的面積占整個(gè)圖形面積的幾分之幾。 　　 　　　　分析與解：陰影部分是一個(gè)梯形。我們用三種方法解答。 　?。?）割補(bǔ)法 　　從頂點(diǎn)作底邊上的高，得到兩個(gè)相同的直角三角形。將

3、這兩個(gè)直角三角 　　 　 　?。?）拼補(bǔ)法 　　將兩個(gè)這樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形（下頁(yè)左上圖）。 　　 　　積和平行四邊行面積同時(shí)除以2，商不變。所以原題陰影部分占整個(gè)圖形面 　　 　　 　?。?）等分法 　　將原圖等分成9個(gè)小三角形（見(jiàn)右上圖），陰影部分占3個(gè)小三角形， 　　 　　注意，后兩種方法對(duì)任意三角形都適用。也就是說(shuō)，將例題中的等腰三角形換成任意三角形，其它條件不變，結(jié)論仍然成立。 　　　　例3如左下圖所示，在一個(gè)等腰直角三角形中，削去一個(gè)三角形后，剩下一個(gè)上底長(zhǎng)5厘米、下底長(zhǎng)9厘米的等腰梯形（陰影部分）。求這個(gè)梯形的面積。 　　 　　　　分析與解：

4、因?yàn)椴恢捞菪蔚母?，所以不能直接求出梯形的面積?？梢詮牡妊苯侨切闻c正方形之間的聯(lián)系上考慮。將四個(gè)同樣的等腰直角三角形拼成一個(gè)正方形（上頁(yè)右下圖），圖中陰影部分是邊長(zhǎng)9厘米與邊長(zhǎng)5厘米的兩個(gè)正方形面積之差，也是所求梯形面積的4倍。所以所求梯形面積是（9×9-5×5）÷4=14（厘米2）。 　　　　例4在左下圖的直角三角形中有一個(gè)矩形，求矩形的面積。 　　 　分析與解：題中給出了兩個(gè)似乎毫無(wú)關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)，無(wú)法溝通與矩形的聯(lián)系。我們給這個(gè)直角三角形再拼補(bǔ)上一個(gè)相同的直角三角形（見(jiàn)右上圖）。因?yàn)锳與A′，B與B′面積分別相等，所以甲、乙兩個(gè)矩形的面積相等。乙的面積是4×6=24，所以甲的面積，

5、即所求矩形的面積也是24。 　　　　例5下圖中，甲、乙兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面積大40厘米2。求乙正方形的面積。 　　 　　　　分析與解：如果從甲正方形中“挖掉”和乙正方形同樣大的正方形丙，所剩的A，B，C三部分之和就是40厘米2（見(jiàn)左下圖）。 　　 　　把C割下，拼補(bǔ)到乙正方形的上面（見(jiàn)右上圖），這樣A，B，C三塊就合并成一個(gè)長(zhǎng)20厘米的矩形，面積是40厘米2，寬是40÷20=2（厘米）。這個(gè)寬恰好是兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之差，由此可求出乙正方形的邊長(zhǎng)為（20-2）÷2=9（厘米），從而乙正方形的面積為9×9=81（厘米2）。 　　練習(xí)22 　　1.求下

6、列各圖中陰影部分的面積： 　　（1） （2） 　　2.以等腰直角三角形的兩條直角邊為直徑畫(huà)兩個(gè)半圓?。ㄒ?jiàn)下圖），直角邊長(zhǎng)4厘米，求圖中陰影部分的面積。 　　 　　3.在左下圖所示的等腰直角三角形中，剪去一個(gè)三角形后，剩下的部分是一個(gè)直角梯形（陰影部分）。已知梯形的面積為36厘米2，上底為3厘米，求下底和高。 　　 　　4.在右上圖中，長(zhǎng)方形AEFD的面積是18厘米2，BE長(zhǎng)3厘米，求CD的長(zhǎng)。 　　5.下圖是甲、乙兩個(gè)正方形，甲的邊長(zhǎng)比乙的邊長(zhǎng)長(zhǎng)3厘米，甲的面積比乙的面積大45厘米2。求甲、乙的面積之和。 　　 　　6.求下圖（單位：厘米）中四邊形ABCD的面積。 　　

7、 五年級(jí)奧數(shù)專題二十一:用等量代換求面積 一個(gè)量可以用它的等量來(lái)代替；被減數(shù)和減數(shù)都增加（或減少）同一個(gè)數(shù)，它們的差不變。前者是等量公理，后者是減法的差不變性質(zhì)。這兩個(gè)性質(zhì)在解幾何題時(shí)有很重要的作用，它能將求一個(gè)圖形的面積轉(zhuǎn)化為求另一個(gè)圖形的面積，或?qū)蓚€(gè)圖形的面積差轉(zhuǎn)化為另兩個(gè)圖形的面積差，從而使隱蔽的關(guān)系明朗化，找到解題思路。 　　　　例1兩個(gè)相同的直角三角形如下圖所示（單位：厘米）重疊在一起，求陰影部分的面積。 　　 　　　　分析與解：陰影部分是一個(gè)高為3厘米的直角梯形，然而它的上底與下底都不知道，因而不能直接求出它的面積。因?yàn)槿切蜛BC與三角形DEF完全相同，都減去三角形D

8、OC后，根據(jù)差不變性質(zhì)，差應(yīng)相等，即陰影部分與直角梯形OEFC面積相等，所以求陰影部分的面積就轉(zhuǎn)化為求直角梯形OEFC的面積。直角梯形OEFC的上底為10-3=7（厘米），面積為（7+10）×2÷2=17（厘米2）。 　　所以，陰影部分的面積是17厘米2。 　　　　例2在右圖中，平行四邊形ABCD的邊BC長(zhǎng)10厘米，直角三角形ECB的直角邊EC長(zhǎng)8厘米。已知陰影部分的總面積比三角形EFG的面積大10厘米2，求平行四邊形ABCD的面積。 　　 　　　　分析與解：因?yàn)殛幱安糠直热切蜤FG的面積大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根據(jù)差不變性質(zhì)，所得的兩個(gè)新圖形的面積差不變，即平行四邊行A

9、BCD比直角三角形ECB的面積大10厘米2，所以平行四邊形ABCD的面積等于 　　10×8÷2+10=50（厘米2）。 　　　　例3在右圖中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面積大18厘米2。求ED的長(zhǎng)。 　　 　分析與解：求ED的長(zhǎng)，需求出EC的長(zhǎng)；求EC的長(zhǎng)，需求出直角三角形ECB的面積。因?yàn)槿切蜛FB比三角形EFD的面積大18厘米2，這兩個(gè)三角形都加上四邊形FDCB后，其差不變，所以梯形ABCD比三角形ECB的面積大18厘米2。也就是說(shuō)，只要求出梯形ABCD的面積，就能依次求出三角形ECB的面積和EC的長(zhǎng)，從而求出ED的長(zhǎng)。 　　梯形AB

10、CD面積=（8+4）×6÷2=36（厘米2）， 　　三角形ECB面積=36-18=18（厘米2）， 　　EC=18÷6×2=6（厘米）， 　　ED=6-4=2（厘米）。 　　　　例4 下頁(yè)上圖中，ABCD是7×4的長(zhǎng)方形，DEFG是10×2的長(zhǎng)方形，求三角形BCO與三角形EFO的面積之差。 　　 分析：直接求出三角形BCO與三角形EFO的面積之差，不太容易做到。如果利用差不變性質(zhì)，將所求面積之差轉(zhuǎn)化為另外兩個(gè)圖形的面積之差，而這兩個(gè)圖形的面積之差容易求出，那么問(wèn)題就解決了。 　　　　解法一：連結(jié)B，E（見(jiàn)左下圖）。三角形BCO與三角形EFO都加上三角形BEO，則原來(lái)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求

11、三角形BEC與三角形BEF的面積之差。所求為4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。 　　 　　　　解法二：連結(jié)C，F(xiàn)（見(jiàn)右上圖）。三角形BCO與三角形EFO都加上三角形CFO，則原來(lái)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角形BCF與三角形ECF的面積之差。所求為4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。 　　　　解法三：延長(zhǎng)BC交GF于H（見(jiàn)下頁(yè)左上圖）。三角形BCO與三角形EFO都加上梯形COFH，則原來(lái)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角形BHF與矩形CEFH的面積之差。所求為（4+2）×（10-7）÷2-2×（10-7）=3。 　　 　　　　解法四：延長(zhǎng)AB，F(xiàn)E交于H（見(jiàn)右上圖）。三角形BCO與三角

12、形EFO都加上梯形BHEO，則原來(lái)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求矩形BHEC與直角三角形BHF的面積之差。所求為4×（10-7）-（10-7）×（4+2）÷2=3。[ 例5左下圖是由大、小兩個(gè)正方形組成的，小正方形的邊長(zhǎng)是4厘米，求三角形ABC的面積。 　　 　　　　分析與解：這道題似乎缺少大正方形的邊長(zhǎng)這個(gè)條件，實(shí)際上本題的結(jié)果與大正方形的邊長(zhǎng)沒(méi)關(guān)系。連結(jié)AD（見(jiàn)右上圖），可以看出，三角形ABD與三角形ACD的底都等于小正方形的邊長(zhǎng)，高都等于大正方形的邊長(zhǎng)，所以面積相等。因?yàn)槿切蜛FD是三角形ABD與三角形ACD的公共部分，所以去掉這個(gè)公共部分，根據(jù)差不變性質(zhì)，剩下的兩個(gè)部分，即三角形ABF與三角形

13、 FCD面積仍然相等。根據(jù)等量代換，求三角形ABC的面積等于求三角形BCD的面積，等于4×4÷2=8（厘米2）。 　　 　　練習(xí)21 　　 　　1.左下圖中，等腰直角三角形ABC的腰為10厘米，以C為圓心、CF為半徑畫(huà)弧線EF，組成扇形CEF。如果圖中甲、乙兩部分的面積相等，那么扇形所在的圓的面積是多少？ 　　 　　2.右上圖（單位：厘米）是兩個(gè)相同的直角梯形重疊在一起，求陰影部分的面積。 　　3.左下圖中，扇形ABD的半徑是4厘米，甲比乙的面積大3.44厘米2。求直角梯形ABCD的面積。（π=3.14） 　　 　　4.在右上圖的三角形中，D，E分別是所在邊的中點(diǎn)，求四邊形ADFE的面積。 　　5.下頁(yè)左上圖中，矩形ABCD的邊AB為4厘米，BC為6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面積大9厘米2，求ED的長(zhǎng)。 　　 　　6.右上圖中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面積大2厘米2，求CD的長(zhǎng)。 　　影部分的面積和。 　　 專心---專注---專業(yè)