一輪北師大版理數(shù)學(xué)教案：第3章 第3節(jié)　三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) Word版含解析

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1、 第三節(jié)　三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) [考綱傳真]　1.能畫(huà)出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的圖像，了解三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值以及與x軸的交點(diǎn)等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性． 1．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖 正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0,2π]圖像的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 余弦函數(shù)y＝cos x，x∈[0,2π]圖像的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì) 函數(shù) y＝si

2、n x y＝cos x y＝tan x 圖像 定義域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 單調(diào)性 遞增區(qū)間： k∈Z， 遞減區(qū)間： k∈Z 遞增區(qū)間：[2kπ－π，2kπ] k∈Z， 遞減區(qū)間：[2kπ，2kπ＋π] k∈Z 遞增區(qū)間(k∈Z) 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 對(duì)稱性 對(duì)稱中心(kπ，0)k∈Z 對(duì)稱中心k∈Z 對(duì)稱中心k∈Z 對(duì)稱軸x＝kπ＋(k∈Z) 對(duì)稱軸x＝kπ(k∈Z) — 周期性 2π 2π π 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1

3、)常數(shù)函數(shù)f(x)＝a是周期函數(shù)，它沒(méi)有最小正周期．(　　) (2)函數(shù)y＝sin x的圖像關(guān)于點(diǎn)(kπ，0)(k∈Z)中心對(duì)稱．(　　) (3)正切函數(shù)y＝tan x在定義域內(nèi)是增函數(shù)．(　　) (4)y＝sin |x|是偶函數(shù)．(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(20xx·云南二次統(tǒng)一檢測(cè))函數(shù)f(x)＝cos的圖像關(guān)于(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962146】 A．原點(diǎn)對(duì)稱　　　 B．y軸對(duì)稱 C．直線x＝對(duì)稱 D．直線x＝－對(duì)稱 A　[函數(shù)f(x)＝cos＝－sin 2x是奇函數(shù)，則圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選A.] 3．函數(shù)y＝tan 2x的定

4、義域是(　　) A. B． C. D． D　[由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z， ∴y＝tan 2x的定義域?yàn)?] 4．(20xx·長(zhǎng)沙模擬(一))函數(shù)y＝sin，x∈[－2π，2π]的遞增區(qū)間是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962147】 A. B．和 C. D． C　[令z＝x＋，函數(shù)y＝sin z的遞增區(qū)間為(k∈Z)，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋得4kπ－≤x≤4kπ＋，而x∈[－2π，2π]，故其遞增區(qū)間是，故選C.] 5．(教材改編)函數(shù)f(x)＝4－2cos x的最小值是________，取得最小值時(shí)，x的取值集合為_(kāi)_______． 2　{x|x＝6kπ，

5、k∈Z}　[f(x)min＝4－2＝2，此時(shí)，x＝2kπ(k∈Z)，x＝6kπ(k∈Z)，所以x的取值集合為{x|x＝6kπ，k∈Z}．] 三角函數(shù)的定義域與值域 　(1)(20xx·全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值為(　　) A．4　　　B．5　　　C．6　　　D．7 (2)函數(shù)y＝lg(sin 2x)＋的定義域?yàn)開(kāi)_______． (1)B　(2)∪　[(1)∵f(x)＝cos 2x＋6cos＝cos 2x＋6sin x ＝1－2sin2x＋6sin x＝－2＋， 又sin x∈[－1,1]，∴當(dāng)sin x＝1時(shí)，f(x)取得最大值5.故選B.

6、 (2)由得 ∴－3≤x＜－或0＜x＜， ∴函數(shù)y＝lg(sin 2x)＋的定義域?yàn)椤?] [規(guī)律方法]　1.三角函數(shù)定義域的求法 求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡(jiǎn)單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖像來(lái)求解． 2．求三角函數(shù)最值或值域的常用方法 (1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解． (2)化一法：把所給三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函數(shù)單調(diào)性寫(xiě)出函數(shù)的值域． (3)換元法：把sin x，cos x，sin xcos x或sin x±cos x換成t，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解． [變式訓(xùn)練1]　(1)已知函數(shù)y＝2cos x的

7、定義域?yàn)椋涤驗(yàn)閇a，b]，則b－a的值是(　　) A．2　　　B．3　　　C.＋2　　　D．2－ (2)求函數(shù)y＝cos2x＋sin x的最大值與最小值． (1)B　[∵x∈，∴cos x∈，故y＝2cos x的值域?yàn)閇－2,1]， ∴b－a＝3.] (2)令t＝sin x，∵|x|≤，∴t∈，3分 ∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋， ∴當(dāng)t＝時(shí)，ymax＝，當(dāng)t＝－時(shí)，ymin＝，7分 ∴函數(shù)y＝cos2x＋sin x的最大值為，最小值為. 12分 三角函數(shù)的單調(diào)性 　(1)(20xx·洛陽(yáng)模擬)已知ω＞0，函數(shù)f(x)＝sin在上遞減，則ω的取值范圍是(　　) 【導(dǎo)

8、學(xué)號(hào)：57962148】 A. B． C. D．(0,2] (2)函數(shù)f(x)＝sin的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)_______． (1)A　(2)(k∈Z)　[(1)由＜x＜π得ω＋＜ωx＋＜πω＋，由題意知， 所以解得≤ω≤. (2)由已知函數(shù)為y＝－sin，欲求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，只需求y＝sin的單調(diào)增區(qū)間即可． 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 故所求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(k∈Z)．] [規(guī)律方法]　1.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法 (1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡(jiǎn)化原則，將解析式先化簡(jiǎn)，并注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”． (2)求形

9、如y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx＋φ”為一個(gè)整體，通過(guò)解不等式求解．若ω＜0，應(yīng)先用誘導(dǎo)公式化x的系數(shù)為正數(shù)，以防止把單調(diào)性弄錯(cuò)． 2．已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)．先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解． [變式訓(xùn)練2]　(1)函數(shù)f(x)＝tan的遞增區(qū)間是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962149】 (2)若函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω＞0)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，則ω＝________. (1)(k∈Z)　(2)　[(1)由－＋kπ＜2x－＜＋kπ(k∈Z)， 得－＜x＜＋(k∈Z)． (2)∵f(x)＝sin ωx(ω＞0)

10、過(guò)原點(diǎn)， ∴當(dāng)0≤ωx≤，即0≤x≤時(shí)，y＝sin ωx是增函數(shù)； 當(dāng)≤ωx≤，即≤x≤時(shí)，y＝sin ωx是減函數(shù)． 由f(x)＝sin ωx(ω＞0)在上遞增， 在上遞減知，＝，∴ω＝.] 三角函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性 角度1　奇偶性與周期性的判斷 　(1)(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)在函數(shù)：①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos2x＋，④y＝tan中，最小正周期為π的所有函數(shù)為(　　) A．②④ B．①③④ C．①②③ D．①③ (2)函數(shù)y＝1－2sin2是(　　) A．最小正周期為π的奇函數(shù) B．最小正周期為π的偶函數(shù) C．最小正周期為的

11、奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù) (1)C　(2)A　[(1)①y＝cos|2x|＝cos 2x，T＝π. ②由圖像知，函數(shù)的周期T＝π. ③T＝π. ④T＝. 綜上可知，最小正周期為π的所有函數(shù)為①②③. (2)y＝1－2sin2＝cos 2＝－sin 2x，所以f(x)是最小正周期為π的奇函數(shù)．] 角度2　求三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心 　(20xx·安徽江南十校3月聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為4π，且對(duì)任意x∈R，都有f(x)≤f成立，則f(x)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962150】 A. B． C. D． A

12、　[由f(x)＝sin (ωx＋φ)的最小正周期為4π，得ω＝.因?yàn)閒(x)≤f恒成立，所以f(x)max＝f， 即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， ∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，由|φ|＜， 得φ＝，故f(x)＝sin. 令x＋＝kπ(k∈Z)， 得x＝2kπ－(k∈Z)，故f(x)圖像的對(duì)稱中心為(k∈Z)，當(dāng)k＝0時(shí)，f(x)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)為，故選A.] 角度3　三角函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用 　(1)如果函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么|φ|的最小值為(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. (2)已知函數(shù)f(x)＝sin x＋acos x的圖像關(guān)于

13、直線x＝對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a的值為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962151】 A．－ B．－　　　 C. D. (1)A　(2)B　[(1)由題意得3cos ＝3cos＝3cos＝0， ∴＋φ＝kπ＋，k∈Z， ∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值為. (2)由x＝是f(x)圖像的對(duì)稱軸， 可得f(0)＝f， 即sin 0＋acos 0＝sin＋acos， 解得a＝－.] [規(guī)律方法]　1.對(duì)于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，其對(duì)稱軸一定經(jīng)過(guò)圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此在判斷直線x＝x0或點(diǎn)(x0,0)是不是函數(shù)的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心時(shí)，可通過(guò)檢驗(yàn)f

14、(x0)的值進(jìn)行判斷． 2．求三角函數(shù)周期的方法： (1)利用周期函數(shù)的定義． (2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期為. (3)借助函數(shù)的圖像． [思想與方法] 1．討論三角函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)先把函數(shù)式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的形式，再用換元法令t＝ωx＋φ，將其轉(zhuǎn)化為研究y＝sin t的性質(zhì)． 2．求三角函數(shù)值域(最值)的常用方法： (1)將函數(shù)變形化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，逐步分析ωx＋φ的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫(xiě)出函數(shù)的值域(最值)． (2)換元法：把sin x或

15、cos x看作一個(gè)整體，可化為求二次函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)問(wèn)題． 3．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，則 (1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝＋kπ(k∈Z)； (2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)． [易錯(cuò)與防范] 1．閉區(qū)間上最值或值域問(wèn)題，首先要在定義域基礎(chǔ)上分析單調(diào)性，含參數(shù)的最值問(wèn)題，要討論參數(shù)對(duì)最值的影響． 2．求y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0)的單調(diào)區(qū)間，要注意ω的正負(fù)，只有當(dāng)ω＞0時(shí)，才能將“ωx＋φ”整體代入相應(yīng)單調(diào)區(qū)間． 3．利用換元法求三角函數(shù)最值時(shí)，注意cos x(或sin x)的有界性． 4．正、余弦函數(shù)的圖像既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形且最值點(diǎn)在對(duì)稱軸上；正切函數(shù)的圖像只是中心對(duì)稱圖形．