高等數(shù)學期末復習：3-2n 洛必達法則

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1、.00)()(lim,)()(,)()(型型未未定定式式或或稱稱為為那那末末極極限限大大都都趨趨于于零零或或都都趨趨于于無無窮窮與與兩兩個個函函數(shù)數(shù)時時或或如如果果當當 xFxfxFxfxaxxax例如例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()( 3.2 洛必達法則洛必達法則.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(),()2(;)()(,)1(000000 xgxfxgxfAxgxfxgxgxfxxxgxfxxxxxxxx 那末那末或為無窮大或為無窮大都存在且都存在且及及本身可以除外本身可以除外點點點的某領域內點的某領域內在

2、在都趨于零都趨于零及及函數(shù)函數(shù)時時當當設設定理定理1洛必達法則洛必達法則. .,)(),(,0該法則仍然成立該法則仍然成立的情形下的情形下時，時，以及以及時時當當 xgxfxxx證證補充定義補充定義, 0)(, 0)(00 xgxf,),(00 xxU內任取一點內任取一點在在 ,0為端點的區(qū)間上為端點的區(qū)間上與與在以在以xx,)(),(件件滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的條條xgxf則有則有)()()()()()(00 xgxgxfxfxgxf )()( gf)(0之間之間與與在在xx ,00 xxx 時時當當,)()(lim0Axgxfxx ,)()(lim0Agfx .)()(lim)

3、()(lim00Agfxgxfxxx 例例1 1解解.tanlim30 xxxx 求求)()(tanlim30 xxxx原式原式22031seclimxxx 例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23 )00()00(2203tanlimxxx .31 例例4 4解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原式原式. 1 )( )( axbxxcoscoslim0 解解1lim nxxnxe原式原式. ).0(lim. 3 nxxxe求求例例22)1(li

4、m nxxxnne33)2)(1(lim nxxxnnne 例例5 5解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 )( 例例6 6解解).0(lnlim nxxx求求xnxxnx11lnlim 原式原式 nxxx1lnlim nxxx2ln)1(lim . 0 例例7.已知已知 其中其中 , 有二階連有二階連 續(xù)導數(shù)，續(xù)導數(shù)， 1、確定、確定 的值，使的值，使 在點在點 連續(xù)；連續(xù)； 2

5、 2、求、求 0,0,cos)()(xaxxxxgxf)(xg1)0( ga)(xf0 x)(xf xxxgaxcos)(lim0 1sin)(lim0 xxgx )0(g xgxxxgfx)0(cos)(lim)0(0 20)0(cos)(limxxgxxgx )1)0(21 gxgxxgx2)0(sin)(lim0 型未定式解法型未定式解法00,1 ,0 ,0 關鍵關鍵: :將其它類型未定式化為洛必達法則可解決將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型的類型 .),00()( 型型 0. 1步驟步驟:,10 .0100 或或例例8 8解解).arctan2(limxxx 求求22111li

6、mxxx 221limxxx . 1 xxx1arctan2lim 原式原式例例9 9解解.lnlim20 xxx 求求3021limxxx 2lim20 xx. 0 201lnlimxxx 原式原式.00lnlim0）（一般地，一般地， xxx例例1010解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 . 0 型型 . 2步驟步驟:步驟步驟:型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取對數(shù)取對數(shù).0 例例1111解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式

7、xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 例例1212解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1313解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取對數(shù)得取對數(shù)得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式例例1414解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 極限不存在極限不存在

8、洛必達法則失效。洛必達法則失效。)cos11(limxxx 原式原式. 1 注意：注意：洛必達法則的使用條件洛必達法則的使用條件.)1ln(1coslim20 xxxx 求求三、小結三、小結洛必達法則洛必達法則型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取對對數(shù)數(shù)令令gfy 作業(yè)作業(yè)習題習題3.21(1,2), 2, 4.一、一、 填空題：填空題：1 1、 洛必達法則除了可用于求洛必達法則除了可用于求“00” ，及” ，及“ ”兩種”兩種類型的未定式的極限外，也可通過變換解決類型的未定式的極限外，也可通過變換解決_，_，_，_，_，等型的未定式，等型的未

9、定式的求極限的問題的求極限的問題. .2 2、 xxx)1ln(lim0 =_.=_.3 3、 xxx2tanln7tanlnlim0=_.=_.練練 習習 題題二、二、 用洛必達法則求下列極限：用洛必達法則求下列極限：1 1、22)2(sinlnlimxxx ； 2 2、xxxarctan)11ln(lim ；3 3、xxx2cotlim0； 4 4、)1112(lim21 xxx；5 5、xxxsin0lim ； 6 6、xxxtan0)1(lim ；7 7、xxx)arctan2(lim . .三、三、 討論函數(shù)討論函數(shù) 0,0,)1()(2111xexexxfxx當當當當, , 在在處處點點0 x的連續(xù)性的連續(xù)性. .一、一、1 1、00,0,1,0 ； 2 2、1 1； 3 3、1.1.二、二、1 1、81； 2 2、1 1； 3 3、21； 4 4、21； 5 5、1 1； 6 6、1 1； 7 7、 2e. .三、連續(xù)三、連續(xù). .練習題答案練習題答案