《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題三答案.

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1、 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題及答案 習(xí)題三 1.將一硬幣拋擲三次， 以 X 表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)， 以  Y 表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與 出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值 .試寫出 X 和 Y 的聯(lián)合分布律  . 【解】 X 和 Y 的聯(lián)合分布律如表： X  0  1  2  3 Y 1 0 C13 1113 C3211 1 3/ 8 0 1 2 2 2 8 2 2 2 1 1 1 1 3 0

2、 0 8 2 2 2 8 2.盒子里裝有 3 只黑球、 2 只紅球、 2 只白球，在其中任取 4 只球，以 X 表示取到黑球的只 數(shù)，以 Y 表示取到紅球的只數(shù) .求 X 和 Y 的聯(lián)合分布律 . 【解】 X 和 Y 的聯(lián)合分布律如表： X 0 1 2 3 Y 0 0 0 C32 C22 3

3、 C33 C12 2 C74 35 C74 35 1 0 C13 C12 C22 6 C32 C12 C12 12 C33 C12 2 C74 35 C74 35 C74 35 2 P(0 黑,2 紅,2 白)= C13 C22 C12 6 C32 C22 3 0 C22 C22 / C74 1 C74 35 C74 35

4、 35 3.設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 π π F（ x， y） = sin x sin y, 0 x 2 ,0 y 2 0, 其他 . 求二維隨機(jī)變量（ X， Y）在長方形域 0 x π, π y π 內(nèi)的概率 . 4 6 3 【解】 如圖 P{0 X π π Y π 4 ,

5、 }公式 (3.2) 6 3 π π F ( π π π π F ( , ) , ) F (0, ) F(0, ) 4 3 4 6 3 6 π π π π π π sin sin sin sin 6 sin 0 sin sin 0 sin 4 3 4 3 6 2 (31). 4 題 3 圖 說明

6、：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。 4.設(shè)隨機(jī)變量（ X，Y）的分布密度 Ae (3x 4 y) , x 0, y 0, f （x， y） = 0, 其他 . 求：（ 1） 常數(shù) A； （ 2） 隨機(jī)變量（ X，Y）的分布函數(shù)； （ 3） P{0 ≤X<1， 0≤Y<2}. 【解】（ 1） 由 f ( x, y)dxdy Ae-(3 x 4y )dxdy A 1 0 0 12 得A=12 （ 2） 由定義，有 y x F ( x, y) f (u, v)dudv y y

7、(3 u 4v)dudv (1 e 3x )(1 e 4 y ) y 0, x 0, 0 12e 0 0, 其他 0, (3) P{0 X 1,0 Y 2} P{0 X 1,0 Y 2} 1 2 (3 x 4 y )dxdy (1 e 3 )(1 e 8 ) 0.9499. 0 12e 0 5.設(shè)隨機(jī)變量（ X，Y）的概率密度為 f（ x， y） = k (6 x y), 0 x 2, 2 y 4,

8、 0, 其他 . （ 1） 確定常數(shù) k； （ 2） 求 P{ X＜1，Y＜3} ； （ 3） 求 P{ X<1.5} ； （ 4） 求 P{ X+Y≤4}. 【解】（ 1） 由性質(zhì)有 f ( x, y)dxdy 2 4 x y)dydx 8k 1, 0 k(6 2 故 1 R 8 （2） P{ X 1,Y 3}

9、1 3 f ( x, y)dydx 1 3 1 x 3 k(6 y)dydx 0 2 8 8 (3) P{ X 1.5} f (x, y)dxdy如圖 a f ( x, y)dxdy x 1.5 D1 1.5 4 1 y)dy 27 dx (6 x . 0 2 8 32 (4) P{ X Y 4} f ( x, y)dxdy如圖 b f

10、 ( x, y)dxdy X Y 4 2 4 x dx 0 2  D2 1(6 x y)d y 2 . 8 3 題 5 圖 6.設(shè) X 和 Y 是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量， X 在（ 0，0.2）上服從均勻分布， Y 的密度函數(shù)為 5e 5 y, y 0, fY（ y） = 其他 . 0, 求：（ 1） X 與 Y 的聯(lián)合分布密度； （ 2） P{ Y≤X}. 題 6

11、圖 【解】（ 1） 因 X 在（ 0， 0.2）上服從均勻分布，所以 X 的密度函數(shù)為 1 , 0 x 0.2, f X ( x)0.2 0, 其他 . 而 fY ( y) 5e 5 y , y 0, 0, 其他 . 所以 f (x ,y X) Y,獨(dú)立 f X x( f)Y y ( ) 1 5e 5 y 25e 5 y

12、 , 0 x 且 y 0, 0.2 0.2 0, 其他 . 0, (2) P(Y X ) f ( x, y)dxdy如圖 25e 5 ydxdy y x D 0.2 x 0.2 ( 5e 5x 5)dx 0 dx 25e-5ydy 0 0 =e-1 0.

13、3679. 7.設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 F （ x， y） = (1 e 4 x )(1 e 2 y ), x 0, y 0, 0, 其他 . 求（ X， Y）的聯(lián)合分布密度 . 【解】 f (x, y) 2 F ( x, y) 8e (4 x 2 y) , x 0, y 0, x y 0, 其他 .

14、 8.設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的概率密度為 f（ x，y） = 4.8y(2 x), 0 x 1,0 y x, 0, 其他 . 求邊緣概率密度 . 【解】 f X ( x) f ( x, y)d y x 4.8y(2 x)dy 2.4x2 (2 x), 0 x 1, = 0 0, 0, 其他 . fY ( y) f ( x, y) dx

15、 1 2. 4y ( 3 y4 y2 ) , y0 1 , = 4. 8y ( 2x x) d y 0, 0 , 其他 . 題8圖 題9圖 9.設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的概率密度為 e y , 0 x y, f（x， y） = 0, 其他 . 求邊緣概率密度 . 【解】 f X ( x) f ( x, y)d y = e ydy e x, x 0, x 0,

16、其他. 0, fY ( y) f (x, y)d x y ydx ye x , y 0, = e 0 0, 其他. 0, 題 10圖 10.設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的概率密度為 cx2 y, x2 y 1, f（ x，y） = 其他 . 0, （ 1） 試確定常數(shù) c； （ 2） 求邊緣概率密度 . 【解】（ 1） f ( x, y)d xdy如圖 f (x, y)dx

17、dy D 1 1 4 c 1. = dx x 2 cx2 ydy -1 21 21 得 . c 4 (2) f X ( x) f ( x, y)dy 2 21 x2 ydy 21 x2 (1 x4 ), 1 x 1, 1 x 4 8 0, 0, 其他. fY ( y) f ( x, y)dx

18、 y 21 x2 ydx 7 y 52 , 0 y 1, 0, y 4 2 0, 其他. 11.設(shè)隨機(jī)變量（ X，Y）的概率密度為 1, y x, 0 x 1, f（ x， y）= 其他 . 0, 求條件概率密度 fY｜ X（ y｜ x）， fX｜Y（ x｜ y） . 題 11圖 【解】 f X ( x) f ( x, y)d y x 1dy 2x, 0 x 1,

19、 x 0, 其他 . 1 1 y, 1 y 0, 1dx y fY ( y) f ( x, y)dx 1 1 y, 0 y 1, 1dx y 0, 其他 . 所以 f ( x, y) 1 | y | x 1, , fY |X ( y | x) 2 x fX (x) 0, 其他 . 1 , y x 1, 1 y

20、 f ( x, y) 1 , y x 1, f X |Y (x | y) 1 fY ( y) y 0, 其他 . 12.袋中有五個號碼 1， 2，3，4，5，從中任取三個，記這三個號碼中最小的號碼為 X，最大 的號碼為 Y. （ 1） 求 X 與 Y 的聯(lián)合概率分布； （ 2） X 與 Y 是否相互獨(dú)立？ 【解】（ 1） X 與 Y 的聯(lián)合分布律如下表 Y 3 4 5 P{ X xi } X

21、 1 1 1 2 2 3 3 6 10 C53 10 C53 10 C53 10 2 0 1 1 2 2 3 10 C 53 10 C53 10 3 0 0 1 1 1 10 C52 10 P{ Y yi } 1 3 6 10 10 10

22、 (2) 因P{X 1} P{Y 6 1 6 1 1,Y 3}, 3} 10 100 P{ X 10 10 故X與Y不獨(dú)立 13.設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的聯(lián)合分布律為 X 2 5 8 Y 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.05 0.12 0.03 （

23、1）求關(guān)于 X 和關(guān)于 Y 的邊緣分布； （ 2） X 與 Y 是否相互獨(dú)立？【解】（ 1） X 和 Y 的邊緣分布如下表 X 2 5 8 P{ Y=yi } Y 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.8 0.05 0.12 0.03 0.2 0.2 0.42 0.38 P{ X xi } (2) 因 P{ X 2} P{Y 0.4} 0.2 0.8 0.16 0.15 P( X 2, Y 0.4), 故X與Y不獨(dú)立

24、 14.設(shè) X 和 Y 是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量， X 在（ 0，1）上服從均勻分布， Y 的概率密度為 f Y（y） = 1 e y / 2 , y 0, 2 其他. 0, （ 1）求 X 和 Y 的聯(lián)合概率密度； （ 2） 設(shè)含有 a 的二次方程為 a2+2Xa+Y=0，試求 a 有實(shí)根的概率 . y 1, 0 x 1, f Y ( y) 1 e 2 , y 1, 【解】（ 1） 因 f X

25、 ( x) 其他 ; 2 0, 0, 其他 . 故 f ( x, y) X ,Y獨(dú)立 f X (x) fY ( y) 1 e y / 2 0 x 1, y 0, 2 0, 其他 . 題14圖 (2) 方程  a2  2Xa  Y  0 有實(shí)根的條件是 (2X )2 4Y 0 故 X2 ≥Y， 從而方程有實(shí)根

26、的概率為： P{ X2 Y} f ( x, y)d xdy x2 y 1 x2 1 e y/ 2 dy dx 2 0 0 1 2 [ (1) (0)] 0.1445. 15.設(shè) X 和 Y 分別表示兩個不同電子器件的壽命（以小時計(jì)） ，并設(shè) X 和 Y 相互獨(dú)立，且服 從同一分布，其概率密度為 f（ x）= 1000 , x 1000, x2 0, 其他 .

27、 求 Z=X/Y 的概率密度 . 【解】 如圖 ,Z 的分布函數(shù) FZ ( ) { } { X } z P Z z P z Y (1) 當(dāng) z≤0時， FZ (z) 0 （ 2） 當(dāng) 0

28、 z = 103 103 106 z y 2 3 dy z zy 2 題 15圖 (3) 當(dāng) z≥1時，（這時當(dāng) y=10 3 時， x=10 3z）（如圖 b） FZ (z) 106 dxdy 3 dy zy 106 2 dx x x 2 y 2 3 x 2 y y

29、 10 10 z = 103 106 dy 1 1 3 2 3 10 y zy 2z 1 1 , z 1, 2z 即 fZ ( z) z

30、, 0 z 1, 2 0, 其他 . 1 , z 1, 2z2 故 f Z ( z) 1 , 0 z 1, 2 0, 其他 . 16.設(shè)某種型號的電子管的壽命 （以小時計(jì)）近似地服從 N（ 160，202）分布 .隨機(jī)地選取 4 只，求其中沒有一只壽命小于 180 的概率 . 【解】 設(shè)這四只壽命為 Xi(i=1

31、,2,3,4) ，則 Xi~N（ 160， 20 2）， 從而 P{min( X1, X 2 , X 3 , X 4 ) 180} Xi 之間獨(dú)立 P{ X1 180} P{ X 2 180} P{ X3 180} P{ X 4 180} [1 P {X 180} ] [1P X { 180}P] [1X { 1 8P0} X] [1 { 180} ] 1 2 3 4 4 [1 P{ X1 180}] 4 1 180

32、 160 20 [1 (1)]4 (0.158) 4 0.00063. 17.設(shè) X，Y 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布律分別為 P{ X=k}= p（ k）， k=0， 1， 2， ， P{ Y=r}= q（ r）， r =0，1， 2， . 證明隨機(jī)變量 Z=X+Y 的分布律為 i P{ Z=i}=  p(k)q(i  k)  ，i=0 ，1， 2， . k 0 【證明】因 X和 所以  Y 所有可能值都是非負(fù)整數(shù)，

33、 { Z  i}  { X  Y i } { X  0,Y  i}  { X  1, Y  i  1}  { X  i, Y  0} 于是 i  i P{ Z  i}  P{ X  k, Y  i  k} X ,Y相互獨(dú)立  P{ X  k} P{ Y  i  k} k 0  k 0

34、 i p(k )q(i  k) k 0 18.設(shè) X，Y 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，  它們都服從參數(shù)為  n，p 的二項(xiàng)分布  .證明  Z=X+Y 服從參 數(shù)為 2n， p 的二項(xiàng)分布 . 【證明】 方法一： X+Y 可能取值為  0，1， 2， ， 2n. k P{ X  Y  k}  P{ X  i, Y  k i} i 0 k P( X i ) P{ Y k i} i 0 k i

35、 0 k i 0  n i n i n k i q n k i i p q p k i n n pkq2n k i k i 2n p k q2 n k k 方法二：設(shè) μ , ， μ′均服從兩點(diǎn)分布（參數(shù)為n p），則 1,μ2, ,μn;μ′,μ′12 ， Y=μ ′+μ′ + +μ′, + +μ X=μ1+μ2n 12

36、n X+Y=μ1+μ2+ +μn+μ1′+μ2′ + +μn′, 所以， X+Y 服從參數(shù)為（ 2n,p)的二項(xiàng)分布 . 19.設(shè)隨機(jī)變量（ X， Y）的分布律為 X 0 1 2 3 4 5 Y 0 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 1 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 3 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 (1) 求 P{ X=2｜Y=

37、2} ， P{ Y=3｜ X=0} ； （ 2） 求 V=max （ X， Y）的分布律； （ 3） 求 U =min （ X， Y）的分布律； （ 4） 求 W=X+Y 的分布律 . 【解】（ 1） P{ X 2 |Y P{ X 2,Y 2} 2} P{Y 2} P{ X 2,Y 2} 0.05 1 5 0.25 , P{ X i ,Y 2} 2

38、 i 0 P{ Y 3| X P{Y 3, X 0} 0} P{ X 0} 3 P{ X 0, Y 3} 0.01 1 ; P{ X 0, Y j} 0.03 3 j 0 （ 2） P{V i} P{max( X ,Y) i} P{ X i ,Y i} P{ X i ,Y i} i 1

39、 i P{ X i,Y k} P{ X k,Y i}, i 0 , 1, 2 , 3 , 4 , k 0 k 0 所以 V 的分布律為 V=max( X,Y) 0 1 2 3 4 5 P 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28 (3) P{U i } P{min( X ,Y ) i} P{ X i ,Y i} P{ X i ,Y i } 3 5 i 0,1, 2,3

40、 P{ X i, Y k} P{ X k ,Y i} k i k i 1 于是 U=min( X,Y) 0 1 2 3 P 0.28 0.30 0.25 0.17 (4)類似上述過程，有 W=X+Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05 20.

41、雷達(dá)的圓形屏幕半徑為 R，設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(diǎn)（ X， Y）在屏幕上服從均勻分布 . （ 1） 求 P{ Y＞0｜Y＞X}； （ 2） 設(shè) M=max{ X， Y} ，求 P{ M＞ 0}. 題20圖 【解】 因（ X， Y）的聯(lián)合概率密度為 1 2 2 2 f (x, y) πR2 , x y R , 0, 其他 . P{Y 0, Y X } （1） P{Y 0|Y X} P{Y X}

42、 f (x, y)d y 0 y x f (x, y)d y x π R 1 r dr d πR2 π/ 4 0 5π R 1 r dr 4 d πR 2 π/ 4 0 3/ 8 3 1/ 2 ; 4 (2) P{ M 0} P{max( X ,Y ) 0} 1 P{max( X ,Y) 0} 1 P{ X 0,Y 0} 1f ( x, y)d 1 1 3 . x 0 4 4 y 0

43、 21.設(shè)平面區(qū)域 D 由曲線 y=1/x 及直線 y=0， x=1,x=e 2 所圍成，二維隨機(jī)變量（ X，Y） 在區(qū)域 D 上服從均勻分布，求（ X， Y）關(guān)于 X 的邊緣概率密度在 x=2 處的值為多少？ 題21圖 【解】 區(qū)域 D 的面積為 S0 e2 1 dx ln x 1e2 2. （ X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為 1 x f ( x, y) 1 , 1 x e2 ,0 y 1 , 2 x 0, 其他.

44、 （ X， Y）關(guān)于 X 的邊緣密度函數(shù)為 1/ x 1 1 2 f X ( x) dy , 1 x e , 0 2 2x 0, 其他 . 所以 f X (2) 1 . 4 22.設(shè)隨機(jī)變量 X 和 Y 相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量（ X，Y）聯(lián)合分布律及關(guān)于 X 和 Y 的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值 .試將其余數(shù)值填入表中的空白處 . Y y1 y2 y3 P{ X=xi}=

45、 pi X x1 1/8 x2 1/8 P{ Y=yj }= pj 1/6 1 2 【解】因  P{Y  yj }  Pj  P{ X  xi ,Y  y j }  , i 1 故 P{Y y1} P{ X x1,Y y1} P{ X x2 ,Y y1}, 從而 P{ X x1,Y y1} 1 1 1 . 6 8 24

46、 而 X與 Y獨(dú)立，故 { } { } { , } , P X xi P Y yj P X xi Y yi 從而 P{ X x1} 1 P{ X x1, Y y1} 1 . 6 24 即： P{ X x1} 1 / 1 1 . 24 6 4 又 P{ X x1 } P{ X x1, Y y1} P{ X x1 ,Y y2} P

47、{ X x1,Y y3}, 即 1 1 1 P{ X x1,Y y3}, 4 24 8 1 從而 P{X x1,Y y3 . } 1 , 12 3 同理 P{ Y y2 } P{ X x2 ,Y y2 } 2 8 3 1 1 1 P{Y y j } 1,故 P{Y 又 y

48、3} 1 2 . j 1 6 3 同理 P{X x2} 3 . 4 從而 P{ X x2 , Y y3} P{Y y3} P{ X x1,Y y3 } 1 1 1 . 3 12 4 故 X Y y1 y2 y3 P{ X xi

49、} Pi x1 1 1 1 1 24 8 12 4 x2 1 3 1 3 8 8 4 4 P{ Y y j } p j 1

50、 1 1 1 6 2 3 23.設(shè)某班車起點(diǎn)站上客人數(shù) X 服從參數(shù)為 λ(λ>0) 的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率 為 p（ 0

51、| } C m m (1 ) n m ,0 , 0,1,2, . n p p P Y m X n m n n (2) P{ X n, Y m} P{ X n} P{Y m | X n} Cnm pm (1 p) n m e n , n m n, n 0,1,2, . n! 24.設(shè)隨機(jī)變量 X 和 Y 獨(dú)立，其中 X 的概率分布為 X~ 1 2 f(y)， 0.3 ，而 Y 的概率

52、密度為 0.7 求隨機(jī)變量 U=X+Y 的概率密度 g(u). 【解】 設(shè) F（ y）是 Y 的分布函數(shù)，則由全概率公式，知 U=X+Y 的分布函數(shù)為 G (u) P{ X Y u} 0.3P{ X Y u | X 1} 0.7 P{ X Y u | X 2} 0.3P{ Y u 1| X 1} 0.7P{Y u 2 | X 2} 由于 X 和 Y 獨(dú)立，可見 G (u) 0.3P{Y u 1} 0.7 P{Y u 2} 0.

53、3F (u 1) 0.7F (u 2). 由此，得 U 的概率密度為 g(u) G (u) 0.3F (u 1) 0.7 F (u 2) 0.3 f (u 1) 0.7 f (u 2). 25. 25. 設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨(dú)立， 且均服從區(qū)間 [0,3] 上的均勻分布，求 P{max{ X,Y} ≤ 1}. 解：因?yàn)殡S即變量服從 [0， 3]上的均勻分布，于是有 1 0 x 3, 1 0 y 3, f ( x) , f ( y) , 3 3

54、 0, x 0, x 3; 0, y 0, y 3. 因?yàn)?X，Y 相互獨(dú)立，所以 1 0 x 3,0 y 3, f (x, y) , 9 0, x 0, y 0, x 3, y 3. 推得 P{max{ X ,Y} 1 1}. 9 26. 設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的概率分布為 X 1 0

55、 1 Y 1 a 0 0.2 0 0.1 b 0.2 1 0 0.1 c 其中 a,b,c 為常數(shù)，且 X 的數(shù)學(xué)期望 E(X)= 0.2,P{ Y≤0|X≤0}=0.5，記 Z=X+Y.求： （ 1） a,b,c 的值； （ 2） Z 的概率分布； （ 3） P{ X=Z}. 解(1) 由概率分布的性質(zhì)知， a+b+c +0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由 E(X) 0.2 ，可得 a c 0.1 . 再由 P{ X 0

56、, Y 0} a b 0.1 P{Y 0X 0} a b 0.5 , P{X 0} 0.5 得 a b 0.3 . 解以上關(guān)于 a，b，c 的三個方程得 a 0.2,b 0.1,c 0.1 . (2) Z 的可能取值為 2， 1， 0， 1， 2， P{Z2} P{ X 1,Y 1} 0.2 ， P{ Z 1} P{ X 1,Y 0} P{X 0, Y 1} 0.1 ， P{ Z 0} P{X

57、 1, Y 1} P{ X 0, Y 0} P{ X 1, Y 1} 0.3 ， P{ Z 1} P{ X 1,Y 0} P{ X 0, Y 1} 0.3， P{ Z 2} P{ X 1,Y 1} 0.1 ， 即 Z 的概率分布為 Z 2 1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 (3) P{ X Z} P{Y 0} 0.1 b 0.2 0.1 0.1 0.2 0.4 .