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1、2導數(shù)的幾何意義：導數(shù)的幾何意義：oxy)(xfy TM0 x)()(,()(000 xfKxfxMxfy處處的的切切線線的的斜斜率率在在點點：問題：下面圖形的特點特點：是最大的或最小的。附近，在)(f0)(f結(jié)論：軸。對應的點切線平行于x3費馬引理：( )( )( )( )( )( )( )( )0.f xUxUf xff xff設函數(shù)在點 的某鄰域內(nèi)有定義，并且在 處可導，如果對任意的，有或，則有證明：情況：僅證明)()(fxf有對于)(Ux),()(fxf, 0)()(fxf4, 0 x若; 0)()(xfxf則有, 0 x若; 0)()(xfxf則有0()( )( )lim0;xfxf
2、fx 0()( )( )lim0;xfxffx ,)(存在f ).()(ff. 0)(f有50)(,fba）使（至少存在?0)(f定存在問題：在什么條件下一下面給幾個圖形特點：）連續(xù)；（ 1）可導（2）兩端點函數(shù)值相等。（3結(jié)論：6一、羅爾(Rolle)定理羅爾羅爾（R Rolleolle）定理）定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導內(nèi)可導, ,且在區(qū)間端點的函數(shù)且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等，即值相等，即)()(bfaf , ,那末在那末在),(ba內(nèi)至少有一點內(nèi)至少有一點)(ba , ,使得函數(shù)使得函數(shù))(xf在該點的導數(shù)等于零，
3、在該點的導數(shù)等于零， 即即0)( f)1()2()3(例如例如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上連續(xù)上連續(xù)在在 ,)3 , 1(上可導上可導在在 , 0)3()1( ff且且)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf7點擊圖片任意處播放點擊圖片任意處播放暫停暫停物理解釋物理解釋: :變速直線運動在變速直線運動在折返點處折返點處,瞬時速瞬時速度等于零度等于零.幾何解釋幾何解釋: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在該點處的切線是在該點處的切線是點點上至少有一上至少有一在曲線弧在曲線弧CABC8證證.)1(mM 若若,)(連連續(xù)續(xù)在在b
4、axf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 則則. 0)( xf由由此此得得),(ba . 0)( f都都有有.)2(mM 若若),()(bfaf .取取得得最最值值不不可可能能同同時時在在端端點點),(afM 設設.)(),(Mfba 使使內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點則則在在),()(,fxfbax有因此，任由費馬引理可知，. 0)(f定理得證。9注意注意:若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其其結(jié)論可能不成立結(jié)論可能不成立.例如例如,21 ,310 ,1)(xxxxxf 1 , 1,)(xxxf2,0,)(2xxxf10例例1 1.10
5、155的正實根的正實根有且僅有一個小于有且僅有一個小于證明方程證明方程 xx證證, 15)(5 xxxf設設,1 , 0)(連續(xù)連續(xù)在在則則xf. 3)1(, 1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即為方程的小于即為方程的小于1的正實根的正實根.,),1 , 0(011xxx 設設另另有有. 0)(1 xf使使,)(10件件之間滿足羅爾定理的條之間滿足羅爾定理的條在在xxxf使得使得之間之間在在至少存在一個至少存在一個),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.為唯一實根為唯一實根112例例有幾個實根
6、。有幾個實根。說明說明的導數(shù)，的導數(shù)，不求不求0)()7)(5)(3()( xfxxxxxf解：解：0)7()5()3()0(ffff上應用羅爾定理，上應用羅爾定理，、分別在分別在對對7 , 55 , 3 3 , 0)(xf使得使得、至少存在至少存在),(),(),(755330321xxx, 0)()()(321xfxfxf上應用羅爾定理，上應用羅爾定理，、分別在分別在再對再對,)(3221xxxxxf 使得使得、至少存在至少存在),(),(322211xxxx , 0)()(21 ff兩個實根，兩個實根，為二次多項式，最多有為二次多項式，最多有又因為又因為)(xf 只有兩個實根。只有兩個實
7、根。0)( xf123例例設 在0, 上連續(xù),在(0, )內(nèi)可導,證明至少存在一點(0, ),使得 =)(xf)( f cot)(f證明: 只要證明 0sincos)()( ff0cos)()(sin ff0sin)( xxxfxxfxFsin)()(設設0)()0( FF則則由羅爾定理由羅爾定理,至少存在一點至少存在一點 0)(0 F），使得），使得，（0cos)(sin)( ff即即 cot)()(ff134例例.)(2)(21, 2)2(,21) 1 ()2 , 1 (2 , 1 )( ffffxf）使得）使得，（證明至少存在證明至少存在內(nèi)可導，內(nèi)可導，上連續(xù)，在上連續(xù)，在在在設設證明：
8、證明：.)(2)( ff0)(2)( ff0)(2)(42 ff,)()(2xxfxF作作21)2() 1 ( FF則則上用羅爾定理上用羅爾定理，在在對對)(21xF使得使得至少存在一點至少存在一點2 , 1 0)( F.)(2)( ff14羅爾定理的推廣：羅爾定理的推廣：abafbff)()()( 15二、拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù) f(x)在在閉區(qū)間閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導內(nèi)可導, ,那末在那末在),(ba內(nèi)至少有一點內(nèi)至少有一點)(ba ，使等式，使等式
9、 )()()(abfafbf 成立成立. .)1()2().()(:bfaf 去去掉掉了了與與羅羅爾爾定定理理相相比比條條件件中中注注意意).()()( fabafbf結(jié)論亦可寫成結(jié)論亦可寫成16ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM幾何解釋幾何解釋:.,ABCAB線平行于弦線平行于弦在該點處的切在該點處的切一點一點上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧證證分析分析:).()(bfaf 條件中與羅爾定理相差條件中與羅爾定理相差弦弦AB方程為方程為).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf減去弦減去弦曲線曲線., 兩端點的函數(shù)值相等兩端點的函數(shù)值相等所得曲線所得曲線ba17作輔助函
10、數(shù)作輔助函數(shù)).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件xF. 0)(,),( Fba使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點則則在在0)()()( abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意: :1 1、也成立；也成立；定理對定理對ab 18xfxfxxf)()()( 則有則有設設),(,baxxx).()(10 xxxfy即即.的的精精確確表表達達式式增增量量 y 拉格朗日中值定理又稱拉格朗日中值定理又稱有限增量定理有限增量定理.一表達法：一表達法：、拉格朗日中值公式另、拉格朗日中值公式另
11、2之間之間與與在在xxx 10, xx令令。、定理的條件必不可少、定理的條件必不可少319證證: 在 I 上任取兩點.)(,)(上是一個常數(shù)上是一個常數(shù)在區(qū)間在區(qū)間那末那末上的導數(shù)恒為零上的導數(shù)恒為零在區(qū)間在區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)IxfIxf定理定理3, )(,2121xxxx在 上用拉格,21xx朗日中值公式 , 得)()(12xfxf)(12xxf 0)(21xx )()(12xfxf由 的任意性知, 21xx、)(xf在 I 上為常數(shù)推推論論CxgxfxgxfI)()(),()(則則上上如果在如果在20例例5 5).11(2arccosarcsin xxx證明證明證證1 , 1,arcco
12、sarcsin)( xxxxf設設)11(11)(22xxxf . 0 ) 1 , 1(,)(xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 ,2 C即即,2arccosarcsin xx) 1 , 1(x2) 1 () 1( ff而而 1 , 1x21例例6 6.)1ln(1,0 xxxxx 時時證明當證明當證證),1ln()(xxf 設設, 0)(上滿足拉氏定理的條件上滿足拉氏定理的條件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxx
13、x 即即227例例babaarctanarctan證明證明證明：證明：, ab 不妨設不妨設,arctan)(xxf作作上用拉格朗日中值定理上用拉格朗日中值定理在在對對,)(abxf)(arctanarctanbafba bababa)(11arctanarctan2 238例例. 0)(), 0)(),(, 0)()(),()(,)()( fbacfbacbfafbaxfbaxfxf使得使得（少存在一點少存在一點證明：至證明：至使使且存在且存在內(nèi)存在，內(nèi)存在，在在上連續(xù)，上連續(xù)，在在、設設證明：證明：上分別用中值定理上分別用中值定理在在對對,)(bccaxf, 0)()()(1acafcff
14、 , 0)()()(2cbcfbff 上用中值定理上用中值定理在在再對再對,)(21 xf bafff 0)()()(1212使使）（故存在故存在),(,21bcca240)0(, 0)( fxf設設9例例 證明對任意 有有0, 021xx)()()(2121xfxfxxf 證明： 不妨設 210 xx 因為 )0()()()()()()(12211221fxfxfxxfxfxfxxf1112xfxf)()( 2122xxx )()()(2121xfxfxxf所以所以121( )()0 x f 121()( )xff12110 x25三、柯西(Cauchy)中值定理柯西柯西（CauchyCau
15、chy）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf及及)(xF在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導內(nèi)可導, ,且且)(xF在在),(ba內(nèi)每一點處均不為零，那末在內(nèi)每一點處均不為零，那末在),(ba內(nèi)至少內(nèi)至少有一點有一點)(ba , ,使等式使等式 )()()()()()( FfbFaFbfaf成立成立. .26幾何解釋幾何解釋:)(1 F)(2 FXoY )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦該點處的切線平行于該點處的切線平行于在在一點一點上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧 證證作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)).(
16、)()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件x . 0)(,),( 使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點則則在在ba27, 0)()()()()()( FaFbFafbff即即.)()()()()()( FfaFbFafbf. 0)(,),( 使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點則則在在ba,)(xxF 當當, 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()()( FfaFbFafbf).()()( fabafbf28例例4 4).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至少存在一
17、點至少存在一點證明證明內(nèi)可導內(nèi)可導在在上連續(xù)上連續(xù)在在設函數(shù)設函數(shù)證證分析分析: 結(jié)論可變形為結(jié)論可變形為 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxF設設,)(),(條件條件上滿足柯西中值定理的上滿足柯西中值定理的在在則則10 xFxf有有內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點在在,)1 , 0( 2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即29四、小結(jié)四、小結(jié)Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關系；之間的關
18、系；注意定理成立的條件；注意定理成立的條件；注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.30練習題練習題1、如果方程 03223140 xaxaxaxaxf證明方程0234322130axaxaxa有一個正根0 xx 有一個小于0 x的正根。證：證： 0000 xff又 內(nèi)可導。在0, 0 xxf由羅爾定理可知在使，內(nèi)至少存在一個在0, 0 x 0234322130aaaaf故0234322130axaxaxa。內(nèi)存在一個正根在xx0, 031312、若)(xf可導, 試證在其兩個零點間一定有)()(xfxf的零點. 提示提示:設,0)()(2121xxxfx
19、f欲證:, ),(21xx使0)()(ff只要證( )( )0ffe亦即0 )(xxxfe作輔助函數(shù), )()(xfexFx驗證)(xF在,21xx上滿足羅爾定理條件.3232證證: 設ttftan)(上滿足拉格朗日在則,0)(xtf中值定理條件,即故.20costan2xxxxx21tantan00cosxx20,costan2xxx0 x因此應有3、證明不等式)20( x1coscos0 x內(nèi)單調(diào)減少。在)2, 0(cosx22coscosxxxx.20costan2xxxxx33334、設 可導，在,baxf內(nèi)至少存在求證在),(ba時，有使得當，一點ba 0 )(2abfafbf成立。解：解： 原式變形為 21fabafbf令 xxF由題意和基本初等函數(shù)可知， ,baxFxf在滿足柯西中值定理條件。 baxFx021 21fabafbf有等式成立。
高等數(shù)學：01第三章 第1節(jié) 中值定理
