2015-2016學(xué)年天津市高一數(shù)學(xué)寒假課程學(xué)案：第4講《基本初等函數(shù)》(新人教A版必修1)

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1 第四講 基本初等函數(shù) 一 知識(shí)梳理 1 指數(shù)與對(duì)數(shù)的概念 ba N alog 0 a 1 2 指數(shù)與對(duì)數(shù)的性質(zhì) 指數(shù)運(yùn)算性質(zhì) raasrsr 0 sQ srsr Q rbbrr Q 注 上述性質(zhì)對(duì) r sR 均適用 對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì) log MNa log Naalog log aaall naalogl M N 0 0 a 1 推廣 maamll 換底公式 balogl 0 a 1 b1 3 指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)的概念 形如 y x 0 且 1 x 0 叫做指數(shù)函數(shù) exponential function 其 中 x是自變量 函數(shù)的定義域?yàn)?R 形如 alog 0 且 a 1 0 的函數(shù) 叫做對(duì)數(shù)函數(shù) logarithmic function 1 指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義是一個(gè)形式定義 注意指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的區(qū)別 2 注意底數(shù)的取值范圍 4 指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì) 略 2 5 冪函數(shù) 1 冪函數(shù)定義 一般地 形如 xy 的函數(shù)稱為冪函數(shù) 其中 為常 R 數(shù) 2 冪函數(shù)性質(zhì) 所有的冪函數(shù)在 0 都有定義并且圖象都過(guò)點(diǎn) 1 1 時(shí) 冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn) 并且在區(qū)間 0 上是增函數(shù) 特別地 當(dāng) 時(shí) 冪函數(shù)的圖象下凸 當(dāng) 10 時(shí) 冪函數(shù)的圖象上凸 0 時(shí) 冪函數(shù)的圖象在區(qū)間 上是減函數(shù) 在第一象限內(nèi) 當(dāng) x從 右邊趨向原點(diǎn)時(shí) 圖象在 y軸右方無(wú)限地逼近 y軸正半軸 當(dāng) x趨于 時(shí) 圖象在x 軸上方無(wú)限地逼近 x軸正半軸 二 方法歸納 1 解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題 要特別重視定義域 2 指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于底數(shù)大于 1 還是小于 1 要注意對(duì)底數(shù)的討論 3 比較幾個(gè)數(shù) 冪或?qū)?shù)值 的大小的常用方法有 以 0和 為橋梁 利用函數(shù)的單 調(diào)性 作差 4 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)中的絕大部分問(wèn)題是指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)的復(fù)合問(wèn)題 討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是解決問(wèn)題的重要途徑 三 典型例題精講 例 1 比較下列各數(shù)的大小 33 1212 2 5lg 5lg 3 5 0log 解析 35 0log2 0 其他各數(shù)都大于零 故 0lo2最小 又 1 1 l 2 1 5g 2 3 8 對(duì)于 253 與 3 首先 它們都屬于區(qū)間 0 1 且是同底的冪 考慮函數(shù) y x 為減函數(shù) 2 153 3 1 于是有 33 1212 lg53 0log 3 又例 比較下列各組數(shù)的大小 1 7 06 6 log7 0 2 7 0log1 7 0log2 解析 1 7 06 1 0 6 1 l7 0 0 6l7 0 7 0 2 log l701 2 1log l7021 又函數(shù) y x 為減函數(shù) 0 1 log7 2 l70 l1 l21 再例 當(dāng) a b 1 下列不等式正確的有 A b 1 B ba C 2 b D 1 解析 0 1 a 1 又函數(shù) y xb 為減函數(shù) y ax在 0 1 上為增函數(shù) a a 故選 D 技巧提示 利用指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù) 冪函數(shù)的單調(diào)性 同時(shí)充分利用 0和 1為橋梁 能使比較大小的問(wèn)題得到解決 例 2 已知函數(shù) y 12 xa 0 a 1 在區(qū)間 1 1 上的最大值為 14 求 a的值 解析 2x 2 u 又 x 當(dāng) a 1 時(shí) a 1 2 為 u的增函數(shù) 函數(shù)的最大值為 5342 舍或 a 當(dāng) 0 a 1 時(shí) 1 au 2 1 u為 的增函數(shù) 函數(shù)的最大值為 舍 或 51324 a 4 綜上得 31 a或 技巧提示 指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù) 討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是解決問(wèn)題的重 要途徑 又例 已知 xf 32 log24x 求 1 的單調(diào)區(qū)間 2 求函數(shù) xf的最大值及對(duì)應(yīng)的 x的值 解析 1 由 0322 得 f的定義域?yàn)?3 1 記 u x 1 2 4 對(duì)稱軸為 x 1 f的增區(qū)間為 1 1 減為區(qū)間 1 3 2 1 2 4 4 當(dāng) x 1 時(shí)有最大值 y 1 例 3 函數(shù) 23 xy 的定義域是 A 21 B 21 C D 1 解析 由 03 1 x 得 13 2 x 即 0 2 3 x 由 x 為減函數(shù) x 故所求定義域?yàn)?21 x 選 A 技巧提示 這里充分利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性 通過(guò)解簡(jiǎn)單的指數(shù)不等式得到所求定義 域 同樣 可以充分利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性 通過(guò)解簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)不等式得到某些問(wèn)題的解 又例 若 132log a 則 的取值范圍是 解析 由 la 即 aalog32l 當(dāng) 時(shí) xalog是增函數(shù) 于是 32 a 5 當(dāng) a 時(shí) xalog是減函數(shù) 于是 32 a a 32 綜上可知 的取值范圍是 或 再例 解不等式 0 1 2log221 xxba a 0 b 0 解析 由 l21 xba 得xx2 0 即 012 xxba 1 xba 或 1 xba 舍去 當(dāng) 時(shí) 2 loga 當(dāng) a 時(shí) 1bx 當(dāng) b時(shí) 不等式無(wú)解 例 4 函數(shù) 2 log21y 的單調(diào)遞增區(qū)間是 解析 由 0 x 得 x 而函數(shù) 22 1 u 即 在 1 上是增函數(shù) 在 上是減函數(shù) 又 y2log 是減函數(shù) log21xy 單調(diào)遞增區(qū)間是 2 1 技巧提示 對(duì)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 一要注意在定義域內(nèi)研究問(wèn)題 二是對(duì)組成復(fù)合 函數(shù)的每一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性作出判斷 最后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原則做出結(jié)論 又例 求函數(shù) 9321 xy 的單調(diào)遞減區(qū)間 解析 顯然 932 x 的定義域是 R 設(shè) 2 xu 則 427 3 xu 6 932 xu的單調(diào)遞增區(qū)間為 23 有 21 y u 1 是 的減函數(shù) 932 x 的單調(diào)遞減區(qū)間為 23 再例 已知 a 0 且 1 函數(shù) xfalog 在定義域 2 3 上的最大值比最小值大 1 則 的值為 解析 由題意 有 12l3log aa 即 123l a a 32 例 5 當(dāng) a 1 時(shí) 證明函數(shù) xf 是奇函數(shù) 解析 由 x 1 0 得 0 故函數(shù)定義域 x 0 是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)集 又 xf 11 1 xxxx aaa xf 1 xa f f 所以函數(shù) f x是奇函數(shù) 技巧提示 對(duì)于指數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)的奇偶性的證明 在判定 xf 與 f關(guān)系時(shí) 也可采用如下等價(jià)證法 1 xffxf xf 1 xffxf f 如本題可另證如下 xf11 xxxaa 即 xf f 所以函數(shù) f 1 xa是奇函數(shù) 7 又例 設(shè) a是實(shí)數(shù) xf a 12 x R 1 試證明對(duì)于任意 f為增函數(shù) 2 試確定 a值 使 x為奇函數(shù) 解析 1 設(shè) 1 2 R 且 1 2 則 21xff 12 1 xxaa 212112 xxxx 由于指數(shù)函數(shù) y在 R 上是增函數(shù) 且 1x 2 所以 1x 2 即1x 2 0 又由 2x 0 得 1x 1 0 2x 1 0 所以 21xff 0 即 21fxf 因?yàn)榇私Y(jié)論與 a取值無(wú)關(guān) 所以對(duì)于 a取任意實(shí)數(shù) xf為增函數(shù) 2 若 xf為奇函數(shù) 則 xf f 即 22 11xxa 變形得 12 2 xxxa 解得 1 所以當(dāng) 1 時(shí) f為奇函數(shù) 例 6 已知 0 x 1 a 0 1 比較 logxa 和 1 logxa 的大小 解析 方法一 當(dāng) 1 時(shí) 1 logxa logxa l2xa 0 1 logxa 1 logxa 當(dāng) 0 1 時(shí) 1 logxa 1 logxa 8 1 logxa 1 log2xa 0 1 logxa 1 logxa 綜上所述 在題設(shè)條件下 總有 1 logxa lxa 方法二 1 logxa log 1x l 1 x x 1log 2 1 lx log 1x 1 1 logxa loga 技巧提示 比較大小通常采取作差 變形 判定符號(hào) 如果比較兩個(gè)正數(shù)的大小時(shí) 亦 可采取作商 變形 與 1 比較的辦法 又例 解不等式 1 log 3 log28 xx 解析 原不等式可化為 33 1 0 xx 即等價(jià)于 02312x 即 37371 解得 71 x 所以原不等式的解集為 x 31 例 7 1 已知 a 3log2 b7l3 用 a 表示 56log42 2 已知 6log cxxx 求 xabc的值 解析 1 56log42 l 3l27l 又 lg llg3l l aba 9 56log42 1313lgl l abab 2 a 2x 63 xc logl1xabc 技巧提示 掌握對(duì)數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 是本部分的基本要求 盡管近幾年高考中很少 直接考查對(duì)數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算 但由于指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)幾乎是必考內(nèi)容 不能熟練的進(jìn) 行對(duì)數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算 會(huì)影響解題技巧的把握 至少會(huì)影響解題速度 又例 判斷下列函數(shù)的奇偶性 1 xf 12 2 g ln 2x 解析 1 121 1 xff xxxx f為 奇函數(shù) 2 xgx ln 2x ln 2x 1 l 22 l 0 xg為奇函數(shù) 四 課后訓(xùn)練 1 已知 732lo l 0 x 那么 12x 等于 A 1 B 1 C D 13 2 函數(shù) 2lgyx 的圖像關(guān)于 A x軸對(duì)稱 B y軸對(duì)稱 C 原點(diǎn)對(duì)稱 D 直線 yx 對(duì)稱 3 函數(shù) 21 log3xy 的定義域是 10 A 2 1 3 B 1 2 C D 4 函數(shù) 21log 67 yx 的值域是 A R B 8 C 3 D 5 下列函數(shù)中 在 02上為增函數(shù)的是 A 12log yx B 2log1yx C l D 21l 45 6 已知 1 log xa 0 a在 0 上有 0gx 則 1 xfa 是 A 在 0 上是增加的 B 在 上是減少的 C 在 1上是增加的 D 在 1 上是減少的 7 函數(shù) xaxf 2 是減函數(shù) 則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 8 計(jì)算 3log2450lgl 9 已知 1l xmfa是奇函數(shù) 其中 1 0 a 1 求 的值 2 討論 f的單調(diào)性 3 求 x的反函數(shù) 1xf 4 當(dāng) f定義域區(qū)間為 2 a時(shí) xf的值域?yàn)?1 求 a的值 10 對(duì)于函數(shù) 3 log21 x 解答下述問(wèn)題 1 若函數(shù)的定義域?yàn)?R 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 2 若函數(shù)的值域?yàn)?R 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 11 3 若函數(shù)在 1 內(nèi)有意義 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 4 若函數(shù)的定義域?yàn)?3 求實(shí)數(shù) a 的值 5 若函數(shù)的值域?yàn)?求實(shí)數(shù) a 的值 6 若函數(shù)在 1 內(nèi)為增函數(shù) 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 五 參考答案 1 C 2 C 3 A 4 C 5 D 6 C 7 2 1 8 10 9 解析 1 01log1log1log 2 xmxxmfxf aaa 對(duì)定義域內(nèi)的任意 恒成立 0 1 122 xxm 當(dāng) f無(wú)意義 舍去 1 m 2 1log xfa 定義域?yàn)?而 12 ll xf aa 當(dāng) 1 時(shí) xf在 與 上都是減函數(shù) 當(dāng) 0 a時(shí) 在 與 上都是增函數(shù) 3 1111log yyyya axaxxxy 0 y 0 fx且 4 2 1 3 21 axfax在 上為減函數(shù) 命題等價(jià)于 f 即 0143log2 aa 解得 32 a 12 10 解析 記 2223 3 axaxgu 1 R 對(duì)0 恒成立 30min au 的取值范圍是 2 這是一個(gè)較難理解的問(wèn)題 從 xalog的值域?yàn)?R 這點(diǎn)思考 u21log的值域?yàn)?R 等價(jià)于 u 能取遍 0 的一切值 或理解為 x 的值域包含了區(qū)間 gu 的值域?yàn)?0 3 2 a 命題等價(jià)于 3min a或 a的取值范圍是 3 應(yīng)注意 在 1 內(nèi)有意義 與定義域的概念是不同的 命題等價(jià)于 1 0 xgu對(duì) 恒成立 應(yīng)按 xg的對(duì)稱軸ax 0 分類 31201240 1 aaag 或或 a的取值范圍是 3 4 由定義域的概念知 命題等價(jià)于不等式 032 x的解集為 31 x或 3 12 x 是方程 032 ax的兩根 21 a 即 的值為 2 5 由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)易知 xg的值域?yàn)?由此學(xué)生很容易得2 xg 但這是不正確的 因?yàn)?2 與 xg的值域?yàn)?2 并不等價(jià) 13 后者要求 xg能取遍 2 的一切值 而且不能多取 的值域是 3 a 命題等價(jià)于 1 2min ax 即 a的值為 1 6 命題等價(jià)于 0 1 1 0 gaxxg恒 成 立對(duì) 為 減 函 數(shù)在 即 21a 得 的取值范圍是 2