2015-2016學年天津市高一數學寒假課程學案：第4講《基本初等函數》(新人教A版必修1)

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1 第四講 基本初等函數 一 知識梳理 1 指數與對數的概念 ba N alog 0 a 1 2 指數與對數的性質 指數運算性質 raasrsr 0 sQ srsr Q rbbrr Q 注 上述性質對 r sR 均適用 對數運算性質 log MNa log Naalog log aaall naalogl M N 0 0 a 1 推廣 maamll 換底公式 balogl 0 a 1 b1 3 指數函數 對數函數的概念 形如 y x 0 且 1 x 0 叫做指數函數 exponential function 其 中 x是自變量 函數的定義域為 R 形如 alog 0 且 a 1 0 的函數 叫做對數函數 logarithmic function 1 指數函數 對數函數的定義是一個形式定義 注意指數函數與冪函數的區(qū)別 2 注意底數的取值范圍 4 指數函數 對數函數的圖像和性質 略 2 5 冪函數 1 冪函數定義 一般地 形如 xy 的函數稱為冪函數 其中 為常 R 數 2 冪函數性質 所有的冪函數在 0 都有定義并且圖象都過點 1 1 時 冪函數的圖象通過原點 并且在區(qū)間 0 上是增函數 特別地 當 時 冪函數的圖象下凸 當 10 時 冪函數的圖象上凸 0 時 冪函數的圖象在區(qū)間 上是減函數 在第一象限內 當 x從 右邊趨向原點時 圖象在 y軸右方無限地逼近 y軸正半軸 當 x趨于 時 圖象在x 軸上方無限地逼近 x軸正半軸 二 方法歸納 1 解決與對數函數有關的問題 要特別重視定義域 2 指數函數 對數函數的單調性決定于底數大于 1 還是小于 1 要注意對底數的討論 3 比較幾個數 冪或對數值 的大小的常用方法有 以 0和 為橋梁 利用函數的單 調性 作差 4 指數函數與對數函數中的絕大部分問題是指數函數與對數函數與其他函數的復合問題 討論復合函數的單調性是解決問題的重要途徑 三 典型例題精講 例 1 比較下列各數的大小 33 1212 2 5lg 5lg 3 5 0log 解析 35 0log2 0 其他各數都大于零 故 0lo2最小 又 1 1 l 2 1 5g 2 3 8 對于 253 與 3 首先 它們都屬于區(qū)間 0 1 且是同底的冪 考慮函數 y x 為減函數 2 153 3 1 于是有 33 1212 lg53 0log 3 又例 比較下列各組數的大小 1 7 06 6 log7 0 2 7 0log1 7 0log2 解析 1 7 06 1 0 6 1 l7 0 0 6l7 0 7 0 2 log l701 2 1log l7021 又函數 y x 為減函數 0 1 log7 2 l70 l1 l21 再例 當 a b 1 下列不等式正確的有 A b 1 B ba C 2 b D 1 解析 0 1 a 1 又函數 y xb 為減函數 y ax在 0 1 上為增函數 a a 故選 D 技巧提示 利用指數函數 對數函數 冪函數的單調性 同時充分利用 0和 1為橋梁 能使比較大小的問題得到解決 例 2 已知函數 y 12 xa 0 a 1 在區(qū)間 1 1 上的最大值為 14 求 a的值 解析 2x 2 u 又 x 當 a 1 時 a 1 2 為 u的增函數 函數的最大值為 5342 舍或 a 當 0 a 1 時 1 au 2 1 u為 的增函數 函數的最大值為 舍 或 51324 a 4 綜上得 31 a或 技巧提示 指數函數與二次函數的復合函數 討論復合函數的單調性是解決問題的重 要途徑 又例 已知 xf 32 log24x 求 1 的單調區(qū)間 2 求函數 xf的最大值及對應的 x的值 解析 1 由 0322 得 f的定義域為 3 1 記 u x 1 2 4 對稱軸為 x 1 f的增區(qū)間為 1 1 減為區(qū)間 1 3 2 1 2 4 4 當 x 1 時有最大值 y 1 例 3 函數 23 xy 的定義域是 A 21 B 21 C D 1 解析 由 03 1 x 得 13 2 x 即 0 2 3 x 由 x 為減函數 x 故所求定義域為 21 x 選 A 技巧提示 這里充分利用指數函數的單調性 通過解簡單的指數不等式得到所求定義 域 同樣 可以充分利用對數函數的單調性 通過解簡單的對數不等式得到某些問題的解 又例 若 132log a 則 的取值范圍是 解析 由 la 即 aalog32l 當 時 xalog是增函數 于是 32 a 5 當 a 時 xalog是減函數 于是 32 a a 32 綜上可知 的取值范圍是 或 再例 解不等式 0 1 2log221 xxba a 0 b 0 解析 由 l21 xba 得xx2 0 即 012 xxba 1 xba 或 1 xba 舍去 當 時 2 loga 當 a 時 1bx 當 b時 不等式無解 例 4 函數 2 log21y 的單調遞增區(qū)間是 解析 由 0 x 得 x 而函數 22 1 u 即 在 1 上是增函數 在 上是減函數 又 y2log 是減函數 log21xy 單調遞增區(qū)間是 2 1 技巧提示 對于復合函數的單調性 一要注意在定義域內研究問題 二是對組成復合 函數的每一個函數的單調性作出判斷 最后根據復合函數的單調性原則做出結論 又例 求函數 9321 xy 的單調遞減區(qū)間 解析 顯然 932 x 的定義域是 R 設 2 xu 則 427 3 xu 6 932 xu的單調遞增區(qū)間為 23 有 21 y u 1 是 的減函數 932 x 的單調遞減區(qū)間為 23 再例 已知 a 0 且 1 函數 xfalog 在定義域 2 3 上的最大值比最小值大 1 則 的值為 解析 由題意 有 12l3log aa 即 123l a a 32 例 5 當 a 1 時 證明函數 xf 是奇函數 解析 由 x 1 0 得 0 故函數定義域 x 0 是關于原點對稱的點集 又 xf 11 1 xxxx aaa xf 1 xa f f 所以函數 f x是奇函數 技巧提示 對于指數形式的復合函數的奇偶性的證明 在判定 xf 與 f關系時 也可采用如下等價證法 1 xffxf xf 1 xffxf f 如本題可另證如下 xf11 xxxaa 即 xf f 所以函數 f 1 xa是奇函數 7 又例 設 a是實數 xf a 12 x R 1 試證明對于任意 f為增函數 2 試確定 a值 使 x為奇函數 解析 1 設 1 2 R 且 1 2 則 21xff 12 1 xxaa 212112 xxxx 由于指數函數 y在 R 上是增函數 且 1x 2 所以 1x 2 即1x 2 0 又由 2x 0 得 1x 1 0 2x 1 0 所以 21xff 0 即 21fxf 因為此結論與 a取值無關 所以對于 a取任意實數 xf為增函數 2 若 xf為奇函數 則 xf f 即 22 11xxa 變形得 12 2 xxxa 解得 1 所以當 1 時 f為奇函數 例 6 已知 0 x 1 a 0 1 比較 logxa 和 1 logxa 的大小 解析 方法一 當 1 時 1 logxa logxa l2xa 0 1 logxa 1 logxa 當 0 1 時 1 logxa 1 logxa 8 1 logxa 1 log2xa 0 1 logxa 1 logxa 綜上所述 在題設條件下 總有 1 logxa lxa 方法二 1 logxa log 1x l 1 x x 1log 2 1 lx log 1x 1 1 logxa loga 技巧提示 比較大小通常采取作差 變形 判定符號 如果比較兩個正數的大小時 亦 可采取作商 變形 與 1 比較的辦法 又例 解不等式 1 log 3 log28 xx 解析 原不等式可化為 33 1 0 xx 即等價于 02312x 即 37371 解得 71 x 所以原不等式的解集為 x 31 例 7 1 已知 a 3log2 b7l3 用 a 表示 56log42 2 已知 6log cxxx 求 xabc的值 解析 1 56log42 l 3l27l 又 lg llg3l l aba 9 56log42 1313lgl l abab 2 a 2x 63 xc logl1xabc 技巧提示 掌握對數與指數的運算性質 是本部分的基本要求 盡管近幾年高考中很少 直接考查對數與指數的運算 但由于指數函數與對數函數幾乎是必考內容 不能熟練的進 行對數與指數的運算 會影響解題技巧的把握 至少會影響解題速度 又例 判斷下列函數的奇偶性 1 xf 12 2 g ln 2x 解析 1 121 1 xff xxxx f為 奇函數 2 xgx ln 2x ln 2x 1 l 22 l 0 xg為奇函數 四 課后訓練 1 已知 732lo l 0 x 那么 12x 等于 A 1 B 1 C D 13 2 函數 2lgyx 的圖像關于 A x軸對稱 B y軸對稱 C 原點對稱 D 直線 yx 對稱 3 函數 21 log3xy 的定義域是 10 A 2 1 3 B 1 2 C D 4 函數 21log 67 yx 的值域是 A R B 8 C 3 D 5 下列函數中 在 02上為增函數的是 A 12log yx B 2log1yx C l D 21l 45 6 已知 1 log xa 0 a在 0 上有 0gx 則 1 xfa 是 A 在 0 上是增加的 B 在 上是減少的 C 在 1上是增加的 D 在 1 上是減少的 7 函數 xaxf 2 是減函數 則實數 a的取值范圍是 8 計算 3log2450lgl 9 已知 1l xmfa是奇函數 其中 1 0 a 1 求 的值 2 討論 f的單調性 3 求 x的反函數 1xf 4 當 f定義域區(qū)間為 2 a時 xf的值域為 1 求 a的值 10 對于函數 3 log21 x 解答下述問題 1 若函數的定義域為 R 求實數 a 的取值范圍 2 若函數的值域為 R 求實數 a 的取值范圍 11 3 若函數在 1 內有意義 求實數 a 的取值范圍 4 若函數的定義域為 3 求實數 a 的值 5 若函數的值域為 求實數 a 的值 6 若函數在 1 內為增函數 求實數 a 的取值范圍 五 參考答案 1 C 2 C 3 A 4 C 5 D 6 C 7 2 1 8 10 9 解析 1 01log1log1log 2 xmxxmfxf aaa 對定義域內的任意 恒成立 0 1 122 xxm 當 f無意義 舍去 1 m 2 1log xfa 定義域為 而 12 ll xf aa 當 1 時 xf在 與 上都是減函數 當 0 a時 在 與 上都是增函數 3 1111log yyyya axaxxxy 0 y 0 fx且 4 2 1 3 21 axfax在 上為減函數 命題等價于 f 即 0143log2 aa 解得 32 a 12 10 解析 記 2223 3 axaxgu 1 R 對0 恒成立 30min au 的取值范圍是 2 這是一個較難理解的問題 從 xalog的值域為 R 這點思考 u21log的值域為 R 等價于 u 能取遍 0 的一切值 或理解為 x 的值域包含了區(qū)間 gu 的值域為 0 3 2 a 命題等價于 3min a或 a的取值范圍是 3 應注意 在 1 內有意義 與定義域的概念是不同的 命題等價于 1 0 xgu對 恒成立 應按 xg的對稱軸ax 0 分類 31201240 1 aaag 或或 a的取值范圍是 3 4 由定義域的概念知 命題等價于不等式 032 x的解集為 31 x或 3 12 x 是方程 032 ax的兩根 21 a 即 的值為 2 5 由對數函數性質易知 xg的值域為 由此學生很容易得2 xg 但這是不正確的 因為 2 與 xg的值域為 2 并不等價 13 后者要求 xg能取遍 2 的一切值 而且不能多取 的值域是 3 a 命題等價于 1 2min ax 即 a的值為 1 6 命題等價于 0 1 1 0 gaxxg恒 成 立對 為 減 函 數在 即 21a 得 的取值范圍是 2