2014年數(shù)學(xué)建模國家一等獎優(yōu)秀論文

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2014 高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽 承 諾 書 我們仔細(xì)閱讀了 全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽章程 和 全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽參 賽規(guī)則 以下簡稱為 競賽章程和參賽規(guī)則 可從全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽網(wǎng)站下 載 我們完全明白 在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式 包括電話 電子郵件 網(wǎng) 上咨詢等 與隊外的任何人 包括指導(dǎo)教師 研究 討論與賽題有關(guān)的問題 我們知道 抄襲別人的成果是違反競賽章程和參賽規(guī)則的 如果引用別人的成果或 其他公開的資料 包括網(wǎng)上查到的資料 必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文 引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出 我們鄭重承諾 嚴(yán)格遵守競賽章程和參賽規(guī)則 以保證競賽的公正 公平性 如有 違反競賽章程和參賽規(guī)則的行為 我們將受到嚴(yán)肅處理 我們授權(quán)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會 可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開展 示 包括進(jìn)行網(wǎng)上公示 在書籍 期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等 我們參賽選擇的題號是 從 A B C D 中選擇一項填寫 B 我們的報名參賽隊號為 8 位數(shù)字組成的編號 所屬學(xué)校 請?zhí)顚懲暾娜?參賽隊員 打印并簽名 1 2 3 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 打印并簽名 論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致 只是電子版中無需簽名 以上內(nèi)容 請仔細(xì)核對 提交后將不再允許做任何修改 如填寫錯誤 論文可能被取消評獎資格 日期 2014 年 9 月 15 日 賽區(qū)評閱編號 由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號 2014 高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽 編 號 專 用 頁 賽區(qū)評閱編號 由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號 賽區(qū)評閱記錄 可供賽區(qū)評閱時使用 評 閱 人 評 分 備 注 全國統(tǒng)一編號 由賽區(qū)組委會送交全國前編號 全國評閱編號 由全國組委會評閱前進(jìn)行編號 1 創(chuàng)意平板折疊桌 摘要 目前住宅空間的緊張導(dǎo)致越來越多的折疊家具的出現(xiàn) 某公司設(shè)計制作了一款折疊 桌以滿足市場需要 以此折疊桌為背景提出了三個問題 本文運用幾何知識 非線性 約束優(yōu)化模型等方法成功解決了這三個問題 得到了折疊桌動態(tài)過程的描述方程以及 在給定條件下怎樣選擇最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù) 并針對任意形狀的桌面邊緣線等給出了我 們的設(shè)計 針對問題一 根據(jù)木板尺寸 木條寬度 首先確定木條根數(shù)為 19 根 接著 根據(jù) 桌子是前后左右對稱的結(jié)構(gòu) 我們只以桌子的四分之一為研究對象 運用空間幾何的 相關(guān)知識關(guān)系 推導(dǎo)并建立了幾何模型 接著用 MATLAB 軟件編程 繪制出折疊桌動態(tài) 變化過程圖 然后求出折疊桌各木條相對桌面的角度 各木條長度 各木條的開槽長 度等數(shù)據(jù) 相關(guān)結(jié)果見表 1 然后建立相應(yīng)的三維坐標(biāo)系 求出桌角各端點坐標(biāo) 繪出 桌角邊緣線曲線圖 并用 MATLAB 工具箱作擬合 求出桌角邊緣線的函數(shù)關(guān)系式 并對 擬合效果做分析 見表 3 針對問題二 在折疊桌高度 桌面直徑已知情況下 綜合考慮桌子穩(wěn)固性 加工方 便 用材最少三個方面因素 我們運用材料力學(xué)等相關(guān)知識 對折疊桌作受力分析 確定穩(wěn)固性 加工方便 用材最少三個方面因素間的相互制約關(guān)系 建立非線性優(yōu)化 模型 用 lingo 軟件編程 求出對于高 70 cm 桌面直徑 80 cm 的折疊桌 平板尺寸 鋼筋位置在桌腿上距離鉸鏈 46 13cm 處 各木條的開槽長172 24 80 3 度 見表 3 最長木條 桌腳 與水平面夾角 71 934 針對問題三 對任意給出的桌面邊緣線 f x 不妨假定曲線是對稱的 否則 桌子的穩(wěn)定性難以保證 將對稱軸上 n 等份 依照等份點沿著木板較長方向平行的方 向下料 則這些點即是鉸接處到木板中垂線 相對于木板長方向 的距離 然后修改 問題二建立的優(yōu)化模型 用 lingo 軟件編程 得到最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù) 平板尺寸 鋼 筋位置 開槽長度等 最后 我們根據(jù)所建立的模型 設(shè)計了一個桌面邊緣線為橢圓 的折疊桌 并且給出了 8 個動態(tài)變化過程圖 見圖 10 和其具體設(shè)計加工參數(shù) 見表 5 最后 對所建立的模型和求解方法的優(yōu)缺點給出了客觀的評價 并指出了改進(jìn)的方 法 關(guān)鍵字 折疊桌 曲線擬合 非線性優(yōu)化模型 受力分析 2 一 問題重述 1 1 引言 創(chuàng)意平板折疊桌注重于表達(dá)木制品的優(yōu)雅和設(shè)計師所想要強(qiáng)調(diào)的自動化與 功能性 為了增大有效使用面積 設(shè)計師以長方形木板的寬為直徑截取了一個 圓形作為桌面 又將木板剩余的面積切割成了若干個長短不一的木條 每根木 條的長度為平板寬到圓上一點的距離 分別用兩根鋼筋貫穿兩側(cè)的木條 使用 者只需提起木板的兩側(cè) 便可以在重力的作用下達(dá)到自動升起的效果 相互對 稱的木條宛如下垂的桌布 精密的制作工藝配以質(zhì)樸的木材 讓這件工藝品看 起來就像是工業(yè)革命時期的機(jī)器 1 2 問題的提出 圍繞創(chuàng)意平板折疊桌的動態(tài)變化過程 設(shè)計加工參數(shù) 本文依次提出如下 問題 1 給定長方形平板尺寸 120 cm 50 cm 3 cm 每根木條寬度 2 5 cm 連接桌腿木條的鋼筋的位置 折疊后桌子的高度 53 cm 要求建立模型 描述此折疊桌的動態(tài)變化過程 并在此基礎(chǔ)上給出此折疊桌的設(shè)計加工參數(shù)和 桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述 2 折疊桌的設(shè)計應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好 加工方便 用材最少 對于任意給定 的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計要求 討論長方形平板材料和折疊桌的最 優(yōu)設(shè)計加工參數(shù) 例如 平板尺寸 鋼筋位置 開槽長度等 對于桌高 70 cm 桌面直徑 80 cm 的情形 確定最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù) 3 給出軟件設(shè)計的數(shù)學(xué)模型 可以根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度 桌面邊 緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀 給出所需平板材料的形狀尺寸和切 實可行的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù) 使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀 并根據(jù)所建立的模型給出幾個設(shè)計的創(chuàng)意平板折疊桌 要求給出相應(yīng)的設(shè)計加 工參數(shù) 畫出至少 8 張動態(tài)變化過程的示意圖 一 模型假設(shè) 1 忽略實際加工誤差對設(shè)計的影響 2 木條與圓桌面之間的交接處縫隙較小 可忽略 3 鋼筋強(qiáng)度足夠大 不彎曲 4 假設(shè)地面平整 3 三 符號說明 符號 意義 D 木條寬度 cm 縫寬 L 木板長度 cm W 木板寬度 cm N 第n根木條 T 木條根數(shù) 1 木板從外起第1個木條的長度 cm 木板從外起第n個木條的長度 cm H 桌子高度 cm R 桌子半徑 cm R 桌子直徑 cm 0 桌子厚度 cm 第n根木條到木板邊沿的距離 cm 第n根木條頂點位置到圓面軸線徑向距離 cm 第n根木條與水平面的夾角 度 k 第n根木條開槽長度 cm 四 問題分析 4 1 問題一分析 題目要求建立模型描述折疊桌的動態(tài)變化圖 由于在折疊時用力大小的不 同 我們不能描述在某一時刻折疊桌的具體形態(tài) 但我們可以用每根木條的角 度變化來描述折疊桌的動態(tài)變化 首先 我們知道折疊桌前后左右對稱 我們 可以運用幾何知識求出四分之一木條的角度變化 最后 根據(jù)初始時刻和最終 形態(tài)兩種狀態(tài)求出桌腿木條開槽的長度 4 4 2 問題二分析 題目要求從折疊桌的穩(wěn)固性好 加工方便 用材最少三個角度 確定設(shè)計 加工參數(shù) 我們可以從應(yīng)力 支撐面積考慮穩(wěn)固性 從開槽長度考慮加工方便 從木板長度考慮用材最少 而它們之間又是相互制約 我們需要確定最優(yōu)設(shè)計 加工參數(shù) 可以建立非線性規(guī)劃模型 用 lingo 軟件來求解最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù) 平板尺寸 鋼筋位置 開槽長度等 這里以合力的方向 斜向上 與最長木 條 桌腿 的夾角方向最小為目標(biāo)函數(shù) 以木條所承受應(yīng)力小于木條的許用應(yīng) 力 支撐面積大于桌面面積 木條的開槽長度小于木條本身長為約束條件 4 3 問題三分析 題目要求制作軟件的意思就是客戶給定折疊桌高度 桌面邊緣線的形狀大 小和桌腳邊緣線的大致形狀 將這些信息輸入程序就得到客戶想要的桌子 我 們在求解最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)時 自行給定桌面邊緣線形狀 橢圓 相交圓等 桌腳邊緣線形狀 折疊桌高度 應(yīng)用第二問的非線性規(guī)劃模型 用 MATLAB 軟件 繪制折疊桌截面圖 得到自己設(shè)計的創(chuàng)意平板折疊桌 問題三流程圖 五 模型建立和解決 5 1 問題一的模型建立和解決 5 1 1 模型的準(zhǔn)備 1 符號說明 已知 f x g x h w d N F 5 為求出各木條角度關(guān)系 現(xiàn)引入下列符號 木板從外起第n個木條的長度 cm 第n個木條到木板邊沿的距離 第n個木條與桌面鉸接處到桌面軸線距離 第n個木條與第n 1個木條桌面鉸接處到桌面軸線距離差 第n個木條與桌面的夾角 2 木條數(shù)的確定 根據(jù)題目意思 長方形平板尺寸 寬50 cm 每根木條寬2 5 cm 知道木條 數(shù)越多 桌子越不易松動 即穩(wěn)固性更好 最大根數(shù)為 根 考慮木條間 502 5 20 的間隙和刀片的厚度 定為19根 此時 縫寬 為 2 518 0 139 3 模型近似 從折疊桌實物可以看出 桌面并非為標(biāo)準(zhǔn)的圓面 圓面邊上是鋸齒形狀 考慮到鋸齒長度和圓半徑的差異 我們假定圓為過木條中點的圓 在作示意簡 圖和實際計算時 都以木條端點中點為木條與桌面接觸點 另外 折疊桌以材料最省為設(shè)計原則 在木板尺寸一定情況下 應(yīng)該做到 桌面盡可能大 這里我們?nèi)∧景鍖挾葹樽烂嬷睆?5 1 2 模型的建立 為幫助理解 我們做折疊桌子兩個最長腳 即在未折疊時的木板的同一側(cè) 最長木條 示意圖 如圖1所示 圖 1 折疊桌子兩個最長腳截面圖 其中A點為最長木條一端到水平面的距離 由于桌實際高度包括桌面厚度3cm 則A點到水平面距離要減去3cm 1 1 h 3 A 點 B 點 ia C 點 D 點 E 點 6 l12 3 2 其中 為57cm 因為木板厚度為3cm 有AD為兩倍厚度 因為l1l1 120 則知 為57cm 記l1 下面 我們作出平板俯視示意圖 如下圖2所示 圖2 平板俯視示意圖 對于第n個木條到木板邊沿的距離 應(yīng)該包括 n 1 條縫寬 n 1 根木條an 長度以及它自身一半的長度 則有 an 1 1 d2 2 3 10 從幾何關(guān)系上 應(yīng)用勾股定理可以得出 cn w2 2 w2 an 2 則第n個木條與第n 1個木條頂點位置到圓面軸線徑向距離差 cn cn 1 cn 第n根木條長度 2 cn 為了求解木條旋轉(zhuǎn)角度 我們沿著鋼筋的角度 作出折疊凳示意簡圖 如圖3 所示 1 2 3 1 2 0 50 5h 3 第n根木條 第n 1根木條 an 1 an n n 1 0 5 1 0 5 2 0 5 3 0 5 4 7 圖3 折疊桌示意簡圖 由上圖知 1 arctan0 5 2 arctan0 5 1 3 arctan0 5 1 2 同理可得 遞推公式 即每根木條旋轉(zhuǎn)角度 2 1 cn 1 cn 由圖3知 可能為負(fù)值 說明 1 cn 1 cn 為鈍 角 開槽長度 k 0 5 0 sin 0 5 1 11 cn 綜合以上所分析 可建立如下幾何模型 2 1 cn 1 cn k 0 5 0 sin 0 5 1 11 cn 2 cn 5 1 3 模型的解決 1 動態(tài)變化過程 動態(tài)變化過程 由于用力大小未知 折疊桌與時間的關(guān)系不能確定 我們 只能確定桌子從平板到折疊完成后這一過程中 任一角度的桌角位置 程序 見附錄 problem1 3 m 例如當(dāng)最長木條轉(zhuǎn)過 通過程序可以得60 65 70 到各木條相對桌面旋轉(zhuǎn)角度 如表 1 所示 0 5 6 0 5 7 5 8 表1最長木條轉(zhuǎn)過 時各木條轉(zhuǎn)動角度60 65 70 夾 角 為 60 夾 角 為 65 夾 角 為 70 第 1根 60 65 70 第 2根 71 5106 76 8219 82 0272第 3根 79 728 84 9828 90 063 第 4根 85 977 91 0414 95 8979第 5根 90 7653 95 6054 100 2279 第 6根 94 3835 99 0138 103 1289第 7根 97 0267 101 484 105 7333 第 8根 92 8285 103 1591 107 2893第 9根 99 8766 104 1306 108 1893 2 長槽長度 木條長度 旋轉(zhuǎn)角度 根據(jù)以上建立的模型 運用 MATLAB 軟件 編程計算每根木條長度 旋轉(zhuǎn)角 度 長槽長度結(jié)果如下表 2 所示 表2 木條長度 旋轉(zhuǎn)角度 長槽長度 第 1根 第 2根 第 3根 第 4根 第 5根 第 6根 第 7根 第 8根 第 9根 第 10根 111 1 111 38旋 轉(zhuǎn) 角 度 73 71985 833 93 737 99 39 103 54 38 765 37 338 36 287 35 563 106 59 108 78 110 25 35 14 35 14 793 16 164 17 128 17 702 17 892 木 條 長 度 52 08946 609 43 154 40 65 12 994卡 槽 長 度 0 4 5018 7 9434 10 73 從表 1 可以看出 第一根木條卡槽長度為 0cm 符合實際 下面我們繪制木條長度 如圖4所示 開槽長度 如圖5所示 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200 10 20 30 40 50 60 位位 位位位 位位位 位位c m位 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 10 20 30 40 50 60 位位 位位位 位位位 位位c m位 圖4 木條長度圖 圖5 開槽長度柱形圖 9 3 桌腳邊緣線的描述 為形象描述桌腳邊緣線 可以用MATLAB繪圖 因此 首先建立三維坐標(biāo)系 我們以一個桌角為坐標(biāo)原點 兩桌角 平板狀態(tài)時為異側(cè)木條 連線為x軸 另 兩桌角 平板狀態(tài)時為同側(cè)木條 連線為y軸 豎直方向為z軸 如圖6所示 圖6 坐標(biāo)示意圖 a x坐標(biāo)的確定 考慮到編程的需要 這里直接以數(shù)組的形式表示木條桌腳x坐標(biāo) 記為 1 2 19 因為每根木條的長度都垂直于x軸 如坐標(biāo)中紅線所示 可以得到 1 0 2 1 3 2 1 2 3 19 b y坐標(biāo)的確定 將桌子投影到xoy平面 根據(jù)幾何關(guān)系可以得到木條桌腳y坐標(biāo) 1 2 19 其中 0 5 cos cos 0 5 0 tan c z坐標(biāo)的確定 將桌子投影到zoy平面 根據(jù)幾何關(guān)系可以得到木條桌腳z坐標(biāo) 1 2 19 z z y z x z O z 0 5 9 0 5 8 10 其中 0 sin 2 3 19 綜合以上分析 運用MATLAB編程 詳見problem1 3 m 繪制桌角邊緣線如圖 7 0 10 20 30 40 50 0 5 10 150 5 10 15 20 xy z 圖7 桌角邊緣線 為了更精確的描述桌角邊緣線 我們可以調(diào)用MATLAB擬合工具箱 用多項 式擬合得到桌角邊緣線函數(shù)和擬合圖形 如圖8所示 圖8 桌角邊緣線函數(shù)和擬合圖形 擬合函數(shù) Linear model Poly33 f x y p00 p10 x p01 y p20 x 2 p11 x y p02 y 2 p30 x 3 p21 x 2 y p12 x y 2 p03 y 3 Coefficients with 95 confidence bounds p00 5 983e 007 0 0002297 0 0002285 p10 1 153 1 15 1 155 p01 0 0173 0 01688 0 01771 0 5 10 11 p20 0 02427 0 02431 0 02422 p11 0 02388 0 02366 0 02411 p02 0 006276 0 006155 0 006397 p30 4 035e 018 1 075e 007 1 075e 007 p21 0 0005028 0 0005075 0 0004981 p12 4 395e 017 6 067e 007 6 067e 007 p03 3 146e 005 4 434e 005 1 859e 005 我們還可以得到擬合效果的分析 如表3所示 表3 擬合效果的分析 擬合類型 誤差平方和 復(fù)相關(guān)系 數(shù) 自由度 協(xié)方差 均方根誤差 三維擬合 9 2402 10 8 1 000 9 1 0133 10 4 0 當(dāng)誤差平方和和均方根誤差越小 復(fù)相關(guān)系數(shù)越接近于1時標(biāo)明擬合的越好 由上表可知 誤差平方和為 均方根誤差為0 都很小 復(fù)相關(guān)系數(shù)為1 9 2402 10 8 說明擬合效果很好 5 2 問題二的模型建立和解決 5 2 1模型準(zhǔn)備 1 符號說明 dd 木條厚度 木條寬度 木條根數(shù) 木條間的縫隙 s 鋼筋位置到桌面圓心的徑向距離 H 鋼筋位置到桌面的徑向距離 木板長度 支撐面積 2 參數(shù)確定 木條根數(shù) 取整 縫隙 1 12 按照問題一同樣的處理方法 我們可以得到 第n個木條與桌面鉸接處到桌面軸線距離 2 2 2 1 2 則第n個木條與第n 1個第n個木條與桌面鉸接處到桌面軸線距離 1 再由幾何關(guān)系可以得到第一根木條與水平方向夾角 1 1 hl1 鋼筋位置到桌面的徑向距離H 1 每根木條旋轉(zhuǎn)角度 1 1 1 接著 和第一問相同的處理方法 我們可以得出開槽長度 2 5 2 2模型的建立 1 目標(biāo)函數(shù) 我們知道 鋼條對每根木條都有作用力 當(dāng)桌子上有物品時 該作用力表現(xiàn)為 支持力 方向朝上 為幫助理解 我們作出桌子受力示意圖如圖9所示 圖9 桌子受力示意圖 粗體表示矢量 Fh Fx Fy Ft Fn 而 可由每根木條受到的鋼筋對它的作用力的分解再加和得到 Fx Fy Fx F0 Fy Fx Fh Fn Ft 0 5 11 0 5 12 0 5 13 0 5 14 0 5 15 0 5 16 13 F F0 其中 為鋼筋對木條的作用力 我們知道該作用力大小相等 這里用 表示 F0 F0 于是 我們可以得到合力的方向與豎直方向的夾角 arctan F0cos F0sin arctan cos sin 為了使桌子穩(wěn)固 合力的方向與桌腿方向 斜向上 應(yīng)該盡量靠近 也就是它 們之間的夾角 我們可以以此為目標(biāo)函數(shù) 90 1 盡量小 min 90 1 90 arcsin hl1 arctan cos sin 2 約束條件 應(yīng)力約束 剪應(yīng)力是指物體由于外因 受力 濕度變化等 而變形時 在物體內(nèi)各部 分之間產(chǎn)生相互作用的內(nèi)力 以抵抗這種外因的作用 并力圖使物體從形變后 的位置回復(fù)到形變前的位置 抗拉強(qiáng)度即表征材料最大均勻塑性變形的抗力 拉伸試樣在承受最大拉應(yīng) 力之前 變形是均勻一致的 但超出之后 材料開始出現(xiàn)縮頸現(xiàn)象 即產(chǎn)生集 中變形 對于沒有 或很小 均勻塑性變形的脆性材料 它反映了材料的斷裂 抗力 在這里我們知道受力最大的是四個桌角 如果四個桌角能夠承受剪應(yīng)力和 抗拉強(qiáng)度 則可以說明桌子是穩(wěn)定的 根據(jù)定義 我們可以得到剪應(yīng)力和抗拉強(qiáng)度的數(shù)學(xué)表達(dá)式 剪應(yīng)力 Fn 抗拉強(qiáng)度 Ft 其中 為木條寬度 dd 為木條厚度 在要判定零件或構(gòu)件受載后的工作應(yīng)力 過高或過低 需要預(yù)先確定一個衡量的標(biāo)準(zhǔn) 這個標(biāo)準(zhǔn)就是許用應(yīng)力 所以應(yīng) 該有剪應(yīng)力小于許用剪應(yīng)力 抗拉強(qiáng)度小于許用抗拉強(qiáng)度 即 其中 為許用剪應(yīng)力 為許用抗拉強(qiáng)度 支撐面積 桌面支撐面積指桌子四條腿所在點按直線連接的形成幾何的面積 這里的 支撐面積為矩形 支撐面積越大 桌子穩(wěn)固性越好 在這里我們以桌面支撐面 積大于桌面面積為約束條件 17 18 19 20 21 22 14 支撐面積 2 1 2 1 1 應(yīng)該滿足 2 即 2 1 2 1 1 2 長度限制 結(jié)合實際情況 第 n 根木條的開槽長度不可能比木條本身長 則有 即 2 2 2 5 2 3模型的解決 運用 lingo 軟件 編寫程序 詳見 problem2 我們可以得到各木條與桌面 夾角及各木條開槽長度如下表 4 所示 表4 各木條與桌面夾角及各木條開槽長度 開 槽 長 度 cm 相 對 桌 面 角 度 rad 第 1根 0 1 255484 第 2根 4 018563 1 370394第 3根 9 873059 1 520353 第 4根 14 50613 1 625663第 5根 18 27227 1 703454 第 6根 21 30416 1 761349第 7根 23 6704 1 804035 第 8根 25 41221 1 833991第 9根 26 55557 1 853039 第 10根 27 11605 1 862204 由表 4 知 第 1 根木條即桌腳與水平面夾角為 1 255484rad 對應(yīng)為 71 934 23 24 15 5 3 問題三的模型建立和解決 考慮實際情況 桌子堆放物品時 桌面各點承受力相同 所以桌子應(yīng)該是 前后 左右對稱 這里和問題一 問題二一樣 我們僅研究四分之一桌子即可 對于客戶給定的桌面邊緣線函數(shù) y f x 應(yīng)該滿足 f x 是關(guān)于 y 軸對稱的 1 參數(shù)的確定 木條根數(shù) t 取整 其中 d 為木條寬度 第n個木條到木板邊沿的距離 an an 1 1 d2 為 整數(shù) 第 n 根木條到桌面軸線的距離 cn 從上圖知 第 n 根木條到桌面軸線的距離 即為木條 上圖黑線 與橢圓交點 cn 在這里 設(shè)計加工參數(shù)我們依然按照第二問求最優(yōu)的 即產(chǎn)品穩(wěn)固性好 加工 方便 用材最少 因此 借用問題二模型 我們可以求出此條件下的折疊桌平 板尺寸 鋼筋位置 開槽長度 桌角角度 現(xiàn)根據(jù)我們所建立的模型給出幾個自己設(shè)計的創(chuàng)意平板折疊桌 1 橢圓桌 我們只需要研究四分之一桌面 這里取橢圓第一象限部分 1 2 2 2 我們把函數(shù)代入 MATLAB 程序 可以得到動態(tài)變化過程的示意圖如下圖 10 x y F x 16 17 圖10 橢圓形折疊桌8張動態(tài)圖 我們利用和問題一類似的解決方法 可以得出最長木條 桌角 相對桌面 不同角度時 其余木條的旋轉(zhuǎn)角度 如表 1 接著 我們運行 lingo problem3 程序 見附錄 求最優(yōu)設(shè)計參數(shù) 從 運行結(jié)果我們可以得到橢圓桌各木條與桌面夾角及各木條開槽長度 如表 5 表5 橢圓桌各木條與桌面夾角及各木條開槽長度 開 槽 長 度 cm 相 對 桌 面 角 度 rad 第 1根 0 1 214031 第 2根 3 19129 1 424758第 3根 5 430522 1 553027 第 4根 7 040686 1 636302第 5根 8 102212 1 687448 第 6根 8 648381 1 712669第 7根 8 693048 1 7147 第 8根 8 237226 1 693751第 9根 7 269577 1 647554 以及木板 長 寬 高 119 1196 50 3 六 模型評價及改進(jìn) 6 1 模型評價 6 1 1 問題一模型評價 問題一建立的是幾何模型 運用了勾股定理的數(shù)學(xué)知識 用簡單的方法去 解決復(fù)雜的問題 簡明易懂 本模型主要解決了木條長度 開槽長度 木條旋 轉(zhuǎn)角度 及折疊桌的動態(tài)變化過程 該模型基于嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo) 求解過程嚴(yán) 瑾 結(jié)果可信度高 說服力強(qiáng) 6 1 1 問題二模型評價 問題二模型是基于問題一的 進(jìn)一步的理論推導(dǎo) 從材料力學(xué)角度 圍繞 穩(wěn)固性 用材最少 加工方便 對木條作受力分析 解決了在桌子高度 半徑 確定情況下 桌腳與水平面的夾角 以及開槽長度 模型理論嚴(yán)謹(jǐn) 假設(shè)大膽 合理 6 1 3 問題三模型評價 問題三模型綜合了問題一的幾何模型和問題二的非線性規(guī)劃模型 巧妙使 用用 MATLAB 軟件 lingo 軟件編寫程序 可以根據(jù)客戶提供的信息 設(shè)計他們 自己的創(chuàng)意平板折疊桌 6 2 模型改進(jìn) 由于題目信息量不足 對于不同材料 木條截面承受軸力 N 彎矩 M 共同作 用的強(qiáng)度是不同的 如果是在實際生活中 這些量是已知的 所以對于問題二 18 的應(yīng)力約束條件 現(xiàn)在做已下改進(jìn) 使之更完善 根據(jù)材料力學(xué)的假定 8 單一均質(zhì)材料矩形截面桿構(gòu)件截面承受軸力 N 彎矩 M 共同作用的強(qiáng)度條件如下 式中 為木條征截面最大正應(yīng)力 N 為木條正截面所受軸力 A 為木條正截面面 積 M 為木條正截面所受彎矩 為木條抗彎截面系數(shù) 為材料許用應(yīng)力 假 設(shè)許用拉應(yīng)力與許用壓應(yīng)力相等 考慮右邊的不等式部分 將不等式兩邊都同時除以 可得 1 由于 0 0 式中 為構(gòu)件正截面軸力承載力 為構(gòu)件正截面抗彎承載力 0 0 故式 26 可寫為 0 0 1 而構(gòu)件截面同時承受軸力 N 彎矩 M 剪力 v 時 截面上的正應(yīng)力與剪應(yīng)力計算 如下 式中 為構(gòu)件正截面剪應(yīng)力 v 為構(gòu)件正截面所受剪力 求得最大主應(yīng)力與最小主應(yīng)力為 1 2 2 2 2 根據(jù)第三強(qiáng)度理論 3 1 3 2 2 2 2 可得 2 2 2 24 將式 30 式 31 入式 34 可得 2 4 2 2 不等式左邊第一個括號內(nèi)兩項分子分母同時乘以 第二個括號內(nèi)一項分子分 母同時乘以 可得 0 0 2 4 0 2 2 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 19 式中 為構(gòu)件斜截面抗剪承載力 不等式兩邊同時除以 得 0 0 2 0 0 2 4 2 2 0 2 1 由式 29 式 37 可見 單一均質(zhì)材料矩形截面桿件截面承受軸力 彎矩 剪力等復(fù)合作用時 截面的強(qiáng)度條件可用下式夫示 0 0 0 1 對于拉彎剪構(gòu)件 易損性系數(shù)為 其值越大則構(gòu)件越容易受損 0 0 0 1 七 參考文獻(xiàn) 1 汪曉銀 周保平 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗 第二版 北京 科學(xué)出版式 2012 8 2 汪曉銀 鄒庭榮 周保平 數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實驗 第二版 北京 科學(xué)出 版式 2012 8 3 姜啟源 葉其孝 數(shù)學(xué)建模 北京 機(jī)械工業(yè)出版社 2009 8 4 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 高等數(shù)學(xué) 第二版 上冊 上海 同濟(jì)大學(xué)出版社 2009 10 5 薛定宇 陳陽泉 高等數(shù)學(xué)問題的 MATLAB 求解 北京 清華大學(xué)出版社 2008 6 劉鴻文 材料力學(xué) 第 5 版 北京 高等教育出版社 2010 6 7 胡運康 景榮春 理論力學(xué) 北京 高等教育出版社 2006 5 8 黃靚 王鑒 陳永亮 李登 一種簡化的結(jié)構(gòu)魯棒性量化方法 工程力學(xué) 第 30 卷第 10 期 文章編號 1000 4750 2013 10 0046 08 2013 10 源程序引索 問題一源程序 MATLAB 程序 37 38 20 problem1 1 m problem1 2 m problem1 3 m 問題二源程序 Lingo 程序 problem2 lg4 問題三源程序 MATLAB 程序 Problem3 1 Problem3 2 Lingo 程序 Problem3 lg4 注 m 文件是 Matlab 程序 lg4 文件是 Lingo 程序