《等比數(shù)列教案》word版

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1、 個性化教案 等比數(shù)列 適用學(xué)科 高中數(shù)學(xué) 適用年級 高中一年級 適用區(qū)域 通用 課時時長（分鐘） 90分鐘 知識點(diǎn) 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 等比數(shù)列的判斷方法 等比中項(xiàng) 等比數(shù)列的性質(zhì) 等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式 等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì) 等比數(shù)列的綜合運(yùn)用 教學(xué)目標(biāo) 掌握等比數(shù)列的概念，熟練運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)解題 教學(xué)重點(diǎn) 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式 教學(xué)難點(diǎn) 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)的靈活運(yùn)用 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí) 上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的基本概念及性質(zhì)，接下來請同學(xué)們回憶一下： 1、等差數(shù)列的定義

2、； 2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式； 3、等差數(shù)列的性質(zhì)； 4、判斷等差數(shù)列的方法； 5、等差數(shù)列的前n項(xiàng)公式。 二、知識講解 1. 等比數(shù)列的定義 若數(shù)列對滿足（常數(shù)），則叫做等比數(shù)列。叫做公比，它可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)，但不能為零。 根據(jù)這個定義，立刻可以得到下面的四個結(jié)論： （1）對，； （2）或 遞增，或遞減； （3）為常數(shù)數(shù)列； （4）為擺動數(shù)列。 2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是: (其中是首項(xiàng)，是公比)。 由于可以整理為，因此，等比數(shù)列，即中的各項(xiàng)所表示的點(diǎn)離散的分布在第一象限或第四象限，其中，并且這些點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上。正是由于

3、這一點(diǎn)，借助于指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)實(shí)施對等比數(shù)列的研究，已經(jīng)成為一種趨勢或方向足見函數(shù)與數(shù)列有機(jī)結(jié)合的重要性和可行性。 3.等比中項(xiàng) 若成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)，且，。 只有同號的兩個數(shù)才有等比中項(xiàng)，等比中項(xiàng)有兩個，它們互為相反數(shù)，這一點(diǎn)與等差中項(xiàng)不同。 僅是成等比數(shù)列的必要條件，不是充分條件。如。 為了計(jì)算方便，連續(xù)奇數(shù)個數(shù)成等比數(shù)列可設(shè)為；同號連續(xù)偶數(shù)個數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為。 4.等比數(shù)列的判定方法 （1）是等比數(shù)列。 （2）是等比數(shù)列。 （3）是等比數(shù)列。 5.等比數(shù)列的前項(xiàng)的和的公式 等比數(shù)列的前項(xiàng)的和的公式是:(其中是首項(xiàng)，是公比，)。 6.等比數(shù)列

4、的性質(zhì) 若是公比為的等比數(shù)列，則有以下性質(zhì)： （1） 公比為的等比數(shù)列同乘以一個不為零的數(shù)，所得數(shù)列仍是等比數(shù)列，公比仍為。 （2） （3） 公比為的等比數(shù)列，從中取出等距離的項(xiàng)組成一個新數(shù)列，仍是等比數(shù)列，其公比為，其中，為等距離的項(xiàng)數(shù)之差 （4） 個等比數(shù)列，它們的各對應(yīng)項(xiàng)之積組成一個新數(shù)列，仍是等比數(shù)列，其公比為原各數(shù)列公比之積。 （5） 在等比數(shù)列中，若有，則有 三、典型例題精析 【例題1】設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn. 【答案】當(dāng)a1＝3，q＝2時，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)；當(dāng)a1＝2，q＝

5、3時，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1. 【解析】設(shè){an}的公比為q， 由題設(shè)得解得或 當(dāng)a1＝3，q＝2時，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)； 當(dāng)a1＝2，q＝3時，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1. 【例題2】已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝2，且a2，a4，a8成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{3an}的前n項(xiàng)和． 【答案】(1)an＝2n(n∈N*)；Sn＝(9n－1)． 【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)． 因?yàn)閍2，a4，a8成等比數(shù)列，所以(2＋3d)2＝(2＋d)·(2＋7d)，

6、 解得d＝2. 所以an＝2n(n∈N*)． (2)由(1)知3an＝32n，設(shè)數(shù)列{3an}的前n項(xiàng)和為Sn， 則Sn＝32＋34＋…＋32n＝＝(9n－1)． 【例題3】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an＋Sn＝n. (1)設(shè)cn＝an－1，求證：{cn}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 【答案】(1)略；（2）an＝cn＋1＝1－n. 【解析】(1)證明：∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.② ②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴＝. ∵首項(xiàng)c1＝a1－1，又a1＋a1

7、＝1，∴a1＝，c1＝－. 又cn＝an－1，故{cn}是以－為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列． (2)由(1)可知cn＝·n－1＝－n，∴an＝cn＋1＝1－n. 四、課堂運(yùn)用 【基礎(chǔ)】 1、設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝3a3，則公比q為(　　) A．－　　　 B．1 C．－或1 D. 【答案】C 【解析】當(dāng)q＝1時，滿足S3＝3a1＝3a3. 當(dāng)q≠1時，S3＝＝a1(1＋q＋q2)＝3a1q2， 解得q＝－，綜上q＝－或q＝1.故選C　 2、設(shè)數(shù)列{an}滿足：2an＝an＋1(an≠0)(n∈N*)，且前n項(xiàng)

8、和為Sn，則的值為(　　) A. B. C．4 D．2 【答案】A 【解析】由題意知，數(shù)列{an}是以2為公比的等比數(shù)列，故＝＝.故選A. 3、公比為2的等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a3a11＝16，則log2a10＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】∵a3·a11＝16，∴a＝16. 又∵等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，∴a7＝4. 又∵a10＝a7q3＝4×23＝25，∴l(xiāng)og2a10＝5.故選B 4、已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列{an}，滿足2a3－a＋2

9、a11＝0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b6b8＝________. 【答案】16 【解析】由題意可知，b6b8＝b＝a＝2(a3＋a11)＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝16. 5、等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公比不為1.若a1＝1，則對任意的n∈N*，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，則S5＝________. 【答案】11 【解析】由題意知a3＋a2－2a1＝0，設(shè)公比為q，則a1(q2＋q－2)＝0.由q2＋q－2＝0解得q＝－2或q＝1(舍去)，則S5＝＝＝11. 6、已知{an}是公比為2的等比數(shù)列，若a3－a1＝6，則a1＝_

10、______；＋＋…＋＝_______. 【答案】2； 【解析】∵{an}是公比為2的等比數(shù)列，且a3－a1＝6，∴4a1－a1＝6，即a1＝2， 故an＝a12n－1＝2n，∴＝n，＝n， 即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， ∴＋＋…＋＝＝. 【鞏固】 1、已知函數(shù)f(x)＝logax，且所有項(xiàng)為正數(shù)的無窮數(shù)列{an}滿足logaan＋1－logaan＝2，則數(shù)列{an}(　　) A．一定是等比數(shù)列 B．一定是等差數(shù)列 C．既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 D．既不是等差數(shù)列又

11、不是等比數(shù)列 【答案】A 【解析】由logaan＋1－logaan＝2，得loga＝2＝logaa2，故＝a2.又a>0且a≠1，所以數(shù)列{an}為等比數(shù)列．故選A.　 2、各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2，S3n＝14，則S4n等于(　　) A．80 B．30 C．26 D．16 【答案】B 【解析】選B　設(shè)S2n＝a，S4n＝b，由等比數(shù)列的性質(zhì)知： 2(14－a)＝(a－2)2，解得a＝6或a＝－4(舍去)， 同理(6－2)(b－14)＝(14－6)2，所以b＝S4n＝30.故選B.　 3、已

12、知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四個根組成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，則＝(　　) A. B.或 C. D．以上都不對 【答案】B 【解析】選B　設(shè)a，b，c，d是方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四個根，不妨設(shè)a

13、bn＝1－Sn，問：是否存在a1，使數(shù)列{bn}為等比數(shù)列？若存在，求出a1的值；若不存在，請說明理由． 【答案】(1)an＝a1·3n－1(n∈N*)；（2）存在a1＝－2，使數(shù)列{bn}為等比數(shù)列． 【解析】(1)依題意，得2Sn＝an＋1－a1. 當(dāng)n≥2時，有兩式相減，得an＋1＝3an(n≥2)． 又因?yàn)閍2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1，公比為3的等比數(shù)列． 因此，an＝a1·3n－1(n∈N*)． (2)因?yàn)镾n＝＝a1·3n－a1，bn＝1－Sn＝1＋a1－a1·3n. 要使{bn}為等比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)1＋a1＝0，即a1＝－2.

14、 所以存在a1＝－2，使數(shù)列{bn}為等比數(shù)列． 5、已知等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和為105，且a10＝2a5. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)對任意m∈N*，將數(shù)列{an}中不大于72m的項(xiàng)的個數(shù)記為bm.求數(shù)列{bm}的前m項(xiàng)和Sm. 【答案】(1)an＝7n(n∈N*)；（2）Sm＝. 【解析】(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Tn， 由T5＝105，a10＝2a5， 得解得a1＝7，d＝7. 因此an＝a1＋(n－1)d＝7＋7(n－1)＝7n(n∈N*)． (2)對m∈N*，若an＝7n≤72m，則n≤72m－1. 因此bm＝72m－1.所以

15、數(shù)列{bm}是首項(xiàng)為7，公比為49的等比數(shù)列， 故Sm＝＝＝＝. 【拔高】 1、設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，則q＝______. 【答案】 【解析】法一：S4＝S2＋a3＋a4＝3a2＋2＋a3＋a4＝3a4＋2，將a3＝a2q，a4＝a2q2代入得， 3a2＋2＋a2q＋a2q2＝3a2q2＋2，化簡得2q2－q－3＝0， 解得q＝(q＝－1不合題意，舍去)． 法二：設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，由S2＝3a2＋2，得 a1(1＋q)＝3a1q＋2.① 由S4＝3a4＋2，得a1(1＋q)(1＋q2)＝3

16、a1q3＋2.② 由②－①得a1q2(1＋q)＝3a1q(q2－1)．∵q>0，∴q＝. 2、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*)． (1)證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列； (2)若數(shù)列{bn}滿足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式． 【答案】(1)略；（2）bn＝3·n－1－1. 【解析】(1)證明：依題意Sn＝4an－3(n∈N*)，n＝1時，a1＝4a1－3，解得a1＝1. 因?yàn)镾n＝4an－3，則Sn－1＝4an－1－3(n≥2)， 所以當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1， 整理得an＝a

17、n－1.又a1＝1≠0，所以{an}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列． (2)因?yàn)閍n＝n－1，由bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，得bn＋1－bn＝n－1. 可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝2＋＝3·n－1－1(n≥2)， 當(dāng)n＝1時也滿足，所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝3·n－1－1. 3、已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，公差d>0，且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是等比數(shù)列{bn}的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)． (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列{cn}對n∈N*均有＋＋…＋＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…

18、＋c2 013. 【答案】(1)an＝2n－1，bn＝3n－1；（2）32 013. 【解析】(1)∵a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d， ∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)．∵d>0，故解得d＝2.∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1. 又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，∴數(shù)列{bn}的公比為3，∴bn＝3·3n－2＝3n－1. (2)由＋＋…＋＝an＋1得:當(dāng)n≥2時，＋＋…＋＝an. 兩式相減得：n≥2時，＝an＋1－an＝2.∴cn＝2bn＝2·3n－1(n≥2)． 又當(dāng)n＝1時，＝a2，∴c1＝3.∴cn＝ ∴c1＋c2＋c3＋…＋c2 013＝

19、3＋＝3＋(－3＋32 013)＝32 013. 課程小結(jié) 1、等比數(shù)列的定義； 2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式； 3、等比數(shù)列的性質(zhì)； 4、判斷等比數(shù)列的方法； 5、等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式。 課后作業(yè) 【基礎(chǔ)】 1、等比數(shù)列{an}中，a4＝4，則a2·a6等于(　　) A．4　　　　　　B．8 C．16 D．32 【答案】C 【解析】a2·a6＝a＝16.故選C 2、已知等比數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為a－1，a＋1，a＋4，則an＝(　　) A．4·n B

20、．4·n C．4·n－1 D．4·n－1 【答案】C 【解析】(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)?a＝5，a1＝4，q＝，故an＝4·n－1.故選C　 3、已知等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7＝(　　) A．64 B．81 C．128 D．243 【答案】A 【解析】q＝＝2，故a1＋a1q＝3?a1＝1，a7＝1×27－1＝64.故選A 4、在等比數(shù)列{an}中，若a1＝，a4＝4，則公比q＝________；a1＋a2＋…＋an＝________. 【答案】2　2n－1－

21、 【解析】a4＝a1q3，得4＝q3，解得q＝2，a1＋a2＋…＋an＝＝2n－1－. 5、等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＋3S2＝0，則公比q＝________. 【答案】－2 【解析】∵S3＋3S2＝0，∴a1＋a2＋a3＋3(a1＋a2)＝0，∴a1(4＋4q＋q2)＝0. ∵a1≠0，∴q＝－2. 【鞏固】 1、已知{an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和．若a2·a3＝2a1，且a4與2a7的等差中項(xiàng)為，則S5＝(　　) A．35 B．33 C．31 D．29 【答案】C 【解

22、析】設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則由等比數(shù)列的性質(zhì)知：a2·a3＝a1·a4＝2a1，即a4＝2. 由a4與2a7的等差中項(xiàng)為知，a4＋2a7＝2×， ∴a7＝2×－a4＝.∴q3＝＝，即q＝. ∴a4＝a1q3＝a1×＝2，∴a1＝16，∴S5＝＝31. 2、在等比數(shù)列{an}中，若a1＝，a4＝－4，則公比q＝______；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝_______. 【答案】－2　2n－1－ 【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a4＝a1q3，代入數(shù)據(jù)解得q3＝－8，所以q＝－2；等比數(shù)列{|an|}的公比為|q|＝2，則|an|＝×2n－1，所以|a1|＋|a2|＋

23、|a3|＋…＋|an|＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝(2n－1)＝2n－1－. 3、設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，且數(shù)列{Sn}是以2為公比的等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1. 【答案】(1)an＝（2） 【解析】(1)∵S1＝a1＝1，且數(shù)列{Sn}是以2為公比的等比數(shù)列，∴Sn＝2n－1， 又當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2.∴an＝ (2)a3，a5，…，a2n＋1是以2為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列， ∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝. ∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝

24、. 【拔高】 1、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝(　　) A．2n－1　　　　 B.n－1 C.n－1 D. 【答案】B 【解析】選B，　∵Sn＝2an＋1，∴當(dāng)n≥2時，Sn－1＝2an，∴an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an，∴3an＝2an＋1，∴＝. 又∵S1＝2a2，∴a2＝，∴＝，∴{an}從第二項(xiàng)起是以為公比的等比數(shù)列， ∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝1＋＝n－1. 也可以先求出n≥2時，an＝，再利用Sn＝2an＋1，求得Sn＝n－1 2、已知數(shù)列{

25、an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*. (1)證明：{an－1}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式，并求出使得Sn＋1＞Sn成立的最小正整數(shù)n. 【答案】(1)略；（2）最小正整數(shù)n為15. 【解析】(1)由題意知，Sn＝n－5an－85，n∈N*，∴當(dāng)n≥2時， an＝Sn－Sn－1＝(n－5an－85)－[(n－1)－5an－1－85]．即6an－6＝5an－1－5，∴＝. 又∵a1＝S1＝1－5a1－85，∴a1＝－14，a1－1＝－15， ∴數(shù)列{an－1}是以－15為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列． (2)由(1)知，an－1＝(－15)·()n－1，∴an＝(－15)·()n－1＋1. ∵Sn＝n－5an－85，∴Sn＝n－90[1－()n]． 由Sn＋1＞Sn，即(n＋1)－90[1－()n＋1]＞n－90[1－()n]，即()n＜. ∵n∈N*，∴n最小取15.∴最小正整數(shù)n為15.