2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 2.1 二階矩陣與平面向量 2.1.2 二階矩陣與平面列向量的乘法教學(xué)案 蘇教版選修4-2

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1、 2.1.2 二階矩陣與平面列向量的乘法 1.二階矩陣與平面列向量的乘法規(guī)則 (1)行矩陣與列矩陣的乘法規(guī)則: =; (2)二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則: =. 一般地,前一個(gè)矩陣的列數(shù)與后一個(gè)矩陣的行數(shù)相等時(shí)才能進(jìn)行乘法運(yùn)算. 2.二階矩陣與平面列向量乘法的幾何意義 (1)一個(gè)列向量左乘一個(gè)2×2矩陣M后得到一個(gè)新的列向量,如果列向量表示一個(gè)點(diǎn)P(x,y),那么列向量左乘矩陣M后的列向量就對應(yīng)平面上的一個(gè)新的點(diǎn). (2)對于平面上的任意一個(gè)點(diǎn)(向量)(x,y),若按照對應(yīng)法則T,總能對應(yīng)唯一的一個(gè)點(diǎn)(向量)(x′,y′),則稱T為一個(gè)變換,簡記為:T:(x,y)→(x′,y′)

2、或T:→. (3)一般地,對于平面向量變換T,如果變換規(guī)則為T:→=,那么根據(jù)二階矩陣與平面列向量的乘法規(guī)則可以改寫為T:→= 的矩陣形式,反之亦然(a、b、c、d∈R). (4)由矩陣M確定的變換,通常記為TM,根據(jù)變換的定義,它是平面內(nèi)點(diǎn)集到自身的一個(gè)映射,平面內(nèi)的一個(gè)圖形它在TM的作用下得到一個(gè)新的圖形. 二階矩陣與平面列向量相乘 [例1]  設(shè)A=,Z=,Y=,求AZ和AY. [思路點(diǎn)撥] 利用二階矩陣和平面列向量的乘法公式求解. [精解詳析] AZ= =, AY= =. 若矩陣A=,列向量為α=,則Aα= =,其結(jié)果仍是一個(gè)列向量,同時(shí)應(yīng)注意,

3、給出點(diǎn)的坐標(biāo)可寫成列向量的形式. 1.計(jì)算:(1) ;(2) ;(3) ;(4) . 解:(1) ==; (2) ==; (3) ==; (4) ==. 2.給定向量α=,矩陣A=,B=,C=,D=,計(jì)算Aα,Bα,Cα,Dα. 解:根據(jù)矩陣與向量的乘法,得 Aα= =,Bα= =, Cα= =,Dα= =. 坐標(biāo)變換與矩陣乘法的互化 [例2] (1)已知變換= ,試將它寫成坐標(biāo)變換的形式; (2)已知變換=,試將它寫成矩陣的乘法形式. [思路點(diǎn)撥] 直接應(yīng)用二階矩陣與向量乘積的規(guī)定. [精解詳析] (1)=. 故它表示的坐標(biāo)變換為. (2)

4、= . 對于= ,首先由二階矩陣與平面列向量乘法得 =,再由向量相等,得 3.已知,試將它寫成二階矩陣與平面向量相乘的形式. 解:因?yàn)樗? 即== . 故= . 4.解下列用矩陣表達(dá)式表示的方程組. (1) =; (2) =. 解:(1)由 =, 得=,即 解得 (2)由 =, 得=,即 解得 求變換矩陣 [例3] 已知變換T:平面上的點(diǎn)P(2,-1),Q(-1,2)分別變換成點(diǎn)P1(3,-4),Q1(0,5),求變換矩陣A. [思路點(diǎn)撥] 由題意可知,變換矩陣A為二階矩陣,根據(jù)二階矩陣與列向量的乘法,可列出方程組,解方程組即可求出二階

5、矩陣中的各元素. [精解詳析] 設(shè)所求的變換矩陣A=. 依題意可得 =, =, 即解得 所以所求的變換矩陣A=. 求變換矩陣的常用方法是待定系數(shù)法,要正確利用條件,合理準(zhǔn)確計(jì)算. 5.若點(diǎn)A(1,1)在矩陣M=對應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為B(-1,1),求矩陣M. 解:由M=,得=, 所以即所以M=. 6.設(shè)矩陣M對應(yīng)的線性變換把點(diǎn)A(1,2)變成點(diǎn)A′(2,3),把點(diǎn)B(-1,3)變成點(diǎn)B′(2,1),那么這個(gè)線性變換把點(diǎn)C(-5,10)變成什么? 解:設(shè)變換矩陣M=, ∴M= ==. M= ==. ∴解得 ∴M=. M= =. ∴該線性變換把點(diǎn)

6、C(-5,10)變成了點(diǎn)C′(6,1). 1.給定向量α=,利用矩陣與向量的乘法,試說明下列矩陣把向量α分別變成了什么向量. (1);(2);(3). 解:(1) =. (2) =. (3) =. 2.求點(diǎn)(x,y)在矩陣對應(yīng)的變換作用下對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo). 解: =,所以點(diǎn)(x,y)在矩陣對應(yīng)的變換作用下對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,2y). 3.(1)已知→= ,試將它寫成坐標(biāo)變換的形式; (2)已知→=,試將它寫成矩陣的乘法形式. 解:(1)→==. (2)→== . 4.計(jì)算 ,并解釋計(jì)算結(jié)果的幾何意義. 解: =. 幾何意義:表示點(diǎn)(3,1)在矩陣對應(yīng)的變換作

7、用下變成點(diǎn)(5,-1). 5.已知在一個(gè)二階矩陣M對應(yīng)的變換作用下,點(diǎn)A(1,2)變成了點(diǎn)A′(7,10),點(diǎn)B(2,0)變成了點(diǎn)B′(2,4),求矩陣M. 解:設(shè)M=, 則 =, =, 即解得所以M=. 6.已知點(diǎn)(x,y)在矩陣對應(yīng)的變換作用下變?yōu)辄c(diǎn)(-1,1),試求x,y的值. 解:由 =, 得解得 7.已知矩陣T=,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(1,0)在矩陣T的變換下得到點(diǎn)P.設(shè)b>0,當(dāng)△POA的面積為,∠POA=時(shí),求a,b的值. 解:由 =,得點(diǎn)P坐標(biāo)為(a,b). 又b>0,所以S△POA=×1×b=.所以b=2. 又∠POA=,所以a=2. 即a=2,b=2. 8.已知圖形F表示的四邊形ABCD如圖所示,若由二階矩陣M確定的變換T,使F上點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话攵鴻M坐標(biāo)不變.求矩陣M. 解:圖形F對應(yīng)的矩陣為,變換后的圖形F′對應(yīng)的矩陣為, 設(shè)M=,則有 解得∴M=. 6

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