2020版高考數(shù)學一輪復習 第1章 集合與常用邏輯用語 第3節(jié) 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞教學案 理(含解析)新人教A版

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1、第三節(jié) 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞 [考綱傳真] 1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義.2.理解全稱量詞和存在量詞的意義.3.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定. 1.簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞 (1)命題中的或、且、非叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞. (2)命題p且q、p或q、非p的真假判斷 p q p且q p或q 非p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 2.全稱量詞和存在量詞 (1)全稱量詞:短語“所有的”“任意一個”等在邏輯中通常叫做全稱量詞,用符號“?”表示. (2)存在量詞:短語

2、“存在一個”“至少有一個”等在邏輯中通常叫做存在量詞,用符號“?”表示. 3.全稱命題、特稱命題及含一個量詞的命題的否定 命題名稱 語言表示 符號表示 命題的否定 全稱 命題 對M中任意一個x,有p(x)成立 ?x∈M,p(x) ?x0∈M,綈p(x0) 特稱 命題 存在M中的一個x0,使p(x0)成立 ?x0∈M,p(x0) ?x∈M,綈p(x) [常用結(jié)論] 1.含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的判斷規(guī)律 (1)p∨q:p,q中有一個為真,則p∨q為真,即有真為真. (2)p∧q:p,q中有一個為假,則p∧q為假,即有假即假. (3)綈p:與p的真假相反,即

3、一真一假,真假相反. 2.含有一個量詞的命題的否定的規(guī)律是“改量詞,否結(jié)論”. 3.命題的否定和否命題的區(qū)別:命題“若p,則q”的否定是“若p,則綈q”,否命題是“若綈p,則綈q”. [基礎自測] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)命題“3≥2”是真命題.(  ) (2)若命題p∧q為假命題,則命題p,q都是假命題.(  ) (3)命題“對頂角相等”的否定是“對頂角不相等”.(  ) (4)“全等的三角形面積相等”是全稱命題.(  ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.命題“?x0∈R,x-x0-1>0”的否定

4、是(  ) A.?x∈R,x2-x-1≤0 B.?x∈R,x2-x-1>0 C.?x0∈R,x-x0-1≤0 D.?x0∈R,x-x0-1≥0 A [特稱命題的否定是全稱命題,故選A.] 3.下列命題中的假命題是(  ) A.?x0∈R,lg x0=1 B.?x0∈R,sin x0=0 C.?x∈R,x3>0 D.?x∈R,2x>0 C [當x=0時,x3=0,故選項C錯誤,故選C.] 4.(教材改編)已知p:2是偶數(shù),q:2是質(zhì)數(shù),則命題綈p,綈q,p∨q,p∧q中真命題的個數(shù)為(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 B [p和q顯然都是真命題,所以綈

5、p,綈q都是假命題,p∨q,p∧q都是真命題.] 5.若命題“?x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命題,則實數(shù)a的取值范圍是________. [-8,0] [當a=0時,不等式顯然成立. 當a≠0時,依題意知 解得-8≤a<0. 綜上可知-8≤a≤0.] 全稱命題、特稱命題 1. 命題“?x∈R,?n∈N*,使得n≤x2”的否定形式是(  ) A.?x∈R,?n∈N*,使得n>x2 B.?x∈R,?n∈N*,使得n>x2 C.?x∈R,?n∈N*,使得n>x2 D.?x∈R,?n∈N*,使得n>x2 D [結(jié)合全(特)稱命題的否定形式可知,D選項正確.]

6、 2.(2019·商丘模擬)已知f(x)=sin x-x,命題p:?x∈,f(x)<0,則(  ) A.p是假命題,綈p:?x∈,f(x)≥0 B.p是假命題,綈p:?x∈,f(x)≥0 C.p是真命題,綈p:?x∈,f(x)≥0 D.p是真命題,綈p:?x∈,f(x)≥0 C [易知f′(x)=cos x-1≤0,所以f(x)在上是減函數(shù),因為f(0)=0,所以f(x)<0,所以命題p:?x∈,f(x)<0是真命題,綈p:?x∈,f(x)≥0,故選C.] 3.下列四個命題: p1:?x0∈(0,+∞),x0<x0; p2:?x0∈(0,1),logx0>logx0; p3:

7、?x∈(0,+∞),x>logx; p4:?x∈,x<logx. 其中的真命題是(  ) A.p1,p3   B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4 D [對于p1,當x0∈(0,+∞)時,總有x0>x0成立,故p1是假命題;對于p2,當x0=時,有1=log =log>log 成立,故p2是真命題;對于p3,結(jié)合指數(shù)函數(shù)y=x與對數(shù)函數(shù)y=logx在(0,+∞)上的圖象,可以判斷p3是假命題;對于p4,結(jié)合指數(shù)函數(shù)y=x與對數(shù)函數(shù)y=log x在上的圖象可以判斷p4是真命題.] [規(guī)律方法] (1)全(特)稱命題的否定方法:?x∈M,p(x)?x0∈M,綈p(x0

8、),簡記:改量詞,否結(jié)論. (2)判定全稱命題“?x∈M,p(x)”是真命題,需要對集合M中的每一個元素x,證明p(x)成立;要判斷特稱命題是真命題,只要在限定集合內(nèi)至少找到一個x=x0,使p(x0)成立. 判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假 【例1】 (1)若命題“p∨q”是真命題,“綈p為真命題”,則(  ) A.p真,q真 B.p假,q真 C.p真,q假 D.p假,q假 (2)(2019·山師大附中模擬)設命題p:函數(shù)f(x)=2x+2-x在R上遞增,命題q:△ABC中,A>B?sin A>sin B,下列命題為真命題的是(  ) A.p∧q B.p∨(綈q

9、) C.(綈p)∧q D.(綈p)∧(綈q) (1)B (2)C [(1)因為綈p為真命題,所以p為假命題,又因為p∨q為真命題,所以q為真命題. (2)f(x)=2x+2-x是復合函數(shù),在R上不是單調(diào)函數(shù),命題p是假命題,在△ABC中,A>B?sin A>sin B成立,命題q是真命題,所以(綈p)∧q為真,故選C.] [規(guī)律方法] “p∨q”“p∧q”“綈p”形式命題真假的判斷步驟 (1)確定命題的構(gòu)成形式; (2)判斷命題p,q的真假; (3)根據(jù)真值表確定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命題的真假 已知命題p:?x0∈R,使tan x0=,命題q:x2-3x+2<

10、0的解集是{x|1<x<2},下列結(jié)論: ①命題“p∧q”是真命題;②命題“p∧(綈q)”是假命題; ③命題“(綈p)∨q”是真命題;④命題“(綈p)∨(綈q)”是假命題.其中正確的是(  ) A.②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ D [由題意可知:p,q均為真命題,∴p∧q是真命題,p∧(綈q)是假命題;(綈p)∨q是真命題;(綈p)∨(綈q)是假命題,故①②③④均正確.] 由命題的真假確定參數(shù)的取值范圍 【例2】 (1)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=x-m,若對?x1∈[0,3],?x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),則實數(shù)m的取值

11、范圍是(  ) A. B. C. D. (2)給定命題p:對任意實數(shù)x都有ax2+ax+1>0成立;q:關(guān)于x的方程x2-x+a=0有實數(shù)根.如果p∨q為真命題,p∧q為假命題,則實數(shù)a的取值范圍為________. (1)A (2)(-∞,0)∪ [(1)當x∈[0,3]時,f(x)min=f(0)=0, 當x∈[1,2]時, g(x)min=g(2)=-m, 由f(x)min≥g(x)min, 得0≥-m,所以m≥,故選A. (2)當p為真命題時,“對任意實數(shù)x都有ax2+ax+1>0成立”?a=0或 所以0≤a<4. 當q為真命題時,“關(guān)于x的方程x2-x+

12、a=0有實數(shù)根”?Δ=1-4a≥0,所以a≤. 因為p∨q為真命題,p∧q為假命題, 所以p,q一真一假. 所以若p真q假,則0≤a<4,且a>, 所以<a<4;若p假q真,則即a<0.故實數(shù)a的取值范圍為(-∞,0)∪.] [母題探究] 若將本例(1)中“?x2∈[1,2]”改為“?x2∈[1,2]”,其他條件不變,則實數(shù)m的取值范圍是什么? [解] 當x∈[1,2]時,g(x)max=g(1)=-m, 由f(x)min≥g(x)max,得0≥-m,所以m≥,即m的取值范圍為. [規(guī)律方法] 根據(jù)全(特)稱命題的真假求參數(shù)的思路 與全稱命題或特稱命題真假有關(guān)的參數(shù)取值范圍問

13、題的本質(zhì)是恒成立問題或有解問題,解決此類問題時,一般先利用等價轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化,得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組),再通過解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或范圍. (2019·遼寧五校聯(lián)考)已知命題“?x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命題,則實數(shù)a的取值范圍為(  ) A.(-∞,0) B.[0,4] C.[4,+∞) D.(0,4) D [因為命題“?x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命題,所以其否定“?x∈R,4x2+(a-2)x+>0”是真命題,則Δ=(a-2)2-4×4×=a2-4a<0,解得0<a<4,故選D.] 1.(2015·全國卷Ⅰ)設

14、命題p:?n∈N,n2>2n,則綈p為(  ) A.?n∈N,n2>2n    B.?n∈N,n2≤2n C.?n∈N,n2≤2n D.?n∈N,n2=2n C [因為“?x∈M,p(x)”的否定是“?x∈M,綈p(x)”,所以命題“?n∈N,n2>2n”的否定是“?n∈N,n2≤2n”.故選C.] 2.(2013·全國卷Ⅰ)已知命題p:?x∈R,2x<3x;命題q:?x∈R,x3=1-x2,則下列命題中為真命題的是(  ) A.p∧q B.綈p∧q C.p∧綈q D.綈p∧綈q B [當x=0時,有2x=3x,不滿足2x<3x,∴p:?x∈R,2x<3x是假命題. 如圖,函數(shù)y=x3與y=1-x2有交點,即方程x3=1-x2有解, ∴q:?x∈R,x3=1-x2是真命題. ∴p∧q為假命題,排除A. ∴綈p為真命題,∴綈p∧q是真命題,選B.] - 6 -

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