2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式、推理與證明 第2節(jié) 基本不等式教學(xué)案 理（含解析）北師大版

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1、第二節(jié)　基本不等式 [考綱傳真]　1.了解基本不等式的證明過程.2.會(huì)用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題． 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0. (2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)． (3)其中稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)． 2．兩個(gè)重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)． (2)ab≤2(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)． 3．利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，則 (1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2(簡記：積定和最小)

2、． (2)如果和x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是(簡記：和定積最大)． 1.＋≥2(a，b同號(hào))，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)． 2．a(chǎn)b≤2≤. 3.≤≤≤(a＞0，b＞0)． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)兩個(gè)不等式a2＋b2≥2ab與≥成立的條件是相同的． (　　) (2)函數(shù)y＝x＋的最小值是2. (　　) (3)函數(shù)f(x)＝sin x＋，x∈(0，π)的最小值為4. (　　) (4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要條件． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

3、2．(教材改編)設(shè)x＞0，y＞0，且x＋y＝18，則xy的最大值為(　　) A．80　　　B．77　　　C．81　　　D．82 C　[∵x＞0，y＞0，∴≥，即xy≤2＝81，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝9時(shí)，(xy)max＝81.] 3．若直線＋＝1(a＞0，b＞0)過點(diǎn)(1,1)，則a＋b的最小值等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 C　[由題意得＋＝1.又a＞0，b＞0， ∴a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4. 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝b＝2時(shí)等號(hào)成立，故選C.] 4．若函數(shù)f(x)＝x＋(x>2)在x＝a處取最小值，則a等于(　　) A．1＋ B．1＋ C．3

4、 D．4 C　[當(dāng)x>2時(shí)，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝(x>2)，即x＝3時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)f(x)取得最小值時(shí)，x＝3，即a＝3，選C.] 5．(教材改編)若把總長為20 m的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，則矩形場(chǎng)地的最大面積是__________m2. 25　[設(shè)矩形的一邊為x m，矩形場(chǎng)地的面積為y， 則另一邊為×(20－2x)＝(10－x)m， 則y＝x(10－x) ≤2＝25， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝10－x， 即x＝5時(shí)，ymax＝25.] 利用基本不等式求最值 ?考法1　配湊法求最值 【例1】　(1)設(shè)0＜x＜2，則函數(shù)y＝的最

5、大值為(　　) A．2　　　　B．　　　　C.　　　　D． (2)若x＜，則f(x)＝4x－2＋的最大值為________． (1)D　(2)1　[(1)∵0＜x＜2，∴4－2x＞0， ∴x(4－2x)＝×2x(4－2x)≤×2＝×4＝2. 當(dāng)且僅當(dāng)2x＝4－2x，即x＝1時(shí)等號(hào)成立． 即函數(shù)y＝的最大值為. (2)因?yàn)閤＜，所以5－4x＞0， 則f(x)＝4x－2＋＝－＋3 ≤－2＋3＝－2＋3＝1. 當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝， 即x＝1時(shí)，等號(hào)成立． 故f(x)＝4x－2＋的最大值為1.] ?考法2　常數(shù)代換法求最值 【例2】　已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝

6、0，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． [解]　(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x>0，y>0， 則1＝＋≥2 ＝，得xy≥64， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝4y，即x＝16，y＝4時(shí)等號(hào)成立． 故xy的最小值為64. (2)法一：(消元法)由2x＋8y－xy＝0，得x＝， 因?yàn)閤＞0，y＞0，所以y＞2， 則x＋y＝y(tǒng)＋＝(y－2)＋＋10≥18， 當(dāng)且僅當(dāng)y－2＝，即y＝6，x＝12時(shí)等號(hào)成立． 故x＋y的最小值為18. 法二：(常數(shù)代換法)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 則x＋y＝·(x＋y) ＝10＋＋ ≥10＋2 ＝18， 當(dāng)且僅當(dāng)y＝

7、6，x＝12時(shí)等號(hào)成立， 故x＋y的最小值為18. [規(guī)律方法]　(1)利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式． (2)常數(shù)代換法主要解決形如“已知x＋y＝t(t為常數(shù))，求＋的最值”的問題，先將＋轉(zhuǎn)化為·，再用基本不等式求最值． 注意：應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”． (1)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________． (2)(2019·皖南八校聯(lián)考)函數(shù)y＝loga(x＋4)－1(a＞0，a≠1)的圖像恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線＋＝－1上，且m＞0，n＞0，則3m＋n的最小值為(　　)

8、 A．13 B．16 C．11＋6 D．28 (1)6　(2)B　[(1)∵x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9， ∴9－(x＋3y)＝xy＝×x×3y≤×2， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝3y時(shí)，等號(hào)成立， 由因?yàn)閤＞0，y＞0，計(jì)算得出 ∴x＋3y的最小值為6. (2)函數(shù)y＝loga(x＋4)－1(a＞0，a≠1)的圖像恒過A(－3，－1)， 由點(diǎn)A在直線＋＝－1上可得， ＋＝－1， 即＋＝1， 故3m＋n＝(3m＋n)＝10＋3， 因?yàn)閙＞0，n＞0， 所以＋≥2＝2(當(dāng)且僅當(dāng)＝，即m＝n時(shí)取等號(hào))， 故3m＋n＝10＋3≥10＋3×2＝16，故選B．] 利用基本

9、不等式解決實(shí)際問題 【例3】　隨著社會(huì)的發(fā)展，汽車逐步成為人們的代步工具，家庭轎車的持有量逐年上升，交通堵塞現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生，據(jù)調(diào)查某段公路在某時(shí)段內(nèi)的車流量y(單位：千輛/時(shí))與汽車的平均速度v(單位：千米/時(shí))之間有函數(shù)關(guān)系：y＝(v＞0)． (1)在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度v為多少時(shí)車流量y最大？最大車流量約為多少？(結(jié)果保留兩位小數(shù)) (2)為保證在該時(shí)段內(nèi)車流量至少為10千輛/時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？ [解]　(1)由題知，v＞0，則y＝＝≤＝＝，當(dāng)且僅當(dāng)v＝，即v＝40時(shí)取等號(hào)． 所以ymax＝≈10.23. 故當(dāng)v＝40時(shí)，車流量y最大，最大約為10

10、.23千輛/時(shí)． (2)由y＝≥10，得≥1，即90v≥v2＋8v＋1 600，整理得v2－82v＋1 600≤0，即(v－32)(v－50)≤0，解得32≤v≤50. 所以為保證在該時(shí)段內(nèi)車流量至少為10千輛/時(shí)，汽車的平均速度應(yīng)大于等于32千米/時(shí)且小于等于50千米/時(shí)． [規(guī)律方法]　解實(shí)際應(yīng)用題的三個(gè)注意點(diǎn) (1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù). (2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值. (3)在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解. 要制作一個(gè)容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方

11、體容器．已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是(　　) A．80元 B．120元 C．160元 D．240元 C　[設(shè)底面相鄰兩邊的邊長分別為x m，y m，總造價(jià)為T元，則xy·1＝4?xy＝4. T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2＝80＋20×4＝160(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào))． 故該容器的最低總造價(jià)是160元．] 基本不等式的綜合應(yīng)用 【例4】　(1)已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，則m的最大值為(　　) A．9 B．12 C．18 D．24 (2)設(shè)等差數(shù)

12、列{an}的公差是d，其前n項(xiàng)和是Sn(n∈N*)，若a1＝d＝1，則的最小值是________． (1)B　(2)　[(1)由＋≥， 得m≤(a＋3b) ＝＋＋6. 又＋＋6≥2＋6＝12(當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝3b時(shí)等號(hào)成立)， ∴m≤12，∴m的最大值為12. (2)an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝， ∴＝ ＝ ≥＝， 當(dāng)且僅當(dāng)n＝4時(shí)取等號(hào)． ∴的最小值是.] (1)當(dāng)x∈R時(shí)，32x－(k＋1)3x＋2＞0恒成立，則k的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1)　　　　　 B．(－∞，2－1) C．(－1,2－1) D．(－2－1,2－1) (2)已知

13、函數(shù)f(x)＝|lg x|，a＞b＞0，f(a)＝f(b)，則的最小值等于________． (1)B　(2)2　[(1)由32x－(k＋1)·3x＋2＞0，解得k＋1＜3x＋. ∵3x＞0，∴3x＋≥2(當(dāng)且僅當(dāng)3x＝， 即x＝log3時(shí)，等號(hào)成立)， ∴3x＋的最小值為2. 又當(dāng)x∈R時(shí)，32x－(k＋1)3x＋2＞0恒成立， ∴當(dāng)x∈R時(shí)，k＋1＜min， 即k＋1＜2，即k＜2－1. (2)由f(x)＝|lg x|，且f(a)＝f(b)可知 |lg a|＝|lg b|，又a＞b＞0， ∴l(xiāng)g a＝－lg b，即lg ab＝0，∴ab＝1. ∴＝＝(a－b)＋≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為2.] - 8 -