2020版高考數學一輪復習 第3章 三角函數、解三角形 第5節(jié) 三角恒等變換教學案 文（含解析）北師大版

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1、第五節(jié)　三角恒等變換 [考綱傳真]　1.會用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式.2.會用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦、正切公式． 3．會用兩角差的余弦公式推導出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系． 4．能運用上述公式進行簡單的三角恒等變換(包括導出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶)． 1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β； (3)tan(α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、

2、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝. 1．公式T(α±β)的變形： (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； (2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．公式C2α的變形： (1)sin2α＝(1－cos 2α)； (2)cos2α＝(1＋cos 2α)． 3．公式逆用： (1)sin＝cos； (2)sin＝cos； (3)sin＝cos. 4．輔助角公式 asi

3、n α＋bcos α＝sin(α＋φ)(其中tan φ＝)， 特別的 sin α±cos α＝sin； sin α±cos α＝2sin； sin α±cos α＝2sin. [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)存在實數α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (　　) (2)在銳角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B的大小關系不確定． (　　) (3)公式tan(α＋β)＝可以變形為tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且對任意角α，β都成立． (　

4、　) (4)函數y＝3sin x＋4cos x的最大值為7． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改編)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　) A．－　　　B．　　　C．－　　　D． D　[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故選D．] 3．(教材改編)已知cos α＝－，α是第三象限角，則cos的值為(　　) A． B．－ C． D．－ A　[由cos α＝－，α是第三象限

5、角知sin α＝－， 則cos＝coscos α－sinsin α＝×－×＝.故選A．] 4．已知sin(α－π)＝，則cos 2α＝________. 　[由sin(α－π)＝，得sin α＝－，則 cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.] 5．(教材改編)－＝________. 　[－＝ ＝＝tan 30°＝. ] 三角函數式的化簡 1．已知sin＝cos，則tan α＝(　　) A．－1　　 B．0　　　　C．　　　　D．1 A　[因為sin＝cos， 所以cos α－sin α＝cos α－sin α. 所以cos α＝sin α.

6、所以tan α＝＝－1，故選A．] 2．計算的值為(　　) A．－ B． C． D．－ B　[＝ ＝＝＝.] 3．已知θ∈，且sin θ－cos θ＝－，則＝(　　) A． B． C． D． D　[由sin θ－cos θ＝－ 得sin＝， 因為θ∈， 所以0＜－θ＜， 所以cos＝. ＝ ＝＝ ＝2cos＝.] 4．已知0＜θ＜π，則＝________. －cos θ　[原式＝ ＝＝. 因為0＜θ＜π，所以0＜＜，所以cos ＞0.所以原式＝－cos θ.] [規(guī)律方法]　1.三角函數式的化簡要遵循“三看”原則 2．三角函數式化簡的

7、方法 弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪． 在三角函數式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律，根號中含有三角函數式時，一般需要升次． 三角函數式的求值 ?考法1　給值求值 【例1】　(1)(2018·全國卷Ⅲ)若sin α＝，則cos 2α＝(　　) A． B． C．－ D．－ (2)(2019·太原模擬)已知角α是銳角，若sin＝，則cos等于(　　) A． B． C． D． (3)若α，β是銳角，且sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，則tan(α－β)＝________. (1)B　(2)A　(3)－　[(1

8、)cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.故選B． (2)由0＜α＜得－＜α－＜ 又sin＝， ∴cos＝＝＝ ∴cos＝cos＝coscos＋sinsin ＝×＋×＝，故選A． (3)因為sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，兩式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝， 即2－2cos(α－β)＝，所以cos(α－β)＝， 因為α、β是銳角，且sin α－sin β＝－＜0， 所以0＜α＜β＜.所以－＜α－β＜0. 所以sin(α－β)＝－＝－. 所以tan(α－β)＝＝－.] ?考法2　給角求值 【例2】　(1)ta

9、n 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝________. (2)sin 50°(1＋tan 10°)＝________. (1)　(2)1　[(1)由tan(20°＋40°)＝＝得 tan 20°＋tan 40°＝(1－tan 20°tan 40°) ∴原式＝(1－tan 20°tan 40°)＋tan 20°tan 40°＝. (2)sin 50°(1＋tan 10°) ＝sin 50° ＝sin 50°× ＝sin 50°× ＝＝＝＝1.] ?考法3　給值求角 【例3】　(1)若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，則α＋β的值是(　　

10、) A． B． C．或 D．或 (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，則2α－β的值為________． (1)A　(2)－　[(1)∵α∈，∴2α∈. 又sin 2α＝＞0，∴2α∈， ∴cos 2α＝－且α∈. 又β∈，∴β－α∈. ∵sin(β－α)＝＞0， ∴cos(β－α)＝－且β－α∈， ∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－×－×＝. ∵2α∈，β－α∈，∴α＋β∈， ∴α＋β＝，故選A． (2)因為tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝ ＝＝＞0

11、， 所以0＜α＜， 又因為tan 2α＝＝＝＞0，所以0＜2α＜， 所以tan(2α－β)＝＝＝1. 因為tan β＝－＜0， 所以＜β＜π，－π＜2α－β＜0， 所以2α－β＝－.] [規(guī)律方法]　三角函數求值的三種情況 (1)“給角求值”中一般所給出的角都是非特殊角，應仔細觀察非特殊角與特殊角之間的關系，結合公式將非特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數求解． (2)“給值求值”：給出某些角的三角函數式的值，求另外一些角的三角函數值，解題關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系． (3)“給值求角”：實質是轉化為“給值求值”，先求角的某一函數值，再求角的范圍，最后確定

12、角． (1)若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，則cos＝(　　) A．　 B．－　　　C．　　　D．－ (2)＝________. (3)(2019·長春模擬)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均為銳角，則角β值是________． (1)A　(2)　(3)　[(1)由0＜α＜得＜＋α＜，又cos＝， ∴sin＝，由－＜β＜0得＜－＜. 又cos＝，∴sin＝. ∴cos＝cos＝cos＋αcos－＋sin＋αsin－＝×＋×＝. (2)原式＝＝＝. (3)∵α，β均為銳角，∴－＜α－β＜. 又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝. 又s

13、in α＝，∴cos α＝， ∴sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×－×＝. ∴β＝.] 三角恒等變換的綜合應用 【例4】　(2019·合肥模擬)已知函數f(x)＝sin2x－sin2，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． [解]　(1)由已知得 f(x)＝－ ＝－cos 2x ＝sin 2x－cos 2x＝sin. 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)由(1)知f(x)＝sin. ∵－≤x≤， ∴－≤2x－≤， ∴當2x－＝－，即

14、x＝－時，f(x)有最小值， 且f ＝－， 當2x－＝，即x＝時，f(x)有最大值， 且f ＝. 所以f(x)在區(qū)間上的最大值為，最小值為－. [規(guī)律方法]　三角恒等變換在三角函數圖像和性質中的應用 解決此類問題可先根據和角公式、倍角公式把函數表達式變?yōu)檎倚秃瘮祔＝Asin(ωx＋φ)＋t或余弦型函數y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式，再利用三角函數的圖像與性質求解． (2019·溫州模擬)已知函數f(x)＝sin xcos x＋cos2x. (1)求函數f(x)的最小正周期； (2)若－＜α＜0，f(α)＝，求sin 2α的值． [解]　(1)∵函數f(x)＝sin

15、xcos x＋cos2x ＝sin 2x＋ ＝sin＋， ∴函數f(x)的最小正周期為＝π. (2)若－＜α＜0， 則2α＋∈， ∴f(α)＝sin＋＝， ∴sin＝， ∴2α＋∈， ∴cos＝＝， ∴sin 2α＝sin＝sincos －cossin ＝×－×＝. 1．(2017·全國卷Ⅲ)函數f(x)＝sinx＋＋cos的最大值為(　　) A．　 B．1　　　C．　　　D． A　[法一：∵f(x)＝sin＋cos ＝＋cos x＋sin x ＝sin x＋cos x＋cos x＋sin x ＝sin x＋cos x＝sin， ∴當x＝＋2kπ(k

16、∈Z)時，f(x)取得最大值. 故選A． 法二：∵＋＝， ∴f(x)＝sin＋cos ＝sin＋cos ＝sin＋sin ＝sin≤. ∴f(x)max＝，故選A．] 2．(2016·全國卷Ⅱ)若cos＝，則sin 2α＝(　　) A． B． C．－ D．－ D　[因為cos＝，所以sin 2α＝cos＝cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝－.] 3．(2018·全國卷Ⅰ)已知角α的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上有兩點A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，則|a－b|＝(　　) A． B． C． D．1 B　[由題意知cos α>0

17、.因為cos 2α＝2cos2α－1＝，所以cos α＝，sin α＝±，得|tan α|＝.由題意知|tan α|＝，所以|a－b|＝.] 4．(2018·全國卷Ⅱ)已知tanα－＝，則tan α＝________. 　[法一：因為tan α－＝， 所以＝，即＝， 解得tan α＝. 法二：因為tanα－＝， 所以tan α＝tanα－＋ ＝＝＝.] 5．(2017·全國卷Ⅱ)函數f(x)＝2cos x＋sin x的最大值為________． 　[f(x)＝2cos x＋sin x＝， 設sin α＝，cos α＝， 則f(x)＝sin(x＋α)， ∴函數f(x)＝2cos x＋sin x的最大值為.] - 13 -