《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第6節(jié) 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)教學(xué)案 理(含解析)新人教A版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第6節(jié) 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)教學(xué)案 理(含解析)新人教A版(8頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第六節(jié) 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)
[考綱傳真] 1.理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì),知道用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù);了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用.2.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性,掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖象通過(guò)的特殊點(diǎn),會(huì)畫(huà)底數(shù)為2,10,的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象.3.體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù)模型.4.了解指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)互為反函數(shù).
1.對(duì)數(shù)的概念
如果ax=N(a>0且a≠1),那么x叫作以a為底N的對(duì)數(shù),記作x=logaN,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).
2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)
(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì):①alog
2、aN=N;②logaab=b(a>0,且a≠1).
(2)換底公式:logab=(a,c均大于0且不等于1,b>0).
(3)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì):如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
①loga(M·N)=logaM+logaN;
②loga=logaM-logaN;
③logaMn=nlogaM(n∈R).
3.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)
定義
函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)叫作對(duì)數(shù)函數(shù)
圖象
a>1
0<a<1
性質(zhì)
定義域:(0,+∞)
值域:R
當(dāng)x=1時(shí),y=0,即過(guò)定點(diǎn)(1,0)
當(dāng)0<x<1時(shí),y<0;
當(dāng)x>1時(shí),y>0
當(dāng)
3、0<x<1時(shí),y>0;
當(dāng)x>1時(shí),y<0
在(0,+∞)上為增函數(shù)
在(0,+∞)上為減函數(shù)
4.反函數(shù)
指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)互為反函數(shù),它們的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng).
[常用結(jié)論]
1.換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論
(1)loga b=;(2)logambn=loga b.
其中a>0且a≠1,b>0且b≠1,m,n∈R.
2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較
如圖,作直線y=1,則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù),故0<c<d<1<a<b.由此我們可得到以下規(guī)律:在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大.
[基礎(chǔ)
4、自測(cè)]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)函數(shù)y=log2(x+1)是對(duì)數(shù)函數(shù).( )
(2)log2x2=2log2x.( )
(3)函數(shù)y=ln與y=ln(1+x)-ln(1-x)的定義域相同.( )
(4)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0),且過(guò)點(diǎn)(a,1),,函數(shù)圖象不在第二、三象限.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(log29)·(log34)=( )
A. B.
C.2 D.4
D [原式=·=×=4.]
3.已知函數(shù)y=loga(x+c)
5、(a,c為常數(shù),其中a>0,且a≠1)的圖象如圖,則下列結(jié)論成立的是( )
A.a(chǎn)>1,c>1
B.a(chǎn)>1,0<c<1
C.0<a<1,c>1
D.0<a<1,0<c<1
D [由圖可知0<a<1,又f(0)=loga c>0,∴0<c<1.]
4.函數(shù)f(x)=log(x2-4)的單調(diào)遞增區(qū)間為( )
A.(0,+∞) B.(-∞,0)
C.(2,+∞) D.(-∞,-2)
D [由x2-4>0得x>2或x<-2,由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,f(x)=log(x2-4)的單調(diào)遞增區(qū)間,即為y=x2-4在{x|x>2或x<-2}上的單調(diào)遞減區(qū)間,故選D.]
5.若a
6、=log4 3,則2a+2-a=________.
[∵a=log4 3,∴2a=2log4 3=2log2 =,∴2-a=,
∴2a+2-a=+=.]
對(duì)數(shù)的運(yùn)算
1.設(shè)2a=5b=m,且+=2,則m等于( )
A. B.10
C.20 D.100
A [∵2a=5b=m,∴a=log2m,b=log5m,
∴+=+=logm2+logm5=logm10=2,
∴m=.]
2.化簡(jiǎn)下列各式:
(1)lg +lg 70-lg 3-;
(2)log3 ·log5[4log2 10-(3)-7log7 2];
(3)(log3 2+log9
7、2)·(log4 3+log8 3).
[解] (1)原式=lg -
=lg 10-
=1-|lg 3-1|=lg 3.
(2)原式=log3 ·log5[10-(3)-7log7 2]
=(log3 3-1)·log5(10-3-2)
=·log5 5
=-.
(3)原式=·=·=·=.
[規(guī)律方法] 在解決對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)與求值問(wèn)題時(shí),(1)要理解并靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)的定義、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)恒等式和對(duì)數(shù)的換底公式.(2)注意化簡(jiǎn)過(guò)程中的等價(jià)性和對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化.(3)化異底為同底.
對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用
【例1】 (1)函數(shù)y=2log4(1-x)的圖象大致是(
8、 )
A B C D
(2)當(dāng)x∈(1,2)時(shí),不等式(x-1)2<loga x恒成立,則a的取值范圍是( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(1,2] D.
(1)C (2)C [(1)函數(shù)y=2log4(1-x)的定義域?yàn)?-∞,1),排除A,B;函數(shù)y=2log4(1-x)在定義域上單調(diào)遞減,排除D.故選C.
(2)設(shè)f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使當(dāng)x∈(1,2)時(shí),不等式(x-1)2<loga x恒成立,只需f1(x)=(x-1)2在區(qū)間(1,2)上的圖象在f2(x)=loga x的圖象的下方即可.
當(dāng)0<a<
9、1時(shí),顯然不成立.
當(dāng)a>1時(shí),如圖所示,要使在區(qū)間(1,2)上,f1(x)=(x-1)2的圖象在f2(x)=loga x的圖象的下方,只需f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤loga 2,所以loga 2≥1,即1<a≤2.]
[規(guī)律方法] 利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可求解的兩類(lèi)問(wèn)題
(1)對(duì)一些可通過(guò)平移、對(duì)稱(chēng)變換作出其圖象的對(duì)數(shù)型函數(shù),在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時(shí),常利用數(shù)形結(jié)合思想求解.
(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題,利用數(shù)形結(jié)合法求解.
(1)函數(shù)f(x)=xa滿(mǎn)足f(2)=4,那么函數(shù)g(x)=|loga(x+1)|
10、的圖象大致為( )
A B C D
(2)已知函數(shù)f(x)=且關(guān)于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一個(gè)實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
(1)C (2)(1,+∞) [(1)法一:∵f(2)=4,∴2a=4,解得a=2,
∴g(x)=|log2(x+1)|=
∴當(dāng)x≥0時(shí),函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,且g(0)=0;當(dāng)-1<x<0時(shí),函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.故選C.
法二:由f(2)=4,即2a=4得a=2,
∴g(x)=|log2(x+1)|,函數(shù)g(x)是由函數(shù)y=|log2x|向左平移一個(gè)單位得到的,只有C項(xiàng)符合,故選C.
(2)如圖,在同一
11、坐標(biāo)系中分別作出y=f(x)與y=-x+a的圖象,其中a表示直線在y軸上截距,由圖可知,當(dāng)a>1時(shí),直線y=-x+a與y=log2x只有一個(gè)交點(diǎn).]
對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
【例2】 (1)(2018·天津高考)已知a=log2 e,b=ln 2,c=log ,則a,b,c的大小關(guān)系為( )
A.a(chǎn)>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
(2)若函數(shù)f(x)=log2(x2-ax-3a)在區(qū)間(-∞,-2]上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-∞,4)
B.(-4,4]
C.(-∞,-4)∪[-2,+∞)
D.[-4,4)
(1
12、)D (2)D [因?yàn)閍=log2 e>1,b=ln 2∈(0,1),c=log =log2 3>log2 e>1,所以c>a>b,故選D.
(2)由題意可知解得-4≤a<4.
故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-4,4).]
[規(guī)律方法] (1)利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性時(shí)要注意真數(shù)必須為正,明確底數(shù)對(duì)單調(diào)性的影響.
(2)解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題,首先要確定函數(shù)的定義域,根據(jù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)的最值解決恒成立問(wèn)題.
(1)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),則f(x)是( )
A.奇函數(shù),且在(0,1)上是增函數(shù)
B.奇函數(shù),且在(0,1)上是
13、減函數(shù)
C.偶函數(shù),且在(0,1)上是增函數(shù)
D.偶函數(shù),且在(0,1)上是減函數(shù)
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=若f(a)>f(-a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,1)
(3)已知偶函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,a=f,b=f,c=f(log32),則下列關(guān)系式中正確的是( )
A.a(chǎn)<b<c B.a(chǎn)<c<b
C.c<a<b D.c<b<a
(1)A (2)C (3)D [(1)由題意可知,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,1),且f(x)=
14、ln =ln,易知y=-1在(0,1)上為增函數(shù),故f(x)在(0,1)上為增函數(shù),又f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù),故選A.
(2)由題意得或解得a>1或-1<a<0.故選C.
(3)log2 =-log2 3,而0<log3 2<1<=log2 <log2 =log2 3.∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴f(log3 2)<f<f(log2 3)=f(-log23)=f,∴c<b<a,故選D.]
1.(2018·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)a=log0.20.3,b=log20.3,則( )
A.a(chǎn)+b<ab<0
15、 B.a(chǎn)b<a+b<0
C.a(chǎn)+b<0<ab D.a(chǎn)b<0<a+b
B [由a=log0.20.3得=log0.30.2,由b=log20.3得=log0.32,所以+=log0.30.2+log0.32=log0.30.4,所以0<+<1,得0<<1.又a>0,b<0,所以ab<0,所以ab<a+b<0.]
2.(2016·全國(guó)卷Ⅰ)若a>b>1,0
16、c,選項(xiàng)A不正確.
∵y=xα,α∈(-1,0)在(0,+∞)上是減函數(shù),
∴當(dāng)a>b>1,0<c<1,即-1<c-1<0時(shí),
ac-1<bc-1,即abc>bac,選項(xiàng)B不正確.
∵a>b>1,∴l(xiāng)g a>lg b>0,∴alg a>blg b>0,
∴>.又∵0<c<1,∴l(xiāng)g c<0.
∴<,∴alogbc<blogac,選項(xiàng)C正確.
同理可證logac>logbc,選項(xiàng)D不正確.]
3.(2018·全國(guó)卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)=ln(-x)+1,f(a)=4,則f(-a)=________.
-2 [由f(a)=ln(-a)+1=4,得ln(-a)=3,所以f(-a)=ln(+a)+1=-ln +1=-ln(-a)+1=-3+1=-2.]
- 8 -