2020版高考數(shù)學一輪復習 第4章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應用舉例教學案 文（含解析）北師大版

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1、第三節(jié)　平面向量的數(shù)量積與平面向量應用舉例 [考綱傳真]　1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算.4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.5.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.6.會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題． 1．兩個向量的夾角 (1)定義：已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB叫作向量a與b的夾角． (2)范圍：0°≤∠AOB≤180°. (3)向量垂直：∠AOB＝90°時，a與b垂直，記作a⊥b.規(guī)定：

2、零向量可與任一向量垂直． 2．平面向量的數(shù)量積 (1)射影的定義 設(shè)θ是a與b的夾角，則|b|cos θ叫作向量b在a方向上的射影，|a|cos θ叫作向量a在b方向上的射影． (2)平面向量數(shù)量積的定義 已知兩個向量a和b，它們的夾角為θ，把|a||b|cos θ叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b. (3)數(shù)量積的幾何意義 a與b的數(shù)量積等于a的長度|a|與b在a方向上的射影|b|·cos θ的乘積，或b的長度|b|與a在b方向上射影|a|cos θ的乘積． 3．平面向量數(shù)量積的運算律 (1)交換律：a·b＝b·a； (2)數(shù)乘結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a

3、·(λb)； (3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示 設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉． 結(jié)論 幾何表示 坐標表示 模 |a|＝ |a|＝ 數(shù)量積 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|與|a||b|的關(guān)系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2| ≤· 1．兩個向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且a，b不共線； 兩個向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜

4、0且a，b不共線． 2．平面向量數(shù)量積運算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 3．當a與b同向時，a·b＝|a||b|； 當a與b反向時，a·b＝－|a||b|. [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)在△ABC中，向量與的夾角為∠B． (　　) (2)向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量． (　　) (3)若a·b＞0，則a和b的夾角為銳角；若a·b＜0，則a和b的夾角為鈍角． (　　) (4)a·

5、b＝a·c(a≠0)，則b＝c． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．(教材改編)設(shè)a＝(5，－7)，b＝(－6，t)，若a·b＝－2，則t的值為(　　) A．－4　　 B．4　　　　C．　　　　D．－ A　[a·b＝5×(－6)－7t＝－2，解得t＝－4，故選A．] 3．(教材改編)已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6，則a與b的夾角θ為(　　) A． B． C． D． D　[cos θ＝＝＝－， 又0≤θ≤π，則θ＝，故選D．] 4．已知向量a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，則m＝________. 2　[由a⊥b得a

6、·b＝0，即－6＋3m＝0， 解得m＝2.] 5．(教材改編)已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120°，則向量b在向量a方向上的投影為________． －2　[由數(shù)量積的定義知，b在a方向上的投影為|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.] 平面向量數(shù)量積的運算 1．(2018·全國卷Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝(　　) A．4　　 B．3　　　　C．2　　　　D．0 B　[因為|a|＝1，a·b＝－1，所以a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3，故選B．] 2．已知＝(2,

7、1)，點C(－1,0)，D(4,5)，則向量在方向上的投影為 (　　) A．－ B．－3 C． D．3 C　[因為點C(－1,0)，D(4,5)，所以CD＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影為 ||cos〈，〉＝＝＝， 故選C．] 3．已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE＝2EF，則·的值為(　　) A．－ B． C． D． B　[如圖所示，＝＋. 又D，E分別為AB，BC的中點， 且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝， 所以＝＋. 又＝－， 則·＝·(－) ＝·－2＋2－· ＝

8、2－2－·. 又||＝||＝1，∠BAC＝60°， 故·＝－－×1×1×＝. 故選B．] [規(guī)律方法]　平面向量數(shù)量積的三種運算方法 (1)當已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉． (2)當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用數(shù)量積的幾何意義求解． 平面向量數(shù)量積的應用 ?考法1　求向量的模 【例1】　(1)已知平面向量a，b的夾角為，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D為BC中點，則||等于(　　)

9、 A．2 B．4 C．6 D．8 (2)(2019·廣州模擬)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|a－2b|＝2，則|b|等于(　　) A．4 B．2 C． D．1 (1)A　(2)D　[(1)因為＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×＝4，則||＝2. (2)由|a－2b|＝2， 得(a－2b)2＝|a|2－4a·b＋4|b|2＝4， 即|a|2－4|a||b|cos 60°＋4|b|2＝4， 即|b|2－|b|＝0，解得|b|＝0(舍去)或|b|＝1，故選D．] ?考法2　求

10、向量的夾角 【例2】　(1)已知向量a，b滿足(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1，則a與b的夾角θ為(　　) A． B． C． D． (2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是________． (1)C　(2)∪　[(1)∵(a＋2b)·(5a－4b)＝0， ∴5a2＋6a·b－8b2＝0. 又|a|＝|b|＝1， ∴a·b＝， ∴cos θ＝＝. 又θ∈[0，π]，∴θ＝，故選C． (2)因為2a－3b與c的夾角為鈍角，所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2,1)＜0

11、，所以4k－6－6＜0，所以k＜3.又若(2a－3b)∥c，則2k－3＝－12，即k＝－.當k＝－時，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，即2a－3b與c反向． 綜上，k的取值范圍為∪.] ?考法3　平面向量的垂直問題 【例3】　(1)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，則實數(shù)t的值為________． (2)已知向量與的夾角為120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，則實數(shù)λ的值為________． (1)－5　(2)　[(1)∵a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，∴ta＋b＝(t＋6，－t－4)． 又a⊥(ta＋b)，則a·(ta＋b)＝0，

12、即t＋6＋t＋4＝0，解得t＝－5. (2)由⊥得·＝0，即(λ＋)·(－)＝0， ∴(λ－1)·－λ2＋2＝0， 即－3(λ－1)－9λ＋4＝0. 解得λ＝.] [規(guī)律方法]　平面向量數(shù)量積求解問題的策略 (1)求兩向量的夾角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]． (2)兩向量垂直的應用：兩非零向量垂直的充要條件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|. (3)求向量的模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有： ①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝. ②|a±b|＝＝. ③若a＝(x，y)，則|a|＝. (1)(2017·全國卷Ⅰ)已知向量a，b的夾角為60°

13、，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________. (2)(2017·山東高考)已知e1，e2是互相垂直的單位向量．若e1－e2與e1＋λe2的夾角為60°，則實數(shù)λ的值是________． (1)2　(2)　　[(1)法一：|a＋2b|＝ ＝ ＝ ＝＝2. 法二：(數(shù)形結(jié)合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a與2b為鄰邊可作出邊長為2的菱形OACB，如圖，則|a＋2b|＝||.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2. (2)由題意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0， |e1－e2|＝ ＝＝＝2. 同理|e1＋λe2|＝. 所以cos 60°＝ ＝＝

14、＝， 解得λ＝.] 平面向量與三角函數(shù)的綜合 【例4】　(2017·江蘇高考)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]． (1)若a∥b，求x的值； (2)記f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對應的x的值． [解]　(1)因為a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b， 所以－cos x＝3sin x. 若cos x＝0，則sin x＝0，與sin2 x＋cos2 x＝1矛盾， 故cos x≠0. 于是tan x＝－. 又x∈[0，π]，所以x＝. (2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(

15、3，－) ＝3cos x－sin x＝2cos. 因為x∈[0，π]，所以x＋∈， 從而－1≤cos≤. 于是，當x＋＝，即x＝0時，f(x)取到最大值3； 當x＋＝π，即x＝時，f(x)取到最小值－2. [規(guī)律方法]　平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路 (1)題目條件給出向量的坐標中含有三角函數(shù)的形式，運用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解． (2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標，要求的是向量的模或者其他向量的表達形式，解題思路是經(jīng)過向量的運算，利用三角函數(shù)的定義域內(nèi)的有界性，求得值域等． 在平面直角坐標系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x

16、，cos x)，x∈. (1)若m⊥n，求tan x的值； (2)若m與n的夾角為，求x的值． [解]　(1)因為m＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n. 所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0， 所以sin x＝cos x，所以tan x＝1. (2)因為|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝， 即sin x－cos x＝，所以sin＝， 因為0＜x＜，所以－＜x－＜， 所以x－＝，即x＝. 1．(2016·全國卷Ⅲ)已知向量＝，＝，則∠ABC＝(　　) A．30°　 B．45°　　　C．60°　　　D．120° A　[因為＝，＝，所以·＝＋＝.

17、又因為·＝||||cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故選A．] 2．(2015·全國卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 C　[法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3， 從而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1. 法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)， ∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)， 從而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故選C．] 3．(

18、2014·全國卷Ⅱ)設(shè)向量a，b滿足|a＋b|＝，|a－b|＝，則a·b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．5 A　[|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10， |a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6， 將上面兩式左右兩邊分別相減，得4a·b＝4， ∴a·b＝1.] 4．(2017·全國卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b與a垂直，則m＝________. 7　[∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)， ∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)． 又a＋b與a垂直，∴(a＋b)·a＝0， 即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.] - 10 -