中考數(shù)學壓軸題的滿分攻略 -考典40 幾何計算域說理計算問題

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1、中考數(shù)學壓軸題的滿分攻略 -考典40 幾何計算域說理計算問題 【真題典藏】 1. （xx年上海市第24題）參見《考典35 梯形的存在性問題》第1題，如圖1． 2. （xx年上海市第24題）如圖2，在平面直角坐標系中，O為坐標原點．二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋3的圖像經(jīng)過點A(－1,0)，頂點為B． （1）求這個二次函數(shù)的解析式，并寫出頂點B的坐標； （2）如果點C的坐標為(4,0)，AE⊥BC，垂足為點E，點D在直線AE上，DE＝1，求點D的坐標． 圖1 圖2 3．（xx年上海市第24題）如圖3，已知平面直角坐標系

2、xOy，拋物線y＝－x2＋bx＋c過點A(4,0)、B(1,3)． （1）求該拋物線的表達式，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點坐標； （2）記該拋物線的對稱軸為直線l，設拋物線上的點P(m,n)在第四象限，點P關于直線l的對稱點為E，點E關于y軸的對稱點為F，若四邊形OAPF的面積為20，求m、n的值． 圖3 4．（xx年上海市第24題）如圖4，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2＋6x＋c的圖像經(jīng)過點A(4, 0)、B(－1,0)，與y軸交于點C，點D在線段OC上，OD＝t，點E在第二象限，∠ADE＝90°，，EF⊥OD，垂足為F． （1）求這個二次函數(shù)的解析式； （2）求線

3、段EF、OF的長（用含t的代數(shù)式表示）； （3）當∠ECA＝∠OAC時，求t的值． 圖4 【滿分攻略】 我們用三種方法證明第1題（xx年上海市第24題）的第（2）題DC//AB： 方法一，由于點在雙曲線上，所以． 因為，，所以，因此DC//AB． 這里依據(jù)“三角形一邊的平行線判定定理推論”． 方法二，因為，， 所以，因此DC//AB． 方法三，如圖6，由反比例函數(shù)的圖形與性質，知△AOC與△BOD的面積相等． 圖5中的△ADC與圖6中的△AOC的面積相等，圖5中的△BCD與圖6中的△BOD的面積相等，經(jīng)過等量代換，圖5中的△ACD與△BCD的面積相等．因為這兩個

4、三角形是同底CD的，因此它們是同底等高的三角形，所以DC//AB． 圖5 圖6 圖7 其中方法一和方法二是通過計算進行說理，方法三是說理證明． 第2題（xx年上海市第24題）的第（2）題求點D的坐標是幾何計算． 準備動作：． 羅列點：A(－1,0)，B(1,4)，C(4,0)． 畫圖：先畫直線BC，過點A向BC畫垂線，垂足為E． 拿起圓規(guī)，以E為圓心，1長為半徑畫圓，圓與直線AE有幾個交點？這就是行動體現(xiàn)思想，你畫圖的過程已經(jīng)體現(xiàn)了分類討論思想，點D有兩個（如圖7

5、）． 試問有必要畫拋物線嗎？ 解題的過程反復用到數(shù)形結合思想——不要問為什么——拿來就用．示范一下： 注意標志性語句的引領作用，體現(xiàn)書寫的層次性，吸引閱卷老師的注意力． 第3題（xx年上海市第24題）的第（1）題做完之后停一停，確認無誤之后再作第（2）題，否則就是徒勞無益． 第（1）題用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，用配方法求拋物線的對稱軸和頂點坐標，無需畫圖．拋物線的表達式為y＝－x2＋4x，對稱軸為直線x＝2，頂點坐標為(2,4)． 第（2）題的最大障礙就是畫示意圖了，事實上，無需畫出拋物線，如圖8，只要順次畫出點A、對稱軸、點P的大概位置（在點A的右下方）、點E、點F，

6、就可以直觀感受到，四邊形OAPE是等腰梯形，四邊形OAPF是平行四邊形． 說理是關鍵的一步： 平行四邊形OAPF的底邊OA＝4是確定的，高是點P到x軸的距離，用點P的縱坐標表示為－n，列方程－4 n＝20容易求的n＝－5．解方程－m2＋4m＝－5，會得到m有兩個解，根據(jù)題目條件“點P(m,n)在第四象限”舍去不合題意的解． 如果不用上述幾何說理的方法，我們也可以根據(jù)點的坐標特征進行說理： 這個說理方法的最大困難是用m表示點F的坐標(4－m,n)． 圖8 第4題（xx年上海市第24題），DE和AD橫看成嶺側成峰，DE∶AD＝1∶2，既是Rt△ADE的兩條直角邊的比，也是兩

7、個相似的△DEF和△ADO的斜邊比． 第（1）題求得拋物線的解析式y(tǒng)＝－2x2＋6x＋8，與y軸交于點C(0，8)． 第（2）題，如圖9，在Rt△ADE中，已知，所以． 已知∠ADE＝∠EFD＝90°，所以∠DEF與∠ADO都是∠EDF的余角． 因此∠DEF＝∠ADO． 所以△DEF∽△ADO．因此，即． 于是得到，．所以． 圖9 圖10 第（3）題難在示意圖怎么畫？在森林中認識樹木：當∠ECA＝∠OAC時，如果延長CE與x軸交于點M，根據(jù)等角對等邊，那么△MAC是等腰三角形，MA＝MC．這樣我們作AC的垂直

8、平分線先找到點M，在MC的適當位置畫一個點E，這樣示意圖就畫好了． 如圖10，設AC的垂直平分線與x軸交于點M，那么MA＝MC，∠MCA＝∠MAC． 當∠ECA＝∠OAC時，點E在MC上． 由于，而OA＝4，OC＝8，所以． 因此．所以MO＝6． 由EF//MO，得，即．解得t＝6． 考典40 幾何計算說理與說理計算問題 1．如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2＋6x＋c的圖像經(jīng)過點A(4, 0)、B(－1,0)，與y軸交于點C，點D在線段OC上，OD＝t，點E在第二象限，∠ADE＝90°，，EF⊥OD，垂足為F． （1）求這個二次函數(shù)的解析式； （2）求線段

9、EF、OF的長（用含t的代數(shù)式表示）； （3）當∠ECA＝∠OAC時，求t的值． 圖1 2．如圖2，已知△ABC中，∠ACB＝90°，點P到∠ACB兩邊的距離相等，且PA＝PB． （1）先用尺規(guī)作出符合要求的點P（保留作圖痕跡，不需要寫作法），然后判斷△ABP的形狀，并說明理由； （2）設PA＝m，PC＝n，試用m、n的代數(shù)式表示△ABC的周長和面積； （3）設CP與AB交于點D，試探索當邊AC、BC的長度變化時，的值是否發(fā)生變化，若不變，試求出這個不變的值，若變化，試說明理由．

10、圖2 3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＜AC，M是BC邊的中點，MN⊥BC交AC于點N．動點P從點B出發(fā)沿射線BA以每秒厘米的速度運動．同時動點Q從點N出發(fā)沿射線NC運動，且始終保持MQ⊥MP．設運動時間為t秒（t＞0）． （1）△PBM與△QNM相似嗎？以圖3為例說明理由； （2）若∠ABC＝60°，厘米． ①求動點Q的運動速度； ②設△APQ的面積為S(平方厘米)，求S與t的函數(shù)關系式； （3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之間的數(shù)量關系，以圖3為例說明理由． 圖3 4．在Rt△ABC中， AB＝BC＝4，∠B＝90°，將一直角三角板的直角頂點放在斜邊

11、AC的中點M處，將三角板繞點M旋轉，三角板的兩直角邊分別與邊AB、BC或其延長線上交于D、E兩點(假設三角板的兩直角邊足夠長)，如圖4、圖5表示三角板旋轉過程中的兩種情形． （1）直角三角板繞點M旋轉過程中，當BE＝ 時，△MEC是等腰三角形； （2）直角三角板繞點M旋轉到圖1的情形時，求證：MD＝ME； （3）如圖6，若將直角三角板的直角頂點M在斜邊AC上移動，設AM∶MC＝m∶n(m、n為正數(shù))，試判斷MD、ME的數(shù)量關系，并說明理由． 圖4 圖5 圖6 考典40 幾何計算說理與說理計算問題 1．（1）y＝

12、－2x2＋6x＋8． （2）如圖1，在Rt△ADE中，已知，所以． 已知∠ADE＝∠EFD＝90°，所以∠DEF與∠ADO都是∠EDF的余角． 因此∠DEF＝∠ADO． 所以△DEF∽△ADO．因此，即． 于是得到，．所以． 圖1 圖2 （3）如圖2，設AC的垂直平分線與x軸交于點M，那么MA＝MC，∠MCA＝∠MAC． 當∠ECA＝∠OAC時，點E在MC上． 由于，而OA＝4，OC＝8，所以． 因此．所以MO＝6． 由EF//MO，得，即．解得t＝6． 2．（1）求作點P的作圖痕跡如圖3所示．△PAB是

13、等腰直角三角形，證明如下： 作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分別為M、N． 因為點P在∠ACB的平分線上，所以PM＝PN． 又因為PA＝PB，所以Rt△APM≌Rt△BPN（HL）．因此∠1＝∠2． 又因為∠2與∠BPM互余，所以∠1與∠BPM互余，即∠APB＝90°． 所以△PAB是等腰直角三角形． （2）如圖4，在等腰直角三角形PAB中，PA＝m，所以AB＝m． 在等腰直角三角形MPC中，PC＝n，所以CM＝n． 由Rt△APM≌Rt△BPN，得AM＝BN．所以CA＋CB＝2CM＝n． 因此△ABC的周長＝AB＋CA＋CB＝m＋n． △ABC的面積可以這樣割補： S△A

14、BC＝S正方形MPNC－S△PAB ． （3）如圖5，作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E、F，那么四邊形CEDF是正方形，CD＝DE＝DF． 設AD＝x，BD＝y(tǒng)． 由，，兩式相加，得． 于是得到． 圖3 圖4 圖5 3．（1）如圖6，∠B與∠1都是∠C的余角，所以∠B＝∠1． ∠BMP與∠NMQ都是∠PMN的余角，所以∠BMP＝∠NMQ． 所以△PBM∽△QNM． （2）①當∠ABC＝60°時，∠C＝30°，． 由△PBM∽△QNM，得． 而已知BM＝CM，所以． 因為，所以NQ＝t．因此點Q的運動速度為

15、每秒1厘米． ②在Rt△ABC中，∠B＝60°，，所以AC＝12，． 在Rt△CMN中，，∠C＝30°，所以CN＝8． 因此AN＝4，AQ＝4＋t． 如圖7，當P在BA上時，0≤t≤4，． 此時． 如圖8，當P在BA的延長線上時， t＞4，． 此時． 圖6 圖7 圖8 （3）如圖9，過點C作AB的平行線交BM的延長線于P′， 那么△QCP′是直角三角形，P′Q2＝P′C2＋CQ2． 因為P′C//AB，M是BC的中點，所以BP＝CP′，PM＝P′M． 所以QM垂直平分PP′，PQ＝P′Q． 于是得到PQ2＝BP2

16、＋CQ2． 圖9 第（3）題容易想到代數(shù)方法，通過計算得到結論： ， ，． 所以PQ2＝BP2＋CQ2． 4．（1）0，2，或． （2）如圖10，△MGD≌△MHE，MD＝ME． （3）如圖11，△AGM和△MHC都是等腰直角三角形，Rt△AGM∽Rt△MHC． 因此．又因為△MGD∽△MHE，所以． 圖10 圖11 后敘 一、這不是一本中考的試題集，這是一本關于中考解題策略的書，如敘家常． 二、本書分三部分，我們把每一部分概論中的第一句話摘錄如下： 簡單題錯失一道將悔恨不已，因此要加強簡單題的準確性訓練． 簡答題丟失一

17、步將滿分無望，因此要加強簡答題的規(guī)范性訓練． 壓軸題多練一道就自信一分，因此要加強壓軸題的規(guī)律性訓練． 三、我們摘錄每一部分的高頻詞語和經(jīng)典語句： 第一部分的高頻詞語有：粗心，不要口算，即刻回頭檢查． 第二部分的經(jīng)典語句有：沒有不會的，只有不對的；重溫課本；想好了再寫——時間誠可貴，答對價更高；標志性語句的引領，表明書寫的層次，吸引閱卷老師的眼球；踩分點；中考的版面有限，不能寫到框外，要注意撲捉命題意圖哦！ 第三部分的經(jīng)典語句有：導航儀不代表體力——想的對不等于能做對；拿起尺、規(guī)畫圖，答案就在圖形中；你的思想還不成熟——數(shù)形結合思想，分類討論思想；歇歇腳再走，否則徒勞無益． 四、一

18、位上高一的學生來看我，說他離夢想的那所市重點高中就差0.5分，要是再降1分，他肯定被錄取了． 我笑笑． 他納悶． 我解釋說，例如數(shù)學，上海考生約10萬人，減去極端高分和極端低分2萬人，那么分數(shù)集中在100—140分之間的40分，平均每分xx人． 中考1分意味著什么呢？ 五、這本書剖析近6年的中考數(shù)學題目——應該注意的問題、容易出現(xiàn)的失誤、思維的出發(fā)點、書寫的規(guī)范——你標記了多少認同的地方？ 六、本書最牛的一句話——選擇放棄也是一種好的策略，保證其他題目準確無誤也是高分——壓軸題中你不會的那道小題，可能絕大多數(shù)人都不會．例如xx年最后兩道壓軸題皆因輔助線而難倒眾生，其實第25題第（2）題需要添加的輔助線，本來是常見的聯(lián)結兩個中點構造三角形的中位線，但是因為圖形中其它線條的干擾，使眾多考生沒有發(fā)現(xiàn)這條輔助線．如果添加了這條輔助線，那么問題一下子就解決了． 七、或許你做對了，但是你寫的字讓人誤解或者費解，吃虧的不是別人．這句話開始說過，這里再說一次；這句話語文老師一定也說過，理化和英語老師同樣說過． 八、好運留給有準備的人——祝你好運！