10、]∪[4，＋∞)．
∵≥0，∴f(x)＝3≥30＝1，
∴函數(shù)f(x)的值域是[1，＋∞)．
令u＝＝，x∈(－∞，1]∪[4，＋∞)，
∴當x∈(－∞，1]時，u是減函數(shù)，
當x∈[4，＋∞)時，u是增函數(shù)．
而3>1，∴由復合函數(shù)的單調(diào)性，可知f(x)＝3在(－∞，1]上是減函數(shù)，在[4，
＋∞)上是增函數(shù)．
探究提高 (1)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過平移、對稱變換得到其圖象．
(2)對復合函數(shù)的性質(zhì)進行討論時，要搞清復合而成的兩個函數(shù)，然后對其中的參數(shù)進行討論．
(1)函數(shù)y＝的圖象大致為
11、 ( )
答案 A
解析 y＝＝1＋，當x>0時，e2x－1>0，且隨著x的增大而增大，故y＝1
＋>1且隨著x的增大而減小，即函數(shù)y在(0，＋∞)上恒大于1且單調(diào)遞減．又函
數(shù)y是奇函數(shù)，故只有A正確．
(2)若函數(shù)f(x)＝e－(x－μ)2 (e是自然對數(shù)的底數(shù))的最大值是m，且f(x)是偶函數(shù)，則m
＋μ＝________.
答案 1
解析 由于f(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，
即e－(－x－μ)2＝e－(x－μ)2，∴(x＋μ)2＝(x－μ)2，∴μ＝0，
∴f(x)＝e－x2.又y＝ex是R上的增函數(shù)，而－x2≤0，
12、
∴f(x)的最大值為e0＝1＝m，∴m＋μ＝1.
題型三 指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用
例3 (1)k為何值時，方程|3x－1|＝k無解？有一解？有兩解？
(2)已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝2x－.
①若f(x)＝，求x的值；
②若2tf(2t)＋mf(t)≥0對于t∈[1,2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
思維啟迪：方程的解的問題可轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點問題；恒成立可以通過分離參數(shù)求最
值或值域來解決．
解 (1)函數(shù)y＝|3x－1|的圖象是由函數(shù)y＝3x的圖象向下平移一個單位后，再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的，函數(shù)圖象如圖所示．
當k<0時，直線y＝k與函數(shù)y＝
13、|3x－1|的圖象無交點，即方程
無解；當k＝0或k≥1時，直線y＝k與函數(shù)y＝|3x－1|的圖象
有唯一的交點，所以方程有一解；
當00，∴x＝1.
②當t∈[1,2]時，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)，
∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－1
14、7，－5]，
故m的取值范圍是[－5，＋∞)．
探究提高 對指數(shù)函數(shù)的圖象進行變換是利用圖象的前提，方程f(x)＝g(x)解的個數(shù)即為函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)圖象交點的個數(shù)；復合函數(shù)問題的關(guān)鍵是通過換元得到兩個新的函數(shù)，搞清復合函數(shù)的結(jié)構(gòu)．
已知f(x)＝(ax－a－x) (a>0且a≠1)．
(1)判斷f(x)的奇偶性；
(2)討論f(x)的單調(diào)性；
(3)當x∈[－1,1]時，f(x)≥b恒成立，求b的取值范圍．
解 (1)因為函數(shù)的定義域為R，所以關(guān)于原點對稱．
又因為f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)，
所以f(x)為奇函數(shù)．
(2)當a>1時，a2－
15、1>0，y＝ax為增函數(shù)，y＝a－x為減函數(shù)，從而y＝ax－a－x為增函數(shù)，
所以f(x)為增函數(shù)，
當00，且a≠1時，f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．
(3)由(2)知f(x)在R上是增函數(shù)，
所以在區(qū)間[－1,1]上為增函數(shù)，
所以f(－1)≤f(x)≤f(1)，
所以f(x)min＝f(－1)＝(a－1－a)
＝·＝－1，
所以要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，則只需b≤－1，
故b的取值范圍是(－∞，－1]．
3.利
16、用方程思想和轉(zhuǎn)化思想求參數(shù)范圍
典例：(14分)已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)．
(1)求a，b的值；
(2)若對任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范圍．
審題視角 (1)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，要求參數(shù)值，可考慮利用奇函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)建方
程：f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)．
(2)可考慮將t2－2t,2t2－k直接代入解析式化簡，轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的一元二次不等式．也可
考慮先判斷f(x)的單調(diào)性，由單調(diào)性直接轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次不等式．
規(guī)范解答
解 (1)因為f(x)是R上的奇函數(shù)，
所以f(0)＝0，即＝
17、0，解得b＝1，
從而有f(x)＝.[4分]
又由f(1)＝－f(－1)知＝－，
解得a＝2.[7分]
(2)方法一 由(1)知f(x)＝，
又由題設(shè)條件得＋<0，
即(22t2－k＋1＋2)(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t＋1＋2)(－22t2－k＋1)<0.[9分]
整理得23t2－2t－k>1，因底數(shù)2>1，故3t2－2t－k>0.[12分]
上式對一切t∈R均成立，從而判別式Δ＝4＋12k<0，
解得k<－.[14分]
方法二 由(1)知f(x)＝＝－＋，
由上式易知f(x)在R上為減函數(shù)，又因為f(x)是奇函數(shù)，從而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)
18、<0
等價于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因為f(x)是R上的減函數(shù)，
由上式推得t2－2t>－2t2＋k.[12分]
即對一切t∈R有3t2－2t－k>0，
從而Δ＝4＋12k<0，解得k<－.[14分]
溫馨提醒 (1)根據(jù)f(x)的奇偶性，構(gòu)建方程求參數(shù)體現(xiàn)了方程的思想；在構(gòu)建方程時，利用
了特殊值的方法，在這里要注意：有時利用兩個特殊值確定的參數(shù)，并不能保證對所有
的x都成立．所以還要注意檢驗．
(2)數(shù)學解題的核心是轉(zhuǎn)化，本題的關(guān)鍵是將f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立等價轉(zhuǎn)化為t2
－2t>－2t2＋k恒成立．這個轉(zhuǎn)化易出錯．
19、其次，不等式t2－2t>－2t2＋k恒成立，即對一切t∈R有3t2－2t－k>0，也可以這樣做：k<3t2－2t，t∈R，只要k比3t2－2t的最小值小即可，而3t2－2t的最小值為－，所以k<－.
方法與技巧
1．判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題，可以先通過令x＝1得到底數(shù)的值再進行比較．
2．指數(shù)函數(shù)y＝ax (a>0，a≠1)的性質(zhì)和a的取值有關(guān)，一定要分清a>1與0
20、對可化為a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0 (≤0)的指數(shù)方程或不等式，常借助換元法解
決，但應(yīng)注意換元后“新元”的范圍.
(時間：60分鐘)
A組 專項基礎(chǔ)訓練
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1． 設(shè)2a＝5b＝m，且＋＝2，則m等于 ( )
A. B．10
C．20 D．100
答案 A
解析 ∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，
21、∴＋＝＋
＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
∴m＝.
2． 函數(shù)y＝－x2＋2x的值域是 ( )
A．R B．(0，＋∞)
C．(2，＋∞) D.
答案 D
解析 ∵－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，
∴－x2＋2x≥，故選D.
3． 函數(shù)y＝(0
22、案 D
解析 函數(shù)定義域為{x|x∈R，x≠0}，且y＝＝.當x>0時，函數(shù)是一個指數(shù)函數(shù)，因為00，a≠1)，滿足f(1)＝，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 ( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
答案 B
解析 由f(1)＝，得a2＝，∴a＝ (a＝－
23、舍去)，
即f(x)＝|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上遞減，在[2，＋∞)上遞增，
所以f(x)在(－∞，2]上遞增，在[2，＋∞)上遞減．故選B.
二、填空題(每小題5分，共15分)
5． 已知a＝，函數(shù)f(x)＝ax，若實數(shù)m、n滿足f(m)>f(n)，則m、n的大小關(guān)系為________．
答案 mf(n)，∴m0，a≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大，則a的值為__________．
答案 或
解析 當0
24、＝，∴a＝或a＝0(舍去)．
當a>1時，a2－a＝，∴a＝或a＝0(舍去)．
綜上所述，a＝或.
7. (xx·洛陽調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝ax＋b (a>0且a≠1)的圖象如圖所
示，則a＋b的值是________．
答案?。?
解析 ∵，∴，
∴a＋b＝－2.
三、解答題(共25分)
8． (12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝2|x＋1|－|x－1|，求使f(x)≥2的x的取值范圍．
解 y＝2x是增函數(shù)，f(x)≥2等價于
|x＋1|－|x－1|≥.①
(1)當x≥1時，|x＋1|－|x－1|＝2，∴①式恒成立．
(2)當－1
25、
①式化為2x≥，即≤x<1.
(3)當x≤－1時，|x＋1|－|x－1|＝－2，①式無解．
綜上，x的取值范圍是.
9． (13分)設(shè)a>0且a≠1，函數(shù)y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．
解 令t＝ax (a>0且a≠1)，
則原函數(shù)化為y＝(t＋1)2－2 (t>0)．
①當00，所以a＝.
②當a>1時，x∈[－1,1]，t＝ax∈，
此時f(t)在上是增函數(shù)．
所以f(t)
26、max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，
解得a＝3(a＝－5舍去)．
綜上得a＝或3.
B組 專項能力提升
一、選擇題(每小題5分，共15分)
1． 設(shè)函數(shù)f(x)＝若F(x)＝f(x)＋x，x∈R，則F(x)的值域為
( )
A．(－∞，1] B．[2，＋∞)
C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
答案 C
解析 當x>0時，F(xiàn)(x)＝＋x≥2；
當x≤0時，F(xiàn)(x)＝ex＋x，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的單調(diào)性，F(xiàn)(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，
F(x)≤F(0)＝1，所
27、以F(x)的值域為(－∞，1]∪[2，＋∞)．
2． (xx·山東)設(shè)函數(shù)f(x)＝，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)．若y＝f(x)的圖象與y＝g(x)
的圖象有且僅有兩個不同的公共點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則下列判斷正確的是
( )
A．當a<0時，x1＋x2<0，y1＋y2>0
B．當a<0時，x1＋x2>0，y1＋y2<0
C．當a>0時，x1＋x2<0，y1＋y2<0
D．當a>0時，x1＋x2>0，y1＋y2>0
答案 B
解析 由題意知函數(shù)f(x)＝，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)的圖象有且僅有兩個公共點A(x1，y1)，
28、B(x2，y2)，等價于方程＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)有兩個不同的根x1，x2，
即方程ax3＋bx2－1＝0有兩個不同非零實根x1，x2，
因而可設(shè)ax3＋bx2－1＝a(x－x1)2(x－x2)，
即ax3＋bx2－1＝a(x3－2x1x2＋xx－x2x2＋2x1x2x－x2x)，
∴b＝a(－2x1－x2)，x＋2x1x2＝0，－ax2x＝－1，
∴x1＋2x2＝0，ax2>0，
當a>0時，x2>0，
∴x1＋x2＝－x2<0，x1<0，
∴y1＋y2＝＋＝>0.
當a<0時，x2<0，
∴x1＋x2＝－x2>0，x1>0，
∴y1＋y2＝＋＝<0.
29、3． (xx·上饒質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)＝－，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)y＝[f(x)]
的值域是 ( )
A．{0,1} B．{0，－1}
C．{－1,1} D．{1,1}
答案 B
解析 f(x)＝－＝－.
∵1＋2x>1，∴f(x)的值域是.
∴y＝[f(x)]的值域是{0，－1}．
二、填空題(每小題4分，共12分)
4．
30、 函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－3＋m (a>1)恒過點(1,10)，則m＝______.
答案 9
解析 f(x)＝ax2＋2x－3＋m在x2＋2x－3＝0時過定點(1，1＋m)或(－3,1＋m)，∴1＋m
＝10，解得m＝9.
5． 若函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案 (1，＋∞)
解析 令ax－x－a＝0即ax＝x＋a，若01，y＝ax與y＝x＋a的圖象如圖所示．
6． 關(guān)于x的方程x＝有負數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為__________．
31、
答案
解析 由題意，得x<0，所以01，ex1－ex2<0，∴ex1＋x2－1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
2022年高三數(shù)學大一輪復習 2.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教案 理 新人教A版
