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1、2022年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(理)試題 含答案(IV)
本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分
注意事項(xiàng):
1.答題前,考試務(wù)必先認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名,準(zhǔn)考證號(hào)和座位號(hào),無誤后將本人姓名、準(zhǔn)考證號(hào)和座位號(hào)填寫在相應(yīng)位置,
2.答選擇題時(shí),必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào);
3.答題時(shí),必須使用黑色簽字筆,將答案規(guī)范、整潔地書寫在答題卡規(guī)定的位置上;
4.所有題目必須在答題卡上作答,在試題卷上答題無效;
5.考試結(jié)束后將答題卡交回,不得折疊、損毀答題卡。
一、選擇題
1.已知(1+i)?z=﹣i
2、,那么復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的( ?。?
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2、,則實(shí)數(shù)a取值范圍為( )
A B [-1,1] C D (-1,1]
3、拋物線的準(zhǔn)線方程是 ( )
A B C D
4、若,使得 -成立是假命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A B C D {3}
5.已知角α終邊與單位圓x2+y2=1的交點(diǎn)為,
則=( ?。?
A. B. C. D.1
6
3、.執(zhí)行如圖的程序框圖,則輸出的S的值為( ?。?
A.1 B.2 C.3 D.4
7.《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為“今有女善織,日益功疾,初日織五尺,今一月日織九匹三丈.”其意思為:現(xiàn)有一善于織布的女子,從第2天開始,每天比前一天多織相同量的布,第1天織了5尺布,現(xiàn)在一月(按30天計(jì)算)共織390尺布,記該女子一月中的第n天所織布的尺數(shù)為an,則a14+a15+a16+a17的值為( ?。?
A.55 B.52 C.39 D.26
8.△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinB=1,向量=(a,b),=(1,2),若∥,則角A的大小為( ?。?
A. B. C.
4、D.
9.若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示,其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為 ( )
A B C D
10.等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=BC=1,點(diǎn)M,N分別是AB,BC中點(diǎn),點(diǎn)P是△ABC(含邊界)內(nèi)任意一點(diǎn),則?的取值范圍是( )
A.[﹣,] B.[﹣,] C.[﹣,] D.[,]
11 .如圖,在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是棱BC,CC1的中點(diǎn),P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點(diǎn),若A1P∥平面AEF,則線段A1P長度的
5、取值范圍是( ?。?
A.[1,] B.[,] C.[,] D.[,]
12.設(shè)函數(shù)是函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù),f(0)=1,且3f(x)=﹣3,則4f(x)>的解集為( )
A.(,+∞) B.(,+∞) C.(,+∞) D.(,+∞)
第Ⅱ卷
二、填空題.
13、已知錯(cuò)誤!未找到引用源。=錯(cuò)誤!未找到引用源。,則錯(cuò)誤!未找到引用源。_______
14.已知直線L經(jīng)過點(diǎn)P(﹣4,﹣3),且被圓(x+1)2+(y+2)2=25截得的弦長為8,則直線L的方程是 ?。?
15若直線ax+by﹣1=0(a>0,b>0)過曲線y=1+sinπx(0<x<
6、2)的對(duì)稱中心,則+的最小值為 ?。?
16.定義:如果函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a,b]上存在x0(a<x0<b),滿足,則稱函數(shù)y=f(x)是[a,b]上的“平均值函數(shù)”,x0是它的一個(gè)均值點(diǎn).如y=x2是[﹣1,1]上的平均值函數(shù),0就是它的均值點(diǎn).現(xiàn)有函數(shù)f(x)=x3+mx是區(qū)間[﹣1,1]上的平均值函數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
三、解答題
17.(12分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊長分別為a,b,c,,∠BAC=θ,a=4.
(Ⅰ)求b?c的最大值及θ的取值范圍;
(Ⅱ)求函數(shù)的最值.
18.
7、(12分)如圖,在Rt△AOB中,,斜邊AB=4,D是AB中點(diǎn),現(xiàn)將Rt△AOB以
直角邊AO為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐,點(diǎn)C為圓錐底面圓周上一點(diǎn),且∠BOC=90°,
(1)求圓錐的側(cè)面積;
(2)求直線CD與平面BOC所成的角的正弦值;
19.某學(xué)校高一年級(jí)學(xué)生某次身體素質(zhì)體能測(cè)試的原始成績采用百分制, 已知所有這些學(xué)生的原始成績均分布在[50,100]內(nèi),發(fā)布成績使用等級(jí)制各等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)見下表, 規(guī)定:A、B、C三級(jí)為合格等級(jí),D為不合格等級(jí).
百分制
85分及以上
70分到84分
60分到69分
60分以下
等級(jí)
A
B
C
D
8、
為了解該校高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況, 從中抽取了n名學(xué)生的原始成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì), 按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分組作出頻率分布直方圖如圖1所示, 樣本中分?jǐn)?shù)在80分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖2所示.
(1)求n和頻率分布直方圖中x,y的值;
(2)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想,以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,若在該校高一學(xué)生中任選3人, 求至少有1人成績是合格等級(jí)的概率;
(3)在選取的樣本中, 從A、C兩個(gè)等級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了3名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研, 記ξ表示所抽取的3名學(xué)生中為C等級(jí)的學(xué)生
9、人數(shù), 求隨機(jī)變量ξ的分布列及均值.
20.(12分)如圖,橢圓x2+=1的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,雙曲線Γ以A、B為頂點(diǎn),焦距
為2,點(diǎn)P是Γ上在第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),直線AP與橢圓相交于另一點(diǎn)Q,線段AQ的中點(diǎn)為M,記直線AP的斜率為k,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求雙曲線Γ的方程;
(2)求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)yM的取值范圍;
(3)是否存在定直線l,使得直線BP與直線OM關(guān)于直線l對(duì)稱?若存在,求直線l方程,若不存在,請(qǐng)說明理由.
21.(12分)已知函數(shù)f(x)=lnx+.
(1)當(dāng)a=2時(shí),證明對(duì)任意的x∈(1,+∞),f(x)>1;
(2)求證:ln(n+1)>
10、(n∈N*).
(3)若函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
四、選做題(10分)請(qǐng)考生從給出的2道題中任選一題做答,并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目題號(hào)后的方框涂黑。注意所選題目的題號(hào)必須與所涂題目的題號(hào)一致,在答題卡選答區(qū)域指定位置答題。如果多做,則按所做的第一題計(jì)分。
22.(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α是參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=.
(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)求曲線C1上的任意一點(diǎn)P到曲線C2的最小距離,并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
23
11、.(10分)已知函數(shù)f(x)=|2x﹣a|+a.
(1)若不等式f(x)≤6的解集為[﹣2,3],求實(shí)數(shù)a的值;
(2)在(1)的條件下,若存在實(shí)數(shù)n,使得f(n)≤m﹣f(﹣n)成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
xx級(jí)高三(上)期末考試 理科數(shù)學(xué)參考答案
一. 選擇題 BBCAA BBAAA BB
二.填空題13、1 14、x=﹣4和4x+3y+25=0 15、3+2 16、﹣3<m≤.
三、解答題
17、解:(Ⅰ)因?yàn)?bc?cosθ=8,
根據(jù)余弦定理得:b2+c2﹣2bccosθ=42,
即b2+c2=32,(2分)
又b2+
12、c2≥2bc,所以bc≤16,即bc的最大值為16,
即,
所以,又0<θ<π,
所以0<θ;
(Ⅱ)
=,(9分)
因0<θ,所以<,,(10分)
當(dāng)即時(shí),,(11分)
當(dāng)即時(shí),f(θ)max=2×1+1=3.(12分)
18解:(1)∵在Rt△AOB中,,斜邊AB=4,D是AB中點(diǎn),
將Rt△AOB以直角邊AO為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐,點(diǎn)C為圓錐底面圓周上一點(diǎn),且∠BOC=90°,
∴圓錐的側(cè)面積S側(cè)=πrl=2×4×π=8π.
(2)取OB的中點(diǎn)E,連結(jié)DE、CE,
則DE∥AO,∴DE⊥平面BOC,
∴∠DCE是直線CD與平面BOC所成的角,
在Rt△DE
13、C中,CE=,DE=,
tan=,
∴.
∴直線CD與平面BOC所成角的大小為arctan.
19.解 (1)n==50,x==0.004,
y==0.018.
(2)成績是合格等級(jí)人數(shù)為(1-0.1)×50=45, 抽取的50人中成績是合格等級(jí)的頻率為,故從該校學(xué)生中任選1人, 成績是合格等級(jí)的概率為,設(shè)在該校高一學(xué)生中任選3人, 至少有1人成績是合格等級(jí)的事件為A,
則P(A)=1-C×(1-)3=.
(3) 由題意可知C等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為0.18×50=9,A等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為3, 故ξ的取值為0,1,2,3,則
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)
14、===,P(ξ=3)===,
所以ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P
E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.
20.解:(1)由題意,a=1,c=,b=2,
∴雙曲線Γ的方程=1;
(2)由題意,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
直線AP的方程y=k(x+1)(0<k<2),代入橢圓方程,整理得(4+k2)x2+2k2x+k2﹣4=0
∴x=﹣1或x2=,∴Q(,),M(﹣,)
∴yM==在(0,2)上單調(diào)遞增,∴yM∈(0,1)
(3)由題意,kAP?kBP==4,
同理kAP?kOM=﹣4,∴kOM+kBP=0,
設(shè)直線O
15、M:y=k′x,則直線BP:y=﹣k′(x﹣1),解得x=,
∵kOM+kBP=0,∴直線BP與OM關(guān)于直線x=對(duì)稱.
21. (1)證明:當(dāng)a=2時(shí),f(x)=lnx+,
令h(x)=lnx+﹣1,則>0
∴h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴h(x)>h(1)=0,
∴對(duì)任意的x∈(1,+∞),f(x)>1;
(2)證明:由(1)知x∈(1,+∞),lnx+>1,
即lnx>,
令x=,則,∴,
∴l(xiāng)n(n+1)=>;
(3)解:f′(x)=.
令f′(x)=0,則x2﹣(a﹣2)x+1=0,△=(a﹣2)2﹣4=a(a﹣4).
①0≤a≤4時(shí),f′(x)≥0,
16、函數(shù)在(0,+∞)上遞增,函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn);
②a<0時(shí),f′(x)>0,函數(shù)在(0,+∞)上遞增,函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn);
③當(dāng)a>4時(shí),△>0,設(shè)f'(x)=0的兩根分別為x1與x2,
則x1+x2=a﹣2>0,x1?x2=1>0,不妨設(shè)0<x1<1<x2
當(dāng)x∈(0,x1)及x∈(x2,+∞)時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí),f'(x)<0,
∴函數(shù)f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上遞增,在(x1,x2)上遞減,
而
∴x∈(x1,+∞)時(shí),f(x)>0,且f(x1)>0
因此函數(shù)f(x)在(0,x1)有一個(gè)零點(diǎn),而在(x1,+∞)上無零點(diǎn);
此時(shí)函數(shù)f(x)
17、只有一個(gè)零點(diǎn);
綜上,函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍為R.…(14分)
22. 解:(1)曲線C1的參數(shù)方程為(α是參數(shù)),x=2cos2α=1+cos2α,∴(x﹣1)2+y2=1.
曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=,化為ρsinθ﹣ρcosθ=1,∴y﹣x=1,即x﹣y+1=0.
(2)設(shè)與曲線C2平行且與曲線C1的直線方程為y=x+t,代入圓的方程可得:2x2+2(t﹣1)x+t2=0,∵△=4(t﹣1)2﹣8t2=0,化為t2+2t﹣1=0,解得.
取t=﹣1,直線y=x+1與切線的距離d==﹣1,即為曲線C1上的任意一點(diǎn)P到曲線C2的最小距離.
此時(shí)2x2+2(t﹣1)x+t2=0,化為=0,解得x==,y=,∴P.
23. 解:(1)原不等式可化為|2x﹣a|≤6﹣a,
∴,
解得a﹣3≤x≤3.
再根據(jù)不等式f(x)≤6的解集為[﹣2,3],可得a﹣3=﹣2,
∴a=1.
(2)∵f(x)=|2x﹣1|+1,f(n)≤m﹣f(﹣n),
∴|2n﹣1|+1≤m﹣(|﹣2n﹣1|+1),
∴|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m,
∵y=|2n﹣1|+|2n+1|+2=,
∴ymin=4,
由存在實(shí)數(shù)n,使得f(n)≤m﹣f(﹣n)成立,
∴m≥4,即m的范圍是[4,+∞).