2022年高三數(shù)學總復習 空間直角坐標系教案 理

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1、2022年高三數(shù)學總復習 空間直角坐標系教案 理 教材分析 這節(jié)課是在學生已經(jīng)學過的二維的平面直角坐標系的基礎上的推廣，是以后學習“空間向量”等內(nèi)容的基礎．通過建立空間直角坐標系，可以將空間內(nèi)任一點用有序數(shù)組來表示；反過來，任一有序數(shù)組就對應一個點，這樣空間直角坐標系中的點就有了坐標表示．在空間中引入坐標的目的和物理學中引入單位制一樣，是提供一個度量幾何對象的方法．因此，研究空間圖形就可以代數(shù)化，實現(xiàn)了形向數(shù)的轉化，將數(shù)與形緊密地結合起來．這節(jié)課學完后，如把幾何體放入空間直角坐標系中來研究，幾何體上的點就有了坐標表示，一些題目如兩點間距離、異面直線成的角、二面角的平面角等就可借助于空間向量

2、來解答，所以，這節(jié)課對于溝通高中各部分知識，完善學生的認知結構，起到了很重要的作用． 教學目標 1. 讓學生經(jīng)歷用類比的數(shù)學思想方法探索空間直角坐標系的建立方法，進一步體會數(shù)學概念、方法產(chǎn)生和發(fā)展的過程，學會科學的思維方法． 2. 理解空間直角坐標系與點的坐標的意義，掌握由空間直角坐標系內(nèi)的點確定其坐標或由坐標確定其在空間直角坐標系內(nèi)的點，認識空間直角坐標系中的點與坐標的關系． 3. 進一步培養(yǎng)學生的空間想象能力與確定性思維能力． 任務分析 點在三維空間內(nèi)位置的確定是一個比較抽象的過程，學生在這個方面還沒有形成清晰的認識，教學時應充分類比以往點在直線、點在平面內(nèi)位置的確定方式．通過

3、實例，激發(fā)學生的學習興趣與探索欲望，充分發(fā)揮學生的主體作用，引導學生順理成章地得出通過建立空間直角坐標系利用點的坐標來確定點在空間內(nèi)的位置．要特別強調(diào)點與坐標的一一對應關系，來強化對點的坐標的理解．圍繞在空間直角坐標系中點的坐標的確定這一教學重點，通過鞏固與練習反復強化如何在坐標系中利用點的坐標的概念來確定點的坐標這一過程，以鞏固學生對新知識的理解，實現(xiàn)從感性認識到理性認識的飛躍． 教學設計 一、問題情景 1. 確定一個點在一條直線上的位置的方法． 2. 確定一個點在一個平面內(nèi)的位置的方法． 例：如圖26-1，要在一塊長10cm、寬5cm的鐵板上鉆一個孔．若孔中心到鐵板左邊為2cm，

4、到下邊為4cm（鐵板擺放位置已定），問孔中心的位置是否確定． 3. 如何確定一個點在三維空間內(nèi)的位置？ 例：如圖26-2，在房間（立體空間）內(nèi)如何確定電燈位置？ 在學生思考討論的基礎上，教師明確：確定點在直線上，通過數(shù)軸需要一個數(shù)；確定點在平面內(nèi)，通過平面直角坐標系需要兩個數(shù)．那么，要確定點在空間內(nèi)，應該需要幾個數(shù)呢？通過類比聯(lián)想，容易知道需要三個數(shù)．要確定電燈的位置，知道電燈到地面的距離、到相鄰的兩個墻面的距離即可． （此時學生只是意識到需要三個數(shù)，還不能從坐標的角度去思考，因此，教師在這兒要重點引導） 教師明晰：在地面上建立直角坐標系xOy，則地面上任一點的位置只須利用x

5、，y就可確定．為了確定不在地面內(nèi)的電燈的位置，須要用第三個數(shù)表示物體離地面的高度，即需第三個坐標z．因此，只要知道電燈到地面的距離、到相鄰的兩個墻面的距離即可．例如，若這個電燈在平面xOy上的射影的兩個坐標分別為4和5，到地面的距離為3，則可以用有序數(shù)組（4，5，3）確定這個電燈的位置（如圖26-3）． 這樣，仿照初中平面直角坐標系，就建立了空間直角坐標系O—xyz，從而確定了空間點的位置． 二、建立模型 1. 在前面研究的基礎上，先由學生對空間直角坐標系予以抽象概括，然后由教師給出準確的定義． 從空間某一個定點O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標系O—

6、xyz，點O叫作坐標原點，x軸、y軸、z軸叫作坐標軸，這三條坐標軸中每兩條確定一個坐標平面，分別稱為xO平面，yO平面，zOx平面． 教師進一步明確： （1）在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，若中指指向z軸的正方向則稱這個坐標系為右手坐標系，課本中建立的坐標系都是右手坐標系． （2）將空間直角坐標系O—xyz畫在紙上時，x軸與y軸、x軸與z軸成135°，而y軸垂直于z軸，y軸和z軸的單位長度相等，但x軸上的單位長度等于y軸和z軸上的單位長度的，這樣，三條軸上的單位長度直觀上大致相等． 2. 空間直角坐標系O—xyz中點的坐標． 思考：在空間直角坐標

7、系中，空間任意一點Ａ與有序數(shù)組（x，y，z）有什么樣的對應關系？ 在學生充分討論思考之后，教師明確： （1）過點A作三個平面分別垂直于x軸，y軸，z軸，它們與x軸、y軸、z軸分別交于點P，Q，R，點P，Q，R在相應數(shù)軸上的坐標依次為x，y，z，這樣，對空間任意點A，就定義了一個有序數(shù)組（x，y，z）． （2）反之，對任意一個有序數(shù)組（x，y，z），按照剛才作圖的相反順序，在坐標軸上分別作出點P，Q，R，使它們在x軸、y軸、z軸上的坐標分別是x，y，z，再分別過這些點作垂直于各自所在的坐標軸的平面，這三個平面的交點就是所求的點A． 這樣，在空間直角坐標系中，空間任意一點A與有序數(shù)組（

8、x，y，z）之間就建立了一種一一對應關系：A（x，y，z）． 教師進一步指出：空間直角坐標系O—xyz中任意點A的坐標的概念 對于空間任意點A，作點A在三條坐標軸上的射影，即經(jīng)過點A作三個平面分別垂直于x軸、y軸和z軸，它們與x軸、y軸、z軸分別交于點P，Q，R，點P，Q，R在相應數(shù)軸上的坐標依次為x，y，z，我們把有序數(shù)組（x，y，z）叫作點A的坐標，記為A（x，y，z）．（如圖26-4） 三、解釋應用 ［例　題］ 1. 在空間直角坐標系O—xyz中，作出點P（5，4，6）． 注意：在分析中緊扣坐標定義，強調(diào)三個步驟，第一步從原點出發(fā)沿x軸正方向移動5個單位，第二步沿與ｙ軸平行的

9、方向向右移動4個單位，第三步沿與z軸平行的方向向上移動6個單位（如圖26-5）． 2. （1）在空間直角坐標系中，坐標平面xOy，xOz，yOz上點的坐標有什么特點？ （2）在空間直角坐標系中，x軸、y軸、z軸上點的坐標有什么特點？ 解：（1）xOy平面、xOz平面、yOz平面內(nèi)的點的坐標分別形如（x，y，0），（x，0，z），（0，y，z）． （2）x軸、y軸、z軸上點的坐標分別形如（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z）． 3. 已知長方體ABCD－A′B′C′D′的邊長AB＝12，AD＝8，AA′＝5，以這個長方體的頂點A為坐標原點，射線AB，AD，AA′分別為x軸、

10、y軸和z軸的正半軸，建立空間直角坐標系，求這個長方體各個頂點的坐標． 注意：此題可以由學生口答，教師點評． 解：A（0，0，0），B（12，0，0），D（0，8，0），A′（0，0，5），C（12，8，0），B′（12，0，5），D′（0，8，5），C′（12，8，5）． 討論：若以C點為原點，以射線CB，CD，CC′方向分別為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系，那么各頂點的坐標又是怎樣的呢？ 得出結論：建立不同的坐標系，所得的同一點的坐標也不同． ［練　習］ 1. 在空間直角坐標系中，畫出下列各點：A（0，0，3），B（1，2，3），C（2，0，4），D（－1，2，－2

11、）． 2. 已知：長方體ABCD－A′B′C′D′的邊長AB＝12，AD＝8，AA′＝7，以這個長方體的頂點B為坐標原點，射線AB，BC，BB′分別為x軸、y軸和z軸的正半軸，建立空間直角坐標系，求這個長方體各個頂點的坐標． 3. 寫出坐標平面yOz上∠yOz平分線上的點的坐標滿足的條件． 四、拓展延伸 1. 分別寫出點（1，1，1）關于各坐標軸和各個坐標平面對稱的點的坐標． 2. 設ｚ為任意實數(shù)，相應的所有點P（1，2，z）的集合是什么圖形？ 3. 試將平面直角坐標系中的兩點間距離公式類比到空間直角坐標系中去． 點　評 這篇案例主要采用啟發(fā)式教學方法，通過激發(fā)學生學習的求知欲

12、望，使學生主動參與教學實踐活動．首先，為了使學生比較順利地實現(xiàn)從線到平面、再從平面到空間的變化，即從一維到二維、再從二維到三維向量的變化，采用了類比的數(shù)學教學手段，順利地引導學生實現(xiàn)了這一變化，同時引起了學生的興趣． 在整個教學過程中，內(nèi)容由淺入深，環(huán)環(huán)相扣，不僅使學生在學習過程中了解了知識的發(fā)生、發(fā)展的過程，也使學生嘗到了成功的喜悅．這對增強學生的學習信心，起到了很好的作用．在研究過程中，充分運用了類比、交換、數(shù)形結合等數(shù)學思想方法，有效地培養(yǎng)了學生的思想品質．在求空間直角坐標系中點的坐標時，學生不僅會很自然地運用類比的思想方法，也鍛煉了他們的空間思維能力． 就整體而言，空間直角坐標系是空間向量的根基，這種課屬于典型的起始課教學．這篇案例在體現(xiàn)坐標思想、概念教學等方面做了成功的探究．