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1、2022年高中數(shù)學 冪函數(shù)教案 蘇教版必修1
教學目標：
使學生認識到冪函數(shù)同樣也是一種重要的函數(shù)模型，掌握從特殊到一般地去進行類比研究冪函數(shù)的性質，并注意與指數(shù)函數(shù)進行對比學習.
教學重點：
冪函數(shù)的定義和圖象.
教學難點：
冪函數(shù)的圖象.
教學過程：
Ⅰ.復習引入
冪函數(shù)的定義
Ⅱ.講授新課
問題1：我們知道，分數(shù)指數(shù)冪可以與根式相互轉化．把下列各函數(shù)先化成根式形式，再指出它的定義域和奇偶性．利用計算機畫出它們的圖象，觀察它們的圖象，看有什么共同點？
?。?）y＝；（2）y＝；（3）y＝；（4）y＝．
思路：先將各式化為根式形式，函數(shù)的定義域就是使這些根式有
2、意義的實數(shù)x的集合；奇偶性直接利用定義進行判斷．（1）定義域為［0，＋），（2）（3）（4）定義域都是R；其中（1）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，（2）是奇函數(shù)，（3）（4）是偶函數(shù)．它們的圖象都經(jīng)過點（0，0）和（1，1），且在第一象限內函數(shù)單調遞增．
問題2：仿照問題1研究下列函數(shù)的定義域和奇偶性，觀察它們的圖象看有什么共同點？
?。?）y＝x－1；（2）y＝x－2；（3）y＝；（4）y＝．
思路：先將負指數(shù)冪化為正指數(shù)冪，再將分數(shù)指數(shù)冪化為根式，函數(shù)的定義域就是使這些分式和根式有意義的實數(shù)x的集合；（1）（2）（4）的定義域都是{x|x≠0}，（3）的定義域是（0，＋）；（1
3、）（4）是奇函數(shù)，（2）是偶函數(shù)，（3）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．它們的圖象都經(jīng)過點（1，1），且在第一象限內函數(shù)單調遞減，并且以兩坐標軸為漸近線．
總結：研究冪函數(shù)時，通常先將負指數(shù)冪化為正指數(shù)冪，再將分數(shù)指數(shù)冪化為根式（冪指數(shù)是負整數(shù)時化為分式）；根據(jù)得到的分式或根式研究冪函數(shù)的性質．函數(shù)的定義域就是使這些分式和根式有意義的實數(shù)x的集合；奇偶性和單調性直接利用定義進行判斷．問題1和問題2中的這些冪函數(shù)我們要記住它們圖象的變化趨勢，有利于我們進行類比．
［例1］討論函數(shù)y＝的定義域、值域、奇偶性、單調性，并畫出圖象的示意圖．
思路：函數(shù)y＝是冪函數(shù)．
?。?）要使y＝＝有意義，
4、x可以取任意實數(shù)，故函數(shù)定義域為R．
?。?）∵xR，∴x2≥0．∴ y≥0．
?。?）f（－x）＝＝＝f（x）， ∴函數(shù)y＝是偶函數(shù)；
（4）∵n＝＞0， ∴冪函數(shù)y＝在［0，＋］上單調遞增．
由于冪函數(shù)y＝是偶函數(shù)，
∴冪函數(shù)y＝在（－∞，0）上單調遞減．
?。?）其圖象如右圖所示．
［例2］比較下列各組中兩個數(shù)的大小：
?。?）1.5，1.7；（2）0.71.5，0.61.5；（3）（－1.2），（－1.25）．
解析：（1）考查冪函數(shù)y＝的單調性，在第一象限內函數(shù)單調遞增，
∵1.5＜1.7 ∴1.5＜1.7
（2）
5、考查冪函數(shù)y＝的單調性，同理0.71.5＞0.61.5．
?。?）先將負指數(shù)冪化為正指數(shù)冪可知它是偶函數(shù)，
∵（－1.2）＝1.2，（－1.25）＝1.25，又1.2＞1.25
∴（－1.2）＞（－1.25）
點評：比較冪形式的兩個數(shù)的大小，一般的思路是：
（1）若能化為同指數(shù)，則用冪函數(shù)的單調性；
?。?）若能化為同底數(shù)，則用指數(shù)函數(shù)的單調性；
（3）若既不能化為同指數(shù)，也不能化為同底數(shù)，則需尋找一個恰當?shù)臄?shù)作為橋梁來比較大?。?
［例3］求函數(shù)y＝＋2x＋4（x≥－32）值域．
解析：設t＝x，∵x≥－32，∴t≥－2，則y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3．
當t＝－1時，ymin＝3．
∴函數(shù)y＝＋2x＋4（x≥－32）的值域為［3，＋∞）．
點評：這是復合函數(shù)求值域的問題，應用換元法．
Ⅲ.課堂練習
課本P73 1，2
Ⅳ.課時小結
［師］通過本節(jié)學習，大家能熟悉并掌握冪函數(shù)的圖象，提高數(shù)學應用的能力.
Ⅴ.課后作業(yè)
課本P73 習題1，2，3，4
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