2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教案 理 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考 1.考查直線與圓的相交、相切問題,判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系;2.計算弦長、面積,考查與圓有關(guān)的最值;根據(jù)條件求圓的方程. 復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.會用代數(shù)法或幾何法判定點、直線與圓的位置關(guān)系;2.掌握圓的幾何性質(zhì),通過數(shù)形結(jié)合法解決圓的切線、直線被圓截得的弦長等直線與圓的綜合問題,體會用代數(shù)法處理幾何問題的思想. 1. 直線與圓的位置關(guān)系 設(shè)直線l:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0), 圓:(x-a)2+(y-b)2=r2 (r>0), d為圓心(a,b)到直線l

2、的距離,聯(lián)立直線和圓的方程,消元后得到的一元二次方程的判別式為Δ. 幾何法 代數(shù)法 相交 d0 相切 d=r Δ=0 相離 d>r Δ<0 2. 圓與圓的位置關(guān)系 設(shè)圓O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r(r1>0), 圓O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r (r2>0). 方法 位置關(guān)系   幾何法:圓心距d與r1,r2的關(guān)系 代數(shù)法:兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況 相離 d>r1+r2 無解 外切 d=r1+r2 一組實數(shù)解 相交 |r1-r2|

3、r1-r2|(r1≠r2) 一組實數(shù)解 內(nèi)含 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 無解 [難點正本 疑點清源] 1. 直線與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方法的結(jié)合,“代數(shù)法”與“幾何法”是從不同的方面和思路來判斷的. 2. 計算直線被圓截得的弦長的常用方法 (1)幾何方法 運用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計算. (2)代數(shù)方法 運用根與系數(shù)關(guān)系及弦長公式 |AB|=|xA-xB| =. 1. (xx·重慶)過原點的直線與圓x2+y2-2x-4y+4=0相交所得弦的長為2,則該直線的方程為________. 答案 2x-

4、y=0 解析 圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x-1)2+(y-2)2=1,又相交所得弦長為2,故相交弦為圓的直徑,由此得直線過圓心(1,2),故所求直線方程為2x-y=0. 2. 若圓x2+y2=1與直線y=kx+2沒有公共點,則實數(shù)k的取值范圍為__________. 答案 (-,) 解析 由圓與直線沒有公共點,可知圓的圓心到直線的距離大于半徑,也就是>1,解得-

5、點到直線的距離為1,則需圓心(0,0)到直線的距離d滿足0≤d<1. ∵d==,∴0≤|c|<13,即c∈(-13,13). 4. 從圓x2-2x+y2-2y+1=0外一點P(3,2)向這個圓作兩條切線,則兩切線夾角的余弦 值為 (  ) A. B. C. D.0 答案 B 解析 圓的方程整理為(x-1)2+(y-1)2=1,C(1,1), ∴sin∠APC=, 則cos∠APB=cos 2∠APC =1-2×2=. 5. 圓C1:x2+y2+2x+2y-2=0與圓C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切線有

6、且僅有(  ) A.1條 B.2條 C.3條 D.4條 答案 B 解析 ⊙C1:(x+1)2+(y+1)2=4, 圓心C1(-1,-1),半徑r1=2. ⊙C2:(x-2)2+(y-1)2=4,圓心C2(2,1),半徑r2=2. ∴|C1C2|=,∴|r1-r2|=0<|C1C2|

7、數(shù)即為直線方程與圓方程聯(lián)立而成的方程組解的個數(shù);最短弦長可用代數(shù)法或幾何法判定. 方法一 (1)證明 由 消去y得(k2+1)x2-(2-4k)x-7=0, 因為Δ=(2-4k)2+28(k2+1)>0, 所以不論k為何實數(shù),直線l和圓C總有兩個交點. (2)解 設(shè)直線與圓交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點, 則直線l被圓C截得的弦長 |AB|=|x1-x2| =2=2 , 令t=,則tk2-4k+(t-3)=0, 當(dāng)t=0時,k=-,當(dāng)t≠0時,因為k∈R, 所以Δ=16-4t(t-3)≥0,解得-1≤t≤4,且t≠0, 故t=的最大值為4,此時|AB|最小為

8、2. 方法二 (1)證明 圓心C(1,-1)到直線l的距離d=,圓C的半徑R=2,R2-d2=12-=,而在S=11k2-4k+8中, Δ=(-4)2-4×11×8<0, 故11k2-4k+8>0對k∈R恒成立, 所以R2-d2>0,即d

9、 由平面幾何知識知過圓內(nèi)定點P(0,1)的弦,只有和AC (C為圓心)垂直時才最短,而此時點P(0,1)為弦AB的中點,由勾股定理,知|AB|=2=2, 即直線l被圓C截得的最短弦長為2. 探究提高 (1)利用圓心到直線的距離可判斷直線與圓的位置關(guān)系,也可利用直線的方程與圓的方程聯(lián)立后得到的一元二次方程的判別式來判斷直線與圓的位置關(guān)系; (2)勾股定理是解決有關(guān)弦問題的常用方法. (xx·安徽)若直線x-y+1=0與圓(x-a)2+y2=2有公共點,則實數(shù)a的取值范圍是 (  ) A.[-3,-1] B.[-1,3] C.[-3,1]

10、 D.(-∞,-3]∪[1,+∞) 答案 C 解析 由題意知,圓心為(a,0),半徑r=. 若直線與圓有公共點,則圓心到直線的距離小于或等于半徑, 即≤,∴|a+1|≤2.∴-3≤a≤1. 題型二 圓與圓的位置關(guān)系 例2 a為何值時,圓C1:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和圓C2:x2+y2+2x-2ay+a2-3 =0. (1)外切;(2)相交;(3)外離;(4)內(nèi)切. 思維啟迪:(1)分別表示出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑;(2)利用圓心距與兩圓半徑的關(guān)系求解. 解 將兩圓方程寫成標(biāo)準(zhǔn)方程. C1:(x-a)2+(y+2)2=9, C2:(x+1)2+(

11、y-a)2=4. ∴兩圓的圓心和半徑分別為 C1(a,-2),r1=3,C2(-1,a),r2=2, 設(shè)兩圓的圓心距為d, 則d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5. (1)當(dāng)d=5,即2a2+6a+5=25時,兩圓外切, 此時a=-5或a=2. (2)當(dāng)15,即2a2+6a+5>25時,兩圓外離,此時a>2或a<-5. (4)當(dāng)d=1,即2a2+6a+5=1時,兩圓內(nèi)切,此時a=-1或a=-2. 探究提高 判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法,即用兩圓圓心距與兩圓半徑

12、和與差之間的關(guān)系,一般不采用代數(shù)法. 已知圓C與圓C1:x2+y2-2x=0相外切,并且與直線l:x+y=0相切于點P(3,-),求圓C的方程. 解 設(shè)所求圓的圓心為C(a,b),半徑長為r, 則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2, ∵C(a,b)在過點P且與l垂直的直線上, ∴=.① 又∵圓C與l相切于點P,∴r=.② ∵圓C與圓C1相外切,∴=r+1.③ 由①得a-b-4=0, 從而由②③④可得=|2a-6|+1,④ 解得,或,此時,r=2或r=6. 即所求的圓C的方程為 (x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36. 題型三 直線與圓的綜合問

13、題 例3 已知⊙M:x2+(y-2)2=1,Q是x軸上的動點,QA,QB分別切⊙M于A,B兩點. (1)若|AB|=,求|MQ|、Q點的坐標(biāo)以及直線MQ的方程; (2)求證:直線AB恒過定點. 思維啟迪:第(1)問利用平面幾何的知識解決;第(2)問設(shè)點Q的坐標(biāo),從而確定點A、B的坐標(biāo)與AB的直線方程. (1)解 設(shè)直線MQ交AB于點P,則|AP|=, 又|AM|=1,AP⊥MQ,AM⊥AQ, 得|MP|==, 又∵|MQ|=,∴|MQ|=3. 設(shè)Q(x,0),而點M(0,2),由=3, 得x=±,則Q點的坐標(biāo)為(,0)或(-,0). 從而直線MQ的方程為2x+y-2=0或

14、2x-y+2=0. (2)證明 設(shè)點Q(q,0),由幾何性質(zhì),可知A、B兩點在以QM為直徑的圓上,此圓的方程為x(x-q)+y(y-2)=0,而線段AB是此圓與已知圓的公共弦,即為qx-2y+3=0,所以直線AB恒過定點. 探究提高 在解決直線與圓的位置關(guān)系時要充分考慮平面幾何知識的運用,如在直線與圓相交的有關(guān)線段長度計算中,要把圓的半徑、圓心到直線的距離、直線被圓截得的線段長度放在一起綜合考慮,不要單純依靠代數(shù)計算,這樣既簡單又不容易出錯. 已知點P(0,5)及圓C:x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直線l過點P且被圓C截得的線段長為4,求l的方程; (2)求過P點的

15、圓C的弦的中點的軌跡方程. 解 (1)如圖所示,|AB|=4,將圓C方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y-6)2=16, ∴圓C的圓心坐標(biāo)為(-2,6),半徑r=4,設(shè)D是線段AB的中點,則CD⊥AB, ∴|AD|=2,|AC|=4.C點坐標(biāo)為(-2,6). 在Rt△ACD中,可得|CD|=2. 設(shè)所求直線l的斜率為k,則直線l的方程為:y-5=kx,即kx-y+5=0. 由點C到直線AB的距離公式:=2, 得k=. 故直線l的方程為3x-4y+20=0. 又直線l的斜率不存在時,也滿足題意,此時方程為x=0. ∴所求直線l的方程為x=0或3x-4y+20=0. (2)設(shè)

16、過P點的圓C的弦的中點為D(x,y), 則CD⊥PD,即·=0, ∴(x+2,y-6)·(x,y-5)=0, 化簡得所求軌跡方程為x2+y2+2x-11y+30=0. 與圓有關(guān)的探索問題 典例:(12分)已知圓C:x2+y2-2x+4y-4=0.問在圓C上是否存在兩點A、B關(guān)于直線y=kx-1對稱,且以AB為直徑的圓經(jīng)過原點?若存在,寫出直線AB的方程;若不存在,說明理由. 審題視角 (1)假設(shè)存在兩點A、B關(guān)于直線對稱,則直線過圓心. (2)若以AB為直徑的圓過原點,則OA⊥OB,轉(zhuǎn)化為·=0. 規(guī)范解答 解 圓C的方程可化為(x-1)2+(y+2)2=9,圓心為C

17、(1,-2).假設(shè)在圓C上存在兩點A、B滿足條件, 則圓心C(1,-2)在直線y=kx-1上,即k=-1.[3分] 于是可知,kAB=1. 設(shè)lAB:y=x+b,代入圓C的方程, 整理得2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0, 則Δ=4(b+1)2-8(b2+4b-4)>0,即b2+6b-9<0. 解得-3-3

18、+x2)+b2=0.[10分] ∴b2+4b-4-b2-b+b2=0,化簡得b2+3b-4=0. 解得b=-4或b=1,均滿足Δ>0, 即直線AB的方程為x-y-4=0,或x-y+1=0.[12分] 答題模板 第一步:假設(shè)符合要求的結(jié)論存在. 第二步:從條件出發(fā)(即假設(shè))利用直線與圓的關(guān)系求解. 第三步:確定符合要求的結(jié)論存在或不存在. 第四步:給出明確結(jié)果. 第五步:反思回顧,查看關(guān)鍵點,易錯點及答題規(guī)范. 溫馨提醒 (1)本題是與圓有關(guān)的探索類問題,要注意充分利用圓的幾何性質(zhì)答題.(2)要注意解答這類題目的答題格式.使答題過程完整規(guī)范.(3)本題的易錯點是轉(zhuǎn)化方向不明確

19、,思路不清晰. 方法與技巧 1. 過圓上一點(x0,y0)的圓的切線方程的求法 先求切點與圓心連線的斜率k,由垂直關(guān)系知切線斜率為-,由點斜式方程可求切線方程.若切線斜率不存在,則由圖形寫出切線方程x=x0. 2. 過圓外一點(x0,y0)的圓的切線方程的求法 (1)幾何方法 當(dāng)斜率存在時,設(shè)為k,切線方程為y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0.由圓心到直線的距離等于半徑,即可得出切線方程. (2)代數(shù)方法 設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),即y=kx-kx0+y0,代入圓方程,得一個關(guān)于x的一元二次方程,由Δ=0,求得k,切線方程即可求出. 3.

20、兩圓公共弦所在直線方程求法 若兩圓相交時,把兩圓的方程作差消去x2和y2就得到兩圓的公共弦所在的直線方程. 4. 圓的弦長的求法 (1)幾何法:設(shè)圓的半徑為r,弦心距為d,弦長為l,則2=r2-d2. (2)代數(shù)法:設(shè)直線與圓相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,解方程組消y后得關(guān)于x的一元二次方程,從而求得x1+x2,x1x2,則弦長為 |AB|=(k為直線斜率). 失誤與防范 1. 求圓的弦長問題,注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題,即用圓心與弦中點連線與弦垂直的性質(zhì),可以用勾股定理或斜率之積為-1列方程來簡化運算. 2. 過圓上一點作圓的切線有且只有一條;過圓外一點作圓的切線有

21、且只有兩條,若僅求得一條,除了考慮運算過程是否正確外,還要考慮斜率不存在的情況,以防漏解. A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間:35分鐘,滿分:57分) 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1. “a=3”是“直線y=x+4與圓(x-a)2+(y-3)2=8相切”的 (  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案 A 解析 若直線y=x+4與圓(x-a)2+(y-3)2=8相切,則有=2,即|a+1|=4,所以a=3或-5.但當(dāng)a=3時,直線y=x+4與圓(x-a)2+(y-3)2=8一定相切,故“a=3”

22、是“直線y=x+4與圓(x-a)2+(y-3)2=8相切”的充分不必要條件. 2. (xx·重慶)對任意的實數(shù)k,直線y=kx+1與圓x2+y2=2的位置關(guān)系一定是 (  ) A.相離 B.相切 C.相交但直線不過圓心 D.相交且直線過圓心 答案 C 解析 ∵x2+y2=2的圓心(0,0)到直線y=kx+1的距離 d==≤1, 又∵r=,∴0

23、斜角為60°的直線方程為x-y=0,圓x2+(y-2)2=4的圓心(0,2)到直線的距離為d==1,因此弦長為2=2=2. 4. 直線y=kx+3與圓(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N兩點,若|MN|≥2,則k的取值范圍是 (  ) A. B. C. D. 答案 B 解析 如圖,若|MN|=2,則由圓與直線的位置關(guān)系可知圓心到 直線的距離滿足d2=22-()2=1. ∵直線方程為y=kx+3, ∴d==1, 解得k=±. 若|MN|≥2,則-≤k≤. 二、填空題(每小題5分,共15分) 5. 設(shè)直線ax-y

24、+3=0與圓(x-1)2+(y-2)2=4相交于A、B兩點,且弦AB的長為2,則a=________. 答案 0 解析 d=,由已知條件d2+3=4, 即d=1,=1,解得a=0. 6. 若圓x2+y2=4與圓x2+y2+2ay-6=0 (a>0)的公共弦長為2,則a=________. 答案 1 解析 方程x2+y2+2ay-6=0與x2+y2=4. 相減得2ay=2,則y=.由已知條件=, 即a=1. 7. (xx·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,若直線y=kx-2上至少存在一點,使得以該點為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點,則k的

25、最大值是________. 答案  解析 圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)2+y2=1,圓心為(4,0). 由題意知(4,0)到kx-y-2=0的距離應(yīng)不大于2, 即≤2.整理,得3k2-4k≤0.解得0≤k≤. 故k的最大值是. 三、解答題(共22分) 8. (10分)求過點P(4,-1)且與圓C:x2+y2+2x-6y+5=0切于點M(1,2)的圓的方程. 解 設(shè)所求圓的圓心為A(m,n),半徑為r, 則A,M,C三點共線,且有|MA|=|AP|=r, 因為圓C:x2+y2+2x-6y+5=0的圓心為C(-1,3), 則, 解得m=3,n=1,r=, 所以所求圓的方程為

26、(x-3)2+(y-1)2=5. 9. (12分)已知點A(1,a),圓x2+y2=4. (1)若過點A的圓的切線只有一條,求a的值及切線方程; (2)若過點A且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線與圓相切,求a的值及切線方程. 解 (1)由于過點A的圓的切線只有一條,則點A在圓上,故12+a2=4,∴a=±. 當(dāng)a=時,A(1,),切線方程為x+y-4=0; 當(dāng)a=-時,A(1,-),切線方程為x-y-4=0, ∴a=時,切線方程為x+y-4=0, a=-時,切線方程為x-y-4=0. (2)設(shè)直線方程為x+y=b,由于直線過點A,∴1+a=b, ∴直線方程為x+y=1+a,即x+

27、y-a-1=0. 又直線與圓相切,∴d==2,∴a=±2-1. ∴切線方程為x+y+2=0或x+y-2=0. B組 專項能力提升 (時間:25分鐘,滿分:43分) 一、選擇題(每小題5分,共15分) 1. (xx·天津)設(shè)m,n∈R,若直線(m+1)x+(n+1)y-2=0與圓(x-1)2+(y-1)2=1相切,則m+n的取值范圍是 (  ) A.[1-,1+] B.(-∞,1-]∪[1+,+∞) C.[2-2,2+2] D.(-∞,2-2]∪[2+2,+∞) 答案 D 解析 圓心(1,1)到直線(m+1)x+(n+1)y-2=0的距離為=1

28、, 所以m+n+1=mn≤(m+n)2, 所以m+n≥2+2或m+n≤2-2. 2. (xx·江西)若曲線C1:x2+y2-2x=0與曲線C2:y(y-mx-m)=0有四個不同的交點,則實數(shù)m的取值范圍是 (  ) A.(-,) B.(-,0)∪(0,) C.[-,] D.(-∞,-)∪(,+∞) 答案 B 解析 C1:(x-1)2+y2=1, C2:y=0或y=mx+m=m(x+1). 當(dāng)m=0時,C2:y=0,此時C1與C2顯然只有兩個交點; 當(dāng)m≠0時,要滿足題意,需圓(x-1)2+y2=1與直線y=m(x+1)

29、有兩交點,當(dāng)圓與直線相切時,m=±,即直線處于兩切線之間時滿足題意,則-

30、+(1-x)2=x2的兩個根, 整理得x2-10x+17=0,∴a+b=10,ab=17. ∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32, ∴|C1C2|===8. 二、填空題(每小題5分,共15分) 4. 若過點A(a,a)可作圓x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的兩條切線,則實數(shù)a的取值范圍為______________. 答案 (-∞,-3)∪ 解析 圓方程可化為(x-a)2+y2=3-2a, 由已知可得,解得a<-3或1

31、_________. 答案 (0,) 解析 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+y2=9,令x=0得圓與y軸的兩個交點為(0,±),如圖,直線kAM=.若過定點M(-1,0)且斜率為k的直線與圓x2+4x+y2-5=0在第一象限內(nèi)的部分有交點,則k的取值范圍是0

32、直線l1:x+2y+7=0相切.過 點B(-2,0)的動直線l與圓A相交于M,N兩點,Q是MN的中點. (1)求圓A的方程; (2)當(dāng)|MN|=2時,求直線l的方程. 解 (1)設(shè)圓A的半徑為R, 由于圓A與直線l1:x+2y+7=0相切, ∴R==2. ∴圓A的方程為(x+1)2+(y-2)2=20. (2)①當(dāng)直線l與x軸垂直時,易知x=-2符合題意; ②當(dāng)直線l與x軸不垂直時,設(shè)直線l的方程為y=k(x+2), 即kx-y+2k=0. 連接AQ,則AQ⊥MN. ∵|MN|=2, ∴|AQ|==1, 則由|AQ|==1,得k=, ∴直線l:3x-4y+6=0. 故直線l的方程為x=-2或3x-4y+6=0.

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