5、2×(－4)－2＋m]<0，
即(m＋5)(m－10)<0，∴－50
解析 平面區(qū)域的邊界線方程為＋＝1，
即x＋y－1＝0.所以平面區(qū)域滿足不等式是
x＋y－1>0.
3． 完成一項(xiàng)裝修工程需要木工和瓦工共同完成．請木工需付工資每人50元，請瓦工需付工資每人40元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算2 000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則請工人的約束條件是________________．
答案
4． (xx·課標(biāo)全國)設(shè)x，y滿足約束條件則z＝x－2y的取值范圍為
_______
6、_．
答案 [－3,3]
解析 作出不等式組的可行域，如圖陰影部分所示，
作直線x－2y＝0，并向左上，右下平移，當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，z＝x－2y取最大值；當(dāng)直線過點(diǎn)B時(shí)，z＝x－2y取最小值．
由得B(1,2)，由得A(3,0)．
∴zmax＝3－2×0＝3，zmin＝1－2×2＝－3，∴z∈[－3,3]．
5． (xx·四川)某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元．公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗A、B原料都不超過12千克．通過
7、合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是 ( )
A．1 800 元 B．2 400 元
C．2 800 元 D．3 100 元
答案 C
解析 設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x桶，乙產(chǎn)品y桶，每天利潤為z元，
則z＝300x＋400y.
作出可行域，如圖陰影部分所示．
作直線300x＋400y＝0，向右上平移，過點(diǎn)A時(shí)，
z＝300x＋400y取最大值，
由得
∴A(4,4)，
∴zmax＝300×4＋400×4＝2 800.
題型一 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域
例1 若不等式組所表示的平面區(qū)域被
8、直線y＝kx＋分為面積相等的兩部分，則k的值是 ( )
A. B. C. D.
思維啟迪：畫出平面區(qū)域，顯然點(diǎn)在已知的平面區(qū)域內(nèi)，直線系過定點(diǎn)，結(jié)合圖形尋找直線平分平面區(qū)域面積的條件即可．
答案 A
解析 不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示．
由于直線y＝kx＋過定點(diǎn).因此只有直線過AB中點(diǎn)時(shí)，直線y＝kx＋能平分平面區(qū)域．
因?yàn)锳(1,1)，B(0,4)，所以AB中點(diǎn)D.
當(dāng)y＝kx＋過點(diǎn)時(shí)，＝＋，
所以k＝.
探究提高 不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域點(diǎn)集的交集，畫出圖形后，面積關(guān)系可結(jié)合平面知識探求．
9、
已知關(guān)于x，y的不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為4，則k的值為 ( )
A．1 B．－3
C．1或－3 D．0
答案 A
解析 其中平面區(qū)域kx－y＋2≥0是含有坐標(biāo)原點(diǎn)的半平面．直線kx
－y＋2＝0又過定點(diǎn)(0,2)，這樣就可以根據(jù)平面區(qū)域的面積為4，確定
一個(gè)封閉的區(qū)域，作出平面區(qū)域即可求解．
平面區(qū)域如圖所示，根據(jù)平面區(qū)域面積為4，得A(2,4)，代入直線方程，
得k＝1.
題型二 求線性目標(biāo)函數(shù)的最值
例2 已知x，y滿足條件，求4x－3y的最大值和最小值．
思維啟迪：目標(biāo)函數(shù)z＝4x－3y是直線形式，
10、可通過平行移動，求最值．
解 不等式組表示的區(qū)域如圖所示．
可觀察出4x－3y在A點(diǎn)取到最大值，在B點(diǎn)取到最小值．
解方程組
，
得，
則A(－1，－6)．
解方程組，得.
則B(－3,2)，因此4x－3y的最大值和最小值分別為14，－18.
探究提高 (1)線性目標(biāo)函數(shù)的最大(小)值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得，也可能在邊界處取得．
(2)求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，明確和直線的縱截距的關(guān)系．
(xx·廣東)已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定．若M(x，y)為D上的動點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，1)，則z＝·的最大值為
11、 ( )
A．3 B．4 C．3 D．4
答案 B
解析 由線性約束條件
畫出可行域如圖陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)z＝·＝x＋y，將其化為y＝－x＋z，結(jié)合圖形可知，目標(biāo)函數(shù)的圖象過點(diǎn)(，2)時(shí)，z最大，將點(diǎn)(，2)的坐標(biāo)代入z＝x＋y得z的最大值為4.
題型三 線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用
例3 某公司計(jì)劃在甲、乙兩個(gè)電視臺做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過9萬元．甲、乙電視臺的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘．假定甲、乙兩個(gè)電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．問該
12、公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？
思維啟迪：根據(jù)線性規(guī)劃解決實(shí)際問題，要先用字母表示變量，找出各量的關(guān)系列出約束條件，設(shè)出目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題．
解 設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元，由題意得
目標(biāo)函數(shù)為z＝3 000x＋2 000y.
二元一次不等式組等價(jià)于
作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，
即可行域，如圖：
作直線l：3 000x＋2 000y＝0，
即3x＋2y＝0.
平移直線l，從圖中可知，當(dāng)直線l過M點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值．
聯(lián)立
解得x＝100，y＝
13、200.
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(100,200)，
∴zmax＝3 000x＋2 000y＝700 000(元)．
即該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元．
探究提高 解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟是：(1)分析題意，設(shè)出未知量；(2)列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù)；(3)作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解；(4)作答．
(1)(xx·江西)某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表
年產(chǎn)量/畝
年種植成本/畝
每噸售價(jià)
黃瓜
4噸
1.2萬元
0.5
14、5萬元
韭菜
6噸
0.9萬元
0.3萬元
為使一年的種植總利潤(總利潤＝總銷售收入－總種植成本)最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位：畝)分別為 ( )
A．50,0 B．30,20
C．20,30 D．0,50
(2)如果點(diǎn)P在平面區(qū)域上，點(diǎn)Q在曲線x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值為 ( )
A. B.－1
C．2－1 D.－1
答案 (1)B (2)A
解析 (1)設(shè)種植黃瓜x畝，韭菜y畝，則由題意可知求目標(biāo)函數(shù)z＝x＋0.9y的最大值
15、，根據(jù)題意畫可行域如圖陰影所示．
當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線l向右平移，移至點(diǎn)A(30,20)處時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，即當(dāng)黃瓜種植30畝，韭菜種植20畝時(shí)，種植總利潤最大．
(2)如圖，當(dāng)P取點(diǎn)，Q取點(diǎn)(0，－1)時(shí)，|PQ|有最小值為.
利用線性規(guī)劃思想求解非線性目標(biāo)函數(shù)的最值
典例：(12分)變量x、y滿足，
(1)設(shè)z＝，求z的最小值；
(2)設(shè)z＝x2＋y2，求z的取值范圍；
(3)設(shè)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范圍．
審題視角 (x，y)是可行域內(nèi)的點(diǎn)．(1)z＝可以理解為點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(0,0)連線的斜率．(2)x2＋y2可以理解為點(diǎn)(x，
16、y)與點(diǎn)(0,0)連線距離的平方．(3)x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2可以理解為點(diǎn)(x，y)與(－3,2)的距離的平方．結(jié)合圖形確定最值．
規(guī)范解答
解 由約束條件，作出(x，y)的可行域如圖所示．
由，
解得A.
由，解得C(1,1)．
由，解得B(5,2)．[4分]
(1)∵z＝＝.
∴z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率．
觀察圖形可知zmin＝kOB＝.[6分]
(2)z＝x2＋y2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方．結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中，
dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝.∴2≤z≤29.[9
17、分]
(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到點(diǎn)(－3,2)的距離的平方．結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到(－3,2)的距離中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝＝8.
∴16≤z≤64.[12分]
溫馨提醒 (1)本題是線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用，考查的是非線性目標(biāo)函數(shù)的最值的求法．
(2)解決這類問題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，給目標(biāo)函數(shù)賦于一定的幾何意義．
(3)本題錯誤率較高．出錯原因是，很多學(xué)生無從入手，缺乏數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用意識，不知道從其幾何意義入手解題．
方法與技巧
1．平面區(qū)域的畫法：線定界、點(diǎn)定域(注意實(shí)虛線)．
18、
2．求最值：求二元一次函數(shù)z＝ax＋by (ab≠0)的最值，將函數(shù)z＝ax＋by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：y＝－x＋，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值．最優(yōu)解在頂點(diǎn)或邊界取得．
3．解線性規(guī)劃應(yīng)用題，可先找出各變量之間的關(guān)系，最好列成表格，然后用字母表示變量，列出線性約束條件；寫出要研究的函數(shù)，轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題．
失誤與防范
1．畫出平面區(qū)域．避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標(biāo)準(zhǔn)化．
2．在通過求直線的截距的最值間接求出z的最值時(shí)，要注意：當(dāng)b>0時(shí)，截距取最大值時(shí)，z也取最大值；截距取最小值時(shí)，z也取最小值；當(dāng)b<0時(shí)，截距取最大值時(shí)，z取最小值；截距取最小值時(shí)，z
19、取最大值．
A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練
(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1． 設(shè)A＝{(x，y)|x，y,1－x－y是三角形的三邊長}，則A所表示的平面區(qū)域(不含邊界的陰影部分)是 ( )
答案 A
解析 由已知得即
2． (xx·湖北)直線2x＋y－10＝0與不等式組表示的平面區(qū)域的公共點(diǎn)有
( )
A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．無數(shù)個(gè)
答案 B
解析 在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出直線2x＋y－10＝0與不等式組表示的平面區(qū)域，易知直線與
20、此區(qū)域的公共點(diǎn)有1個(gè)．
3． (xx·山東)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝3x－y的取值范圍是 ( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 作出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分所示，作直線3x－y＝0，并向左上、右下平移．
由圖可得，當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，z＝3x－y取最大值；當(dāng)直線過點(diǎn)B時(shí)，z＝3x－y取最小值．
由解得A(2,0)；
由 解得B.
∴zmax＝3×2－0＝6，zmin＝3×－3＝－.
∴z＝3x－y的取值范圍是.
4． 某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品，由乙車間加工出B
21、產(chǎn)品，甲車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)10小時(shí)可加工出7千克A產(chǎn)品，每千克A產(chǎn)品獲利40元，乙車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)6小時(shí)可加工出4千克B產(chǎn)品，每千克B產(chǎn)品獲利50元．甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費(fèi)工時(shí)總和不得超過480小時(shí)，甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計(jì)劃為 ( )
A．甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱
B．甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱
C．甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱
D．甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱
答案 B
解析 設(shè)甲車間加工原料x箱，
乙車間加工原料y箱，
則
22、
目標(biāo)函數(shù)z＝280x＋200y，
結(jié)合圖象可得：當(dāng)x＝15，y＝55時(shí)，z最大．
二、填空題(每小題5分，共15分)
5． (xx·陜西)如圖，點(diǎn)(x，y)在四邊形ABCD內(nèi)部和邊界上運(yùn)動，那么2x－y的最小值為________．
答案 1
解析 令b＝2x－y，則y＝2x－b，如圖所示，作斜率為2的平行線y＝2x－b，
當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，為－b，此時(shí)b＝2x－y取得最小值，為b＝2×1－1＝1.
6． (xx·課標(biāo)全國)若變量x，y滿足約束條件則z＝x＋2y的最小值為________．
答案?。?
解析 作出不等式表示的可行域如圖(陰影部分)．
23、易知直線z＝x＋2y過點(diǎn)B時(shí)，z有最小值．
由得
所以zmin＝4＋2×(－5)＝－6.
7． 某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸．銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元、每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元，該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸、B原料不超過18噸，那么該企業(yè)可獲得的最大利潤是________萬元．
答案 27
解析 設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸、乙產(chǎn)品y噸，
則獲得的利潤為z＝5x＋3y.
由題意得
可行域如圖陰影所示．
由圖可知當(dāng)x、y在A點(diǎn)取值時(shí)，z取得最大值，此時(shí)x＝3，y＝4，z＝5×3＋3×
24、4＝27(萬元)．
三、解答題(共22分)
8． (10分)畫出2x－3
25、盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%.若投資人計(jì)劃投資金額不超過10萬元，要求確保可能的資金虧損不超過1.8萬元，問投資人對甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？
解 設(shè)投資人分別用x萬元、y萬元投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，
由題意知目標(biāo)函數(shù)z＝x＋0.5y.
上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，陰影部分(含邊界)即為可行域．
將z＝x＋0.5y變形為y＝－2x＋2z，這是斜率為－2、隨z變化的一組平行線，當(dāng)直線y＝－2x＋2z經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)M時(shí)，直線y＝－2x＋2z在y軸上的截距2z最大，z也最大．
這里M點(diǎn)是直線x＋y＝10和0.3x＋0
26、.1y＝1.8的交點(diǎn)．
解方程組 得x＝4，y＝6，
此時(shí)z＝4＋0.5×6＝7(萬元)．
∵7>0，∴當(dāng)x＝4，y＝6時(shí)，z取得最大值，
所以投資人用4萬元投資甲項(xiàng)目、6萬元投資乙項(xiàng)目，才能在確保虧損不超過1.8萬元的前提下，使可能的盈利最大．
B組 專項(xiàng)能力提升
(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)
一、選擇題(每小題5分，共15分)
1． (xx·福建)若函數(shù)y＝2x圖象上存在點(diǎn)(x，y)滿足約束條件則實(shí)數(shù)m的最大值為 ( )
A．－ B．1 C. D．2
答案 B
解析 在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝2x的圖
27、象及
所表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示．
由圖可知，當(dāng)m≤1時(shí)，
函數(shù)y＝2x的圖象上存在點(diǎn)(x，y)滿足約束條件，
故m的最大值為1.
2． (xx·課標(biāo)全國)已知正三角形ABC的頂點(diǎn)A(1,1)，B(1,3)，頂點(diǎn)C在第一象限，若點(diǎn)(x，y)在△ABC內(nèi)部，則z＝－x＋y的取值范圍是 ( )
A．(1－，2) B．(0,2)
C．(－1,2) D．(0,1＋)
答案 A
解析 如圖，
根據(jù)題意得C(1＋，2)．
作直線－x＋y＝0，并向左上或右下平移，過點(diǎn)B(1,3)和C(1＋，2)時(shí)，z＝－x＋y取范圍的邊界值，即－
28、(1＋)＋2
29、析 在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出題中的不等式表示的平面區(qū)域及直線2x－y＝0，平移該直線，當(dāng)平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(2，－1)時(shí)，相應(yīng)直線在x軸上的截距最大，此時(shí)z＝2x－y取得最大值，最大值是z＝2×2－(－1)＝5.
5． 已知變量x，y滿足條件若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y(其中a>0)僅在點(diǎn)(3,0)處取得最大值，則a的取值范圍是__________．
答案
解析
畫出x、y滿足條件的可行域如圖所示，要使目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y僅在點(diǎn)(3,0)處取得最大值，則直線y＝－ax＋z的斜率應(yīng)小于直線x＋2y－3＝0的斜率，即－a<－，∴a>.
6． (xx·湖北改編)已知向量a＝(x＋z,3)
30、，b＝(2，y－z)，且a⊥b.若x，y滿足不等式|x|＋|y|≤1，則z的取值范圍為__________．
答案 [－3,3]
解析 ∵a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，
∴a·b＝2(x＋z)＋3(y－z)＝0，
即2x＋3y－z＝0.又|x|＋|y|≤1表示的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，
∴當(dāng)2x＋3y－z＝0過點(diǎn)B(0，－1)時(shí)，zmin＝－3，當(dāng)2x＋3y－z＝0過點(diǎn)A(0,1)時(shí)，zmin＝3.
∴z∈[－3,3]．
三、解答題
7． (13分)某營養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)訂午餐和晚餐．已知一個(gè)單位的午餐含12個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和6個(gè)單位
31、的維生素C；一個(gè)單位的晚餐含8個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個(gè)單位的碳水化合物，42個(gè)單位的蛋白質(zhì)和54個(gè)單位的維生素C.如果一個(gè)單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費(fèi)最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個(gè)單位的午餐和晚餐？
解
設(shè)需要預(yù)訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x個(gè)單位和y個(gè)單位，所花的費(fèi)用為z元，則依題意得：z＝2.5x＋4y，且x，y滿足
即
畫出可行域如圖所示．
讓目標(biāo)函數(shù)表示的直線2.5x＋4y＝z在可行域上平移，
2．5x＋4y在(4,3)處取得最小值，由此可知z＝22.
因此，應(yīng)當(dāng)為該兒童預(yù)訂4個(gè)單位的午餐和3個(gè)單位的晚餐，就可滿足要求．
2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 7.3二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題教案 理 新人教A版
