2022年高三數(shù)學總復習 平面與平面垂直教案 理

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1、2022年高三數(shù)學總復習 平面與平面垂直教案 理 教材分析 兩個平面垂直的判定定理及性質定理是平面與平面位置關系的重要內容．通過這節(jié)的學習可以發(fā)現(xiàn)：直線與直線垂直、直線與平面垂直及平面與平面垂直的判定和性質定理形成了一套完整的證明體系，而且可以實現(xiàn)利用低維位置關系推導高維位置關系，利用高維位置關系也能推導低維位置關系，充分體現(xiàn)了轉化思想在立體幾何中的重要地位．這節(jié)課的重點是判定定理及性質定理，難點是定理的發(fā)現(xiàn)及證明． 教學目標 1. 掌握兩平面垂直的有關概念，以及兩個平面垂直的判定定理和性質定理，能運用概念和定理進行有關計算與證明． 2. 培養(yǎng)學生的空間想象能力，邏輯思維能力，知識遷

2、移能力，運用數(shù)學知識和數(shù)學方法觀察、研究現(xiàn)實現(xiàn)象的能力，整理知識、解決問題的能力． 3. 通過對實際問題的分析和探究，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生認真參與、積極交流的主體意識和樂于探索、勇于創(chuàng)新的科學精神． 任務分析 判定定理證明的難點是畫輔助線．為了突破這一難點，可引導學生這樣分析：在沒有得到判定定理時，只有根據(jù)兩平面互相垂直的定義來證明，那么，哪個平面與這兩個平面都垂直呢？對性質定理的引入，不是采取平鋪直敘，而是根據(jù)數(shù)學定理的教學是由發(fā)現(xiàn)與論證這兩個過程組成的，所以應把“引出命題”和“猜想”作為本部分的重要活動內容． 教學設計 一、問題情境 1. 建筑工人在砌墻時，常用一根鉛垂

3、的線吊在墻角上，這是為什么？（為了使墻面與地面垂直） 2. 什么叫兩個平面垂直？怎樣判定兩平面垂直，兩平面垂直有哪些性質？ 二、建立模型 如圖19-1，兩個平面α，β相交，交線為CD，在CD上任取一點B，過點B分別在α，β內作直線BA和BE，使BA⊥CD，BE⊥CD．于是，直線CD⊥平面ABE． 容易看到，∠ABE為直角時，給我們兩平面垂直的印象，于是有定義： 如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，并且這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直，就稱這兩個平面互相垂直． 平面α，β互相垂直，記作α⊥β． ［問　題］ 1. 建筑工人在砌墻時，鉛垂線在墻面內，墻面與地面

4、就垂直嗎？ 如圖19-1，只要α經過β的垂線BA，則BA⊥β，∴BA⊥BE，∠ABE＝Rt∠．依定義，知α⊥β．于是，有判定定理： 定理　如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，則兩個平面互相垂直． 2. 如果交換判定定理中的條件“BA⊥β”和結論“α⊥β”．即，也就是從平面與平面垂直出發(fā)，能否推出直線與平面垂直？ 平面α內滿足什么條件的直線才能垂直于平面β呢？讓學生用教科書、桌面、筆擺模型．通過模型發(fā)現(xiàn)：當α⊥β時，只有在一個平面（如α）內，垂直于兩平面交線的直線（如BA）才會垂直于另一個平面（如β）． 于是，有定理： 定理　如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直

5、線垂直于另一個平面． （先分析命題的條件和結論，然后畫出圖形，再結合圖形，寫出已知，求證） 已知：如圖，α⊥β，α∩β＝CD，ABα，AB⊥CD，求證：AB⊥β． 分析：要證AB⊥β，只需在β內再找一條直線與ＡＢ 垂直，但β內沒有這樣的直線，如何作出這條直線呢？因為α⊥β，所以可根據(jù)二面角的定義作出這個二面角的平面角．在平面β內過點B作BE⊥CD．因為AB⊥CD，所以∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，并且∠ABE＝90°，即AB⊥BE．又因為CDβ，BEβ，所以AB⊥β． 三、解釋應用 ［例　題］ 1. 已知：如圖，平面α⊥平面β，在α與β的交線上取線段AB＝4cm，AC，

6、BD分別在平面α和平面β內，它們都垂直于交線AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，求CD長． 解：連接BC． 因為AC⊥AB， 所以AC⊥β，AC⊥BD． 因為BD⊥AB， 所以BD⊥α，BD⊥BC． 所以，△CBD是直角三角形． 在Rt△BAC中，BC＝＝5（cm）， 在Rt△CBD中，CD＝＝13（cm）． 2. 已知：在Rt△ABC中，AB＝AC＝ａ，AD是斜邊BC的高，以AD為折痕使∠BDC折成直角（如圖19-4）． 求證：（1）平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC． （2）∠BAC＝60°． 證明：（1）如圖19-4（2）， 因為AD⊥B

7、D，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC． 因為平面ABD和平面ACD都過AD， 所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC． （2）如圖19-4（1），在Rt△BAC中， 因為AB＝AC＝ａ， 所以BC＝ａ，BD＝DC＝． 如圖19-4（2），△BDC是等腰直角三角形， 所以BC＝BD＝2×＝ａ． 得AB＝AC＝BC．所以∠BAC＝60°． ［練　習］ 1. 如圖19-5，有一個正三棱錐體的零件，P是側面ACD上一點．問：如何在面ACD上過點P畫一條與棱AB垂直的線段？試說明理由． 2. 已知：如圖19-6，在空間四邊形ABCD中，AC＝AD，BC＝BD，E是CD 的中點． 求證：（1）平面ABE⊥平面BCD．（2）平面ABE⊥平面ACD． 四、拓展延伸 能否將平面幾何中的勾股定理推廣到立體幾何學中去？試寫一篇研究性的小論文． 點　評 這篇案例結構完整，構思新穎．案例開始以一個生活中常見的例子引入問題，得到了兩平面垂直的定義．還是這個例子，改變了問法又得到了兩平面垂直的判定定理．即把學科理論和學生的生活實際相結合，激起了學生探索問題的熱情．對性質定理和判定定理的引入和證明也不是平鋪直敘，而是充分展現(xiàn)了定理的發(fā)現(xiàn)和形成過程．通過學生的認真參與，師生之間的民主交流，培養(yǎng)了學生的主體意識和樂于探索、勇于創(chuàng)新的科學精神．