2022年高中數(shù)學(xué) 圓錐曲線中的方法與運(yùn)算教案 新人教A版選修1

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 圓錐曲線中的方法與運(yùn)算教案 新人教A版選修1 1. (與名師對(duì)話第51練) 已知拋物線,點(diǎn), 問(wèn)是否存在過(guò)點(diǎn)的直線, 使拋物線上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,如果存在, 求出直線的斜率的取值范圍; 如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 分析: 這是一個(gè)求變量(斜率)的取值范圍問(wèn)題, 我們必須給出與變量(斜率)相關(guān)的變量(根據(jù)題設(shè)尋找)的關(guān)系式(組), 顯然,這個(gè)關(guān)系式(組)應(yīng)由按題設(shè)揭示出的幾何條件轉(zhuǎn)換得到. 我們由題設(shè)揭示出的幾何條件是: 拋物線上關(guān)于直線對(duì)稱的不同的兩點(diǎn)所在直線必須與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),并且交點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)在直線上. 相應(yīng)得到一個(gè)不等式和一個(gè)等

2、式組成的變量關(guān)系式(組). 解這個(gè)關(guān)于式組即可得變量的取值范圍. 解: 設(shè)直線的方程為,若,則結(jié)論顯然成立,即可取.若, 則直線PQ的方程為, 由方程組 可得,. ∵ 直線PQ與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn), ∴ 即 . 設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為G(), 則, ∴ , ∵ 點(diǎn)G()在直線上, ∴ =, 由 可得, , ∴ , () , ∴ 或. 綜上所述, 直線的斜率的取值范圍為. 2. (與名師對(duì)話第51練)已知橢圓, 點(diǎn)A是橢圓與軸的交點(diǎn), F為橢圓的右焦點(diǎn), 直線與 橢圓交于B,C兩點(diǎn). （1） 若點(diǎn)M滿足,求直線的方程; （2） 若,在上,且,

3、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡 方程. 分析: 題(1)是個(gè)定狀態(tài)的問(wèn)題: 由可知,點(diǎn)M是定點(diǎn),且由 是線段BC的中點(diǎn), 由此可求得直線BC即直線的方程. 解(1) 由橢圓可知A(0,4), F(2,0). ∵ , ∴ (2,0)-(0,4)=2[()-(2,0)], ∴ 即 M(3,-2). ∵ , ∴ 點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn), ∴ 直線BC即直線的斜率為. (可以有四中方法:①,②點(diǎn)差法,③設(shè)法,④設(shè)而不求法求得). ∴ 直線的方程為,即. 分析: 題(2)是一個(gè)動(dòng)狀態(tài)的問(wèn)題:①點(diǎn)D隨AB的變化而變化,從而點(diǎn)D的坐標(biāo)是刻畫直線AB的變化的量的參數(shù)(斜率)的函數(shù), ②可設(shè)BC的方程為(k

4、存在), 從而點(diǎn)M是直線AM(直線AD用參數(shù)k刻畫)與直線BC的交點(diǎn),在由是直角得參數(shù)k與b的關(guān)于式,消參數(shù)k與b即得點(diǎn)D的方程. 解法(一) 設(shè)直線AB的斜率為,則直線AC的斜率為. 直線AB的斜率為方程為,由方程組可得, ∴ , ， 同理得, . ∴ ， ∴ 直線BC的方程為, +， ，， . ∵ 直線AD的方程為, , ∴由與移項(xiàng)相乘消去可得, 即 . 說(shuō)明: 本解法用的是參數(shù)法中的特殊方法--------交軌法. 解法(二): 設(shè)直線的方程為, 則直線AD的方程為. (顯然由方程和方程消去和即可得點(diǎn)D的軌跡方程, 這里 我們必須給出和的關(guān)系式,將這一幾

5、何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式即可得和的關(guān)系式) 由方程組可得,, 設(shè), 則. ∵ , ∴ , ∴ , , , +化簡(jiǎn)得,. 解得,(舍去)或. ∴ 方程即為, 由方程和方程消去得, , 即 . 3. (與名師對(duì)話第51練)已知直線過(guò)點(diǎn)(1,0),且與拋物線交于兩點(diǎn), 為原點(diǎn),點(diǎn) 在軸的右側(cè)且滿足:. （1）求點(diǎn)的軌跡C的方程; （2） 若曲線的切線的斜率為,滿足:,點(diǎn)到軸的 距離為,求的取值范圍. 分析：由可知，點(diǎn)的軌跡C就是弦AB的中點(diǎn)的軌跡. 解(1) 顯然直線的斜率存在,設(shè)為,則直線的方程為: ,由方程組消去整理得,設(shè), , ∴

6、, , 消去得點(diǎn)的軌跡C的軌跡方程為: . ∵ , ∴ 或, ∵ 點(diǎn)在軸的右側(cè), ∴ ,故點(diǎn)的軌跡C為拋物線上的一段弧. 分析: 點(diǎn)到軸的距離為就是點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值.因?yàn)榍€的切線的斜率為,所以=,由知,,由此可知,我們必須建立點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值關(guān)于的關(guān)系. 解(2): 設(shè), 則由可知,=[], ∴, , ∴ , , ∴ ∵ , ∴ , 方法(一) , (), ∴ , ∴ . 方法(二) , (), ∴ , , ∴ 且 ∴ . 4. (與名師對(duì)話第51練) 已知拋物線的方程為 ,過(guò)點(diǎn)且傾斜角 為(0<<)的直線交拋物線于兩

7、點(diǎn),且. （1）求的值; （2）若點(diǎn)分所成的比為,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式. 分析: 要求的值,必須給出關(guān)于的方程. 解(1): 設(shè)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為(0<<)的直線的方程為. 由方程組消去整理得, 則, ∵ , ∴ , . 分析: 由可知過(guò)點(diǎn)且傾斜角為(0<<)的直線為.先建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,再轉(zhuǎn)換為關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式. 解(2): ∵ 關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式, ∴ , , 由(1)可知, 由方程組可消去得,. ∵ 0<< , ∴ , 故==. 5. (與名師對(duì)話第51練) 已知方向向量為的直線過(guò)點(diǎn)(0,-2)和橢圓C: 的焦點(diǎn), 且橢圓C的中心關(guān)于直線的對(duì)

8、稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上. （1）求橢圓C的方程; （2）是否存在過(guò)點(diǎn)E(-2,0)的直線交橢圓C于,滿足: 為原點(diǎn)? 若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 6．(與名師對(duì)話第52練20) 橢圓C的方程為，F(xiàn)是它的左焦點(diǎn)，M是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1) 求的重心的軌跡方程; (2) 若的重心對(duì)原點(diǎn)和點(diǎn)P(-2,0)的張角最大, 求點(diǎn)的坐標(biāo). 解(1): 設(shè)點(diǎn) (y0) , M(x1,y1)由題設(shè)可知,F() 則, ∴ , ∴ 的重心的軌跡方程為 (). (2) 由(1)可知, 原點(diǎn)和點(diǎn)P(-2,0)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).下面證明當(dāng)點(diǎn)M與橢

9、圓的短軸的端點(diǎn)重合時(shí)張角最大. 方法(一) 用橢圓的定義 設(shè)橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離為、，則由橢圓的定義可知+=2. 在中, == == (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等于號(hào)成立) =0 ∴ 當(dāng),即點(diǎn)M與短軸的端點(diǎn)重合時(shí)張角最大, 最大角為,這時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,1)、（-1，-1）. 方法(二) 用橢圓的焦半徑公式 將橢圓平移到中心在原點(diǎn)的位置,這時(shí)橢圓的方程為,原張角就是在點(diǎn)P處的兩條焦半徑的夾角.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(),則= 當(dāng)時(shí),, 當(dāng)時(shí), , 故, 的最大值為,這時(shí)相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1),在橢圓的原位置相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,1). 7. (與名師對(duì)話

10、第52練21) 已知?jiǎng)狱c(diǎn)與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)的距 離之和為定值,且的最小值為. (1) 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程; (2) 若已知點(diǎn)(0,3),點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)的軌跡上,且,求實(shí) 數(shù)的取值范圍; (3) 若已知點(diǎn)(1,1), 點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)的軌跡上,且,求直線 的方程. 分析: 由題設(shè)可知, 動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為其焦點(diǎn) 的橢圓,因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程可以用待定系數(shù)法求得. 解(1): 由題設(shè)可知, 動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為其焦點(diǎn) 的橢圓,設(shè)其方程為 (). 可以證明(仿例6)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在橢圓的短軸的端點(diǎn)時(shí)的值最小,這時(shí), ∴ , . ∴ , ∴ 動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.

11、分析: 由可知, 點(diǎn)共線, 直線MN的變化可以用其斜率表示(直線的方程為這時(shí)要k作討論),也可以用表示(直線的方程為,這時(shí)不需要對(duì)作討論).下面用直線方程求解. 解法(一): 由可知, 點(diǎn)共線. 若直線MN的斜率不存在,則. 若直線MN的斜率存在,設(shè)直線MN的方程為則由方程組可得, , 設(shè),則. 又由可得, , ∴ , ∴ ∴ . ∵ , ∴ . ∴ , ∴ , 綜上所述, . 分析：用點(diǎn)的坐標(biāo)表示直線MN的變化. 解法(二): 由可知, 點(diǎn)共線. 設(shè),則,. ∵ , ∴ , , ∴ , . ∴ , , ∴ 或, 解得. 8. 拋物線C的方程為,

12、過(guò)拋物線C上一點(diǎn) ()作斜率 為的兩條直線分別交拋物線C于兩點(diǎn)(三點(diǎn)各不相同),且滿足. (1) 求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程; (2) 設(shè)直線上一點(diǎn)滿足:,證明線段的中點(diǎn)在軸上; (3)當(dāng)時(shí),若點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-1),求為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取值范圍. 分析: 將看作常量. 解(1): 拋物線C的方程為, 故拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(),準(zhǔn)線方程為. 分析: 從形式上看, 線段的中點(diǎn)坐標(biāo)與相關(guān),而實(shí)際上肯定橫坐標(biāo)可以消元為0. 解(2): 由題設(shè)可知,直線的方程為:,由方程組可得,,即, ∴ , 同理 , ∵ , ∴ , = ∵ , ∴ -,

13、∴ 線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為0, 即線段的中點(diǎn)在軸上. 分析: 解(3): 由題設(shè)和題(2)可知, 拋物線C的方程為, ,又,故, ∴ , ∴ ,, ∵ 為鈍角, 三點(diǎn)各不相同, ∴ 即有,, ∴ , ∴ , , ∴ . 9.已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在X軸上,一條經(jīng)過(guò)點(diǎn)且方向向量為的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),交X軸于點(diǎn),又. (1) 求直線的方程; (2) 求橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍. 解(1): 直線的方程為. 分析: “直線與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)”可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于的不等式, 向量等式 可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于的等式. 解(2): 由方程組可得.

14、 設(shè)設(shè), 則. 由可知, , ∴ ,, ∴ , ∴ ∵ , ∴ , ∴ ∴ . ∵ ∴ , ∴ , ∴ , , ∴ ,即橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍為. 10.自點(diǎn)向拋物線C:作切線AB,切點(diǎn)為,且點(diǎn)在第一象限,再過(guò)線 段AB的中點(diǎn)作直線與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)E,F,直線AE,AF分別交拋物線C于P,Q兩點(diǎn). (1) 求切線AB的方程及切點(diǎn)B的坐標(biāo); (2) 證明. 解(1): 設(shè)切點(diǎn)B的坐標(biāo)為,過(guò)點(diǎn)B的切線的方程為, ∵ 切線過(guò)點(diǎn), ∴ , , ∵ 點(diǎn)B在拋物線上, ∴ ,

15、 ∴ 切線AB的方程為, 切點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,1). 分析: 即證明∥. (2) 證明: 由(1)可知, 線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為,設(shè)直線的方程為, . 由方程組 可得, 故. . ∵ A,E,P三點(diǎn)共線, ∴ =, , 同理, ∴ = 由可知, . 11. 設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為A, P為雙曲線上異于點(diǎn)A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 從A引雙曲線的漸近線的兩條平行線與直線OP分別交于Q和R兩點(diǎn). (1) 證明:無(wú)論P(yáng)點(diǎn)在什么位置,總有(O為坐標(biāo)原點(diǎn)); (2) 若以O(shè)P為邊長(zhǎng)的正方形的面積等于雙曲線的實(shí),虛軸圍成的矩形的面積,求雙曲線的離心率的取值范圍. (1) 證明: 設(shè)直線OP的方程為, 直線AR的方程為, AQ的方程為. 由方程組 得 , ∴ =, 同理=, ∴ ==. 設(shè), 由方程組得, ∴ =. ∵ 直線OP過(guò)原點(diǎn), ∴ , ∴ . (2) 解: 由題設(shè)知, =, 又, ∴ , (恒成立)) 解得, ∴ .