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1、2022年高中數(shù)學(xué) 初高中銜接教程 第四講 三角形的“五心”練習(xí) 新人教版
一、知識(shí)歸納
1、重心：三角形的三條中線交點(diǎn)，它到頂點(diǎn)的距離等于它到對邊中點(diǎn)的距離的2倍，重心和三頂點(diǎn)的連線將△ABC的面積三等分，重心一定在三角形內(nèi)部。
2、外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它到各頂點(diǎn)的距離相等，銳角三角形的外心在三角形內(nèi)，直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)，鈍角三角形的外心在三角形外。
3、內(nèi)心：是三角形的三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等，內(nèi)心一定在三角形內(nèi)。
4、垂心：是三角形三條高的交點(diǎn)，垂心和三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，三條高的垂足組成六組四點(diǎn)共圓，銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)，直角三角形的
2、垂心為直角頂點(diǎn)，鈍角三角形的垂心在三角形外。
5、旁心：是三角形任意兩角的外角平分線和第三個(gè)角的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三角形的三邊距離相等，一定位于三角形外部。
二、例題解析
例1：在銳角△ABC中，內(nèi)角為A、B、C三邊為a、b、c，則內(nèi)心到三邊的距離之比為 ，重心到三邊的距離為 ，外心到三邊的距離之比為 ，垂心到三邊的距離之比為 。
A
F
B
D
C
E
H
例2：如圖，銳角△ABC的垂心為H，三條高的垂足分別為D、E、F，則H是△DEF的 ??；
A、垂心 B、重心
C、內(nèi)心 D、外心
3、
例3：如圖，D是△ABC的邊BC上任一點(diǎn)，點(diǎn)E、
A
B
C
E
G
F
M
D
N
F分別是△ABD和△ACD的重心連結(jié)EF交AD于G點(diǎn)，
則DG：GA＝ ??；
例4：設(shè)△ABC的重心為G，GA＝，，，則＝ ??；
例5：若H為△ABC的重心，AH＝BC，則∠BAC的度數(shù)是 ??；
A、45° B、30° C、30°或150° D、45°或135°
A
E
B
C
D
O
G
例6：已知平行四邊形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，AB＝10，AC
4、＝9，DE＝12，求平行四邊形ABCD的面積。
三、課堂練習(xí)
1、已知三角形的三邊長分別為5，12，13，則其垂心到外心的距離為 ，重心到垂心的距離為 ；
2、已知三角形的三邊長為5，12，13，則其內(nèi)切圓的半徑＝ ??；
3、在△ABC中，∠A是鈍角，O是垂心，AO＝BC，則cos（∠OBC+∠OCB）= ;
4、設(shè)G為△ABC的重心，且AG＝6，BG＝8，CG＝10，則△ABC的面積為 ?。?
5、若，那么以、、為三邊的△ABC的內(nèi)切圓，外接圓的半徑之和為 ?。?
A、 B、
C、 D、
6、△ABC的
5、重心為G，M在△ABC的平面內(nèi)，求證：
第四講 三角形的“五心”
例題解析答案
例1：解：答案依次為：
1：1：1； ??； ；
例2：解：內(nèi)心
例3：解：
例4：解：
例5：解：D
例6：分析：設(shè)AC交DE于G，可推出G為△ABD的重心，∠EGA＝90°，故可求出及S□ABCD。
解：設(shè)AC、BD交于G，連BD交AC于O（如圖）
由□ABCD知BO＝DO，OA＝OC而BE＝AE
故G為△ABD的重心
有，
而EA＝5，故,∠EGA＝90°，＝6
∴S□ABCD＝2＝72
課堂練習(xí)答案：
1、6.5， 2、2 3、 4、72 5、A 6、略
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