2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 12.3幾何概型教案 理 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 12.3幾何概型教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考　1.以小題形式考查與長度或面積有關(guān)的幾何概型；2.和平面幾何、函數(shù)、向量相結(jié)合考查幾何概型，題組以中低檔為主． 復(fù)習(xí)備考要這樣做　1.準確理解幾何概型的意義，會構(gòu)造度量區(qū)域；2.把握與古典概型的聯(lián)系和區(qū)別，加強與數(shù)學(xué)其他知識的綜合訓(xùn)練． 1． 幾何概型 如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型． 2． 幾何概型中，事件A的概率計算公式 P(A)＝. 3． 要切實理解并掌握幾何概型試驗的兩個基本特點 (1)無限

2、性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個； (2)等可能性：每個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性． [難點正本　疑點清源] 1． 幾何概型的試驗中，事件A的概率P(A)只與子區(qū)域A的幾何度量(長度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無關(guān)． 2． 求試驗中幾何概型的概率，關(guān)鍵是求得事件所占區(qū)域和整個區(qū)域Ω的幾何度量，然后代入公式即可求解． 3． 幾何概型的兩種類型 (1)線型幾何概型：當(dāng)基本事件只受一個連續(xù)的變量控制時． (2)面型幾何概型：當(dāng)基本事件受兩個連續(xù)的變量控制時，一般是把兩個變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決．

3、 1． 在區(qū)間[－1,2]上隨機取一個數(shù)x，則x∈[0，1]的概率為________． 答案　 解析　如圖，這是一個長度型的幾何概型題，所求概率P＝＝. 2． 點A為周長等于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上隨機取一點B，則劣弧的長度小于1的概率為________． 答案　 解析　如圖可設(shè)l＝1，則由幾何概型可知其整體事件是其周長3，則其概率是. 3． 已知直線y＝x＋b，b∈[－2,3]，則直線在y軸上的截距大于1的概率是________． 答案　 解析　區(qū)域D為區(qū)間[－2,3]，d為區(qū)間(1,3]，而兩個區(qū)間的長度分別為5,2.故所求概率P＝. 4． 一個路口的

4、紅綠燈，紅燈的時間為30秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為40秒，則某人到達路口時看見的是紅燈的概率是 (　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　以時間的長短進行度量，故P＝＝. 5． (xx·湖北)如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為 直徑作兩個半圓．在扇形OAB內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的 概率是 (　　) A．1－ B.－ C. D. 答案　A 解析　方法一　設(shè)分別以O(shè)A，OB為直徑的兩個半圓交于點C，OA的中點為D，如圖，連接OC，DC. 不妨令OA＝

5、OB＝2， 則OD＝DA＝DC＝1. 在以O(shè)A為直徑的半圓中，空白部分面積S1＝＋×1×1－＝1， 所以整體圖形中空白部分面積S2＝2. 又因為S扇形OAB＝×π×22＝π， 所以陰影部分面積為S3＝π－2. 所以P＝＝1－. 方法二　連接AB，由S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC可求出空白部分面積． 設(shè)分別以O(shè)A，OB為直徑的兩個半圓交于點C，令OA＝2. 由題意知C∈AB且S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC， 所以S空白＝S△OAB＝×2×2＝2. 又因為S扇形OAB＝×π×22＝π，所以S陰影＝π－2. 所以P＝＝＝1－. 題型一　與長度有關(guān)的幾何概型 例

6、1　在集合A＝{m|關(guān)于x的方程x2＋mx＋m＋1＝0無實根}中隨機地取一元素m，恰使式子lg m有意義的概率為________． 思維啟迪：通過轉(zhuǎn)化集合A和lg m有意義將問題轉(zhuǎn)化成幾何概型． 答案　 解析　由Δ＝m2－4<0得－10，即使lg m有意義的范圍是(0,4)， 故所求概率為P＝＝. 探究提高　解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考察對象和對象的活動范圍．當(dāng)考察對象為點，點的活動范圍在線段上時，用線段長度比計算；當(dāng)考察對象為線時，一般用角度比計算．事實上，當(dāng)半徑一定時，由于弧長之比等于其所對應(yīng)的圓心角的

7、度數(shù)之比，所以角度之比實際上是所對的弧長(曲線長)之比． 　在半徑為1的圓內(nèi)一條直徑上任取一點，過這個點作垂直于直徑的弦，則弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形邊長的概率是________． 答案　 解析　記事件A為“弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長”，如圖，不妨在過等邊三角形BCD的頂點B的直徑BE上任取一點F作垂直于直徑的弦，當(dāng)弦為CD時，就是等邊三角形的邊長(此時F為OE中點)，弦長大于CD的充要條件是圓心O到弦的距離小于OF，由幾何概型公式得： P(A)＝＝. 題型二　與面積有關(guān)的幾何概型 例2　設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0. (1)若a是從0,1,2,3四個數(shù)中任取

8、的一個數(shù)，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率； (2)若a是從區(qū)間[0,3]任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率． 思維啟迪：(1)為古典概型，利用列舉法求概率． (2)建立a－b平面直角坐標系，將問題轉(zhuǎn)化為與面積有關(guān)的幾何概型． 解　設(shè)事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實根”． 當(dāng)a≥0，b≥0時，方程x2＋2ax＋b2＝0有實根的充要條件為a≥b. (1)基本事件共有12個：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)

9、．其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值．事件A中包含9個基本事件，事件A發(fā)生的概率為P(A)＝＝. (2)試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，構(gòu)成事件A的區(qū)域為{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，所以所求的概率為P(A)＝＝. 探究提高　數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法．用圖解題的關(guān)鍵：用圖形準確表示出試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域，通用公式： P(A)＝. 　拋擲一個質(zhì)地均勻的、每個面上標有一個數(shù)字的正方體玩具，它的六個面中，有兩個面標的數(shù)字是0，

10、兩個面標的數(shù)字是2，兩個面標的數(shù)字是4，將此玩具連續(xù)拋擲兩次，以兩次朝上一面的數(shù)字分別作為點P的橫坐標和縱坐標． (1)求點P落在區(qū)域C：x2＋y2≤10內(nèi)的概率； (2)若以落在區(qū)域C上的所有點為頂點作面積最大的多邊形區(qū)域M，在區(qū)域C上隨機撒一粒豆子，求豆子落在區(qū)域M上的概率． 解　(1)以0、2、4為橫、縱坐標的點P共有(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)共9個，而這些點中，落在區(qū)域C內(nèi)的點有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4個， ∴所求概率為P＝. (2)∵區(qū)域M的面積為4，而區(qū)域C的面積為

11、10π， ∴所求概率為P＝＝. 題型三　與角度、體積有關(guān)的幾何概型 例3　如圖所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝， 在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，求BM<1的概率． 思維啟迪：根據(jù)“在∠BAC內(nèi)作射線AM”可知，本題的測度 是角度． 解　因為∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°， 在Rt△ABD中，AD＝，∠B＝60°， 所以BD＝＝1，∠BAD＝30°. 記事件N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，使BM<1”，則可得∠BAM<∠BAD時事件N發(fā)生． 由幾何概型的概率公式，得P(N)＝＝. 探究提高　幾何概型的關(guān)鍵是“測度”

12、，如本題條件若改成“在線段BC上找一點M”，則相應(yīng)的測度變成線段的長度． 　一只蜜蜂在一個棱長為30的正方體玻璃容器內(nèi)隨機飛行．若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體玻璃容器的6個表面的距離均大于10，則飛行是安全的，假設(shè)蜜蜂在正方體玻璃容器內(nèi)飛行到每一個位置的可能性相同，那么蜜蜂飛行是安全的概率為 (　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由題意，可知當(dāng)蜜蜂在棱長為10的正方體區(qū)域內(nèi)飛行時才是安全的，所以由幾何概型的概率計算公式，知蜜蜂飛行是安全的概率為＝. 轉(zhuǎn)化與化歸思想在概率中的應(yīng)用 典例：(12分)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，

13、y)． (1)若x∈{－1,0,1,2}，y∈{－1,0,1}，求向量a∥b的概率； (2)若x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，求向量a，b的夾角是鈍角的概率． 審題視角　(1)向量a∥b轉(zhuǎn)化為x＝2y，而x、y的值均為有限個，可以直接列出，轉(zhuǎn)化為古典概型問題；(2)和(1)中條件類似，但x、y的值有無窮多個，應(yīng)轉(zhuǎn)化為幾何概型問題． 規(guī)范解答 解　(1)設(shè)“a∥b”為事件A，由a∥b，得x＝2y. 基本事件空間為Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包

14、含12個基本事件；[3分] 其中A＝{(0,0)，(2,1)}，包含2個基本事件． 則P(A)＝＝，即向量a∥b的概率為.[5分] (2)設(shè)“a，b的夾角是鈍角”為事件B，由a，b的夾角是鈍角，可得a·b<0，即2x＋y<0，且x≠2y.[7分] 基本事件空間為 Ω＝， B＝， [10分] 則P(B)＝＝＝， 即向量a，b的夾角是鈍角的概率是.[12分] 溫馨提醒　(1)對含兩個變量控制的概率問題，若兩個變量取值有限個，可轉(zhuǎn)化為古典概型；若取值無窮多個，則可轉(zhuǎn)化為幾何概型問題． (2)本題錯誤的主要原因是不能將問題化歸為幾何概型問題，找不到問題的切入點．所以要注意體會和應(yīng)

15、用轉(zhuǎn)化與化歸思想在解決幾何概型中的作用. 方法與技巧 1． 區(qū)分古典概型和幾何概型最重要的是看基本事件的個數(shù)是有限個還是無限多個． 2． 轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 對一個具體問題，可以將其幾何化，如建立坐標系將試驗結(jié)果和點對應(yīng)，然后利用幾何概型概率公式． 失誤與防范 1． 準確把握幾何概型的“測度”是解題關(guān)鍵； 2． 幾何概型中，線段的端點、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果． A組　專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． (xx·遼寧)在長為12 cm的線段AB上任取一點C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB

16、的長，則該矩形面積小于32 cm2的概率為 (　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設(shè)AC＝x，CB＝12－x， 所以x(12－x)<32，解得x<4或x>8. 所以P＝＝. 2． (xx·北京)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是 (　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　如圖所示，正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的區(qū)域D，且區(qū)域D的面積為4，而陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標原點的距離大于2的區(qū)域．易知該陰影部分的面

17、積為4－π.因此滿足條件的概率是. 3． 點P在邊長為1的正方形ABCD內(nèi)部運動，則點P到頂點A的距離|PA|<1的概率為 (　　) A. B. C. D．π 答案　A 解析　由題意可知，點P到頂點A的距離|PA|<1的區(qū)域為以點A為圓心，以1為半徑的圓的四分之一，它對應(yīng)的面積為，所以所求概率為. 4． 在區(qū)間[－1,1]上隨機取一個數(shù)x，則sin 的值介于－與之間的概率為 (　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵－1≤x≤1，∴－≤≤. 由－≤sin ≤，得－≤≤， 即－≤x≤1.故所求事件的概率為＝. 二、

18、填空題(每小題5分，共15分) 5． 平面內(nèi)有一組平行線，且相鄰平行線間的距離為3 cm，把一枚半徑為1 cm的硬幣任意投擲在這個平面內(nèi)，則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率是________． 答案　 解析　如圖所示，當(dāng)硬幣中心落在陰影區(qū)域時，硬幣不與任何一條平行線相碰，故所求概率為. 6． 設(shè)p在[0,5]上隨機地取值，則方程x2＋px＋＋＝0有實根的概率為________． 答案　 解析　一元二次方程有實數(shù)根?Δ≥0，而Δ＝p2－4＝(p＋1)(p－2)，解得p≤－1或p≥2，故所求概率為P＝＝. 7． 在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機取兩個數(shù)分別記為a，b，則使得函數(shù)f(x)＝

19、x2＋2ax－b2＋π有零點的概率為________． 答案　 解析　根據(jù)函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點得4a2－4(π－b2)≥0，即a2＋b2≥π，建立如圖所示的平面直角坐標系，則試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為正方形ABCD及其內(nèi)部，使函數(shù)f(x)有零點的區(qū)域為圖中陰影部分，且S陰影＝4π2－π2＝3π2. 故所求概率為P＝＝＝. 三、解答題(共22分) 8． (10分)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，在正方體內(nèi)隨機取點M，求使四棱錐M－ABCD的體積小于的概率． 解　如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1.設(shè)M－ABCD的高為h， 則×SABCD×h

20、<， 又SABCD＝1，∴h<， 即點M在正方體的下半部分， ∴所求概率P＝＝. 9． (12分)已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1. 設(shè)點(a，b)是區(qū)域內(nèi)的隨機點，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率． 解　因為函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1的圖象的對稱軸為x＝，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a>0且≤1，即2b≤a. 依條件，可知試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為 . 構(gòu)成所求事件的區(qū)域為. 由得交點坐標為， 所以所求事件的概率為P＝＝. B組　專項能力提升 (時間：25分鐘，滿分：43分)

21、 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． 在區(qū)間[0,1]上任取兩個數(shù)a，b，則函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b2無零點的概率為 (　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　要使該函數(shù)無零點，只需a2－4b2<0，即(a＋2b)(a－2b)<0. ∵a，b∈[0,1]，a＋2b>0，∴a－2b<0. 作出的可行域， 易得該函數(shù)無零點的概率P＝＝. 2. 如圖所示，設(shè)M是半徑為R的圓周上一個定點，在圓周上等可能地任取一 點N，連接MN，則弦MN的長超過R的概率為 (　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　如圖

22、，在圓上過圓心O作與OM垂直的直徑CD，則MD＝MC ＝R，當(dāng)點N不在半圓弧上時，MN>R，故所求的概率 P(A)＝＝. 3． (xx·陜西)如圖所示是用模擬方法估計圓周率π值的程序框圖，P表示 估計結(jié)果，則圖中空白框內(nèi)應(yīng)填入 (　　) A．P＝ B．P＝ C．P＝ D．P＝ 答案　D 解析　∵xi，yi為0～1之間的隨機數(shù)，構(gòu)成以1為邊長的正方形面， 當(dāng)x＋y≤1時，點(xi，yi)均落在以原點為圓心，以1為半徑且在第一象限的圓內(nèi)，當(dāng)x＋y>1時對應(yīng)點落在陰影部分中(如圖所示)． ∴有＝，Nπ＝4M－Mπ， π(M＋N)＝4M

23、，π＝. 二、填空題(每小題5分，共15分) 4． 在區(qū)間[0,1]上隨意選擇兩個實數(shù)x，y，則使≤1成立的概率為________． 答案　 解析　D為直線x＝0，x＝1，y＝0，y＝1圍成的正方形區(qū)域，而由≤1，即x2＋y2≤1(x≥0，y≥0)知d為單位圓在第一象限內(nèi)部分(四分之一個圓)，故所求概率為＝. 5． (xx·江西)小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內(nèi)投擲一點，若此點到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書．則小波周末不在家看書的概率為________． 答案　 解析　∵去看電影的概率P1＝＝， 去打籃

24、球的概率P2＝＝， ∴不在家看書的概率為P＝＋＝. 6． 如圖所示，在單位圓O的某一直徑上隨機地取一點Q，則過點Q且 與該直徑垂直的弦長長度不超過1的概率是________． 答案　1－ 解析　弦長不超過1，即|OQ|≥，而Q點在直徑AB上是隨機的，事件A＝{弦長超過1}． 由幾何概型的概率公式得P(A)＝＝. ∴弦長不超過1的概率為1－P(A)＝1－. 三、解答題 7． (13分)設(shè)AB＝6，在線段AB上任取兩點(端點A、B除外)，將線段AB分成了三條線段， (1)若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率； (2)若分成的三條線段的長度均為正實數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率． 解　(1)若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，則三條線段的長度所有可能情況是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3種情況，其中只有三條線段長為2,2,2時，能構(gòu)成三角形，故構(gòu)成三角形的概率為P＝. (2)設(shè)其中兩條線段長度分別為x、y，則第三條線段長度為6－x－y，故全部試驗結(jié)果所 構(gòu)成的區(qū)域為 ，即， 所表示的平面區(qū)域為△OAB. 若三條線段x，y,6－x－y能構(gòu)成三角形， 則還要滿足， 即為， 所表示的平面區(qū)域為△DEF， 由幾何概型知，所求概率為P＝＝.