2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 第4講 基本不等式教學(xué)案 理 北師大版

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1、第4講　基本不等式 一、知識(shí)梳理 1．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0． (2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)． 2．幾個(gè)重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同號(hào))． (3)ab≤(a，b∈R)． (4)≥(a，b∈R)． 以上不等式等號(hào)成立的條件均為a＝b. 3．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)． 常用結(jié)論 已知x>0，y>0，則 (1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)

2、x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2.(簡(jiǎn)記：積定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是.(簡(jiǎn)記：和定積最大) 二、教材衍化 1．設(shè)x＞0，y＞0，且x＋y＝18，則xy的最大值為________． 解析：因?yàn)閤>0，y>0，所以≥，即xy≤＝81，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝9時(shí)，(xy)max＝81. 答案：81 2．若把總長(zhǎng)為20 m的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，則矩形場(chǎng)地的最大面積是________m2. 解析：設(shè)矩形的一邊為x m， 則另一邊為×(20－2x)＝(10－x)m， 所以y＝x(10－x)≤＝25， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝10－x，即x＝5時(shí)，ymax

3、＝25. 答案：25 一、思考辨析 判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)函數(shù)y＝x＋的最小值是2.(　　) (2)ab≤成立的條件是ab>0.(　　) (3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要條件．(　　) (4)若a>0，則a3＋的最小值是2.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、易錯(cuò)糾偏 (1)忽視基本不等式成立的條件； (2)基本不等式不會(huì)變形使用． 1． “x>0”是“x＋≥2成立”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選C.當(dāng)x>0時(shí)，x＋≥2＝2.

4、 因?yàn)閤，同號(hào)，所以若x＋≥2，則x>0，>0，所以“x>0”是“x＋≥2成立”的充要條件，故選C. 2．設(shè)x>0，則函數(shù)y＝x＋－的最小值為________． 解析：y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0， 當(dāng)且僅當(dāng)x＋＝， 即x＝時(shí)等號(hào)成立． 所以函數(shù)的最小值為0. 答案：0 　　　　　　利用基本不等式求最值(多維探究) 角度一　通過配湊法利用基本不等式求最值 (1)已知01)的最小值為________． 【解析】　(1)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·＝， 當(dāng)且

5、僅當(dāng)3x＝4－3x，即x＝時(shí)，取等號(hào)． (2)y＝ ＝ ＝ ＝(x－1)＋＋2≥2＋2. 當(dāng)且僅當(dāng)(x－1)＝，即x＝＋1時(shí)，等號(hào)成立． 【答案】　(1)　(2)2＋2 角度二　通過常數(shù)代換利用基本不等式求最值 若a＞0，b＞0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，則a＋b的最小值為(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 【解析】　由lg a＋lg b＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，則有＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)等號(hào)成立，所以a＋b的最小值為4，故選C. 【答案】　C 角度三　

6、通過消元法利用基本不等式求最值 (一題多解)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________． 【解析】　法一：由已知得x＋3y＝9－xy， 又因?yàn)閤>0，y>0，所以x＋3y≥2， 所以3xy≤， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝3y時(shí)，即x＝3，y＝1時(shí)取等號(hào)， (x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0. 令x＋3y＝t，則t>0且t2＋12t－108≥0， 得t≥6即x＋3y≥6. 法二：由x＋3y＋xy＝9， 得x＝， 所以x＋3y＝＋3y＝ ＝＝ ＝3(1＋y)＋－6≥2－6 ＝12－6＝6. 當(dāng)且僅當(dāng)3(1＋y)＝， 即y＝1時(shí)等號(hào)成立

7、． 所以x＋3y的最小值為6. 【答案】　6 角度四　多次利用基本不等式求最值 若a，b∈R，ab>0，則的最小值為________． 【解析】　因?yàn)閍b＞0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值是4. 【答案】　4 (1)利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式． (2)常數(shù)代換法，主要解決形如“已知x＋y＝t(t為常數(shù))，求＋的最值”的問題，先將＋轉(zhuǎn)化為·，再用基本不等式求最值． (3)當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通常是考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”，最后利用基本不等式求最值． (4

8、)當(dāng)連續(xù)多次使用基本不等式時(shí)，一定要注意每次是否能保證等號(hào)成立，并且注意取等號(hào)的條件的一致性，因此在利用基本不等式處理問題時(shí)，列出等號(hào)成立的條件不僅是解題的必要步驟，也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法．　 　(2020·河南許昌、洛陽(yáng)第三次質(zhì)量檢測(cè))已知x>0，y>0，且＋＝1，則xy＋x＋y的最小值為________． 解析：因?yàn)椋?，所以xy＝y(tǒng)＋2x，xy＋x＋y＝3x＋2y＝(3x＋2y)＝7＋＋≥7＋4(當(dāng)且僅當(dāng)y＝x，即x＝1＋，y＝2＋時(shí)取等號(hào))． 所以xy＋x＋y的最小值為7＋4. 答案：7＋4 　　　　　　基本不等式的實(shí)際應(yīng)用(師生共研) 某車間分批生產(chǎn)某種

9、產(chǎn)品，每批產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元，若每批生產(chǎn)x件，則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元．為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品(　　) A．60件 B．80件 C．100件 D．120件 【解析】　若每批生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用是元，倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用是元，總的費(fèi)用是＋≥2＝20，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝80時(shí)取等號(hào)，故選B. 【答案】　B 利用基本不等式求解實(shí)際問題的注意事項(xiàng) (1)根據(jù)實(shí)際問題抽象出目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值． (2)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)． (3)解應(yīng)用

10、題時(shí)，一定要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍． (4)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，若等號(hào)取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解．　 　某公司購(gòu)買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位：年)的關(guān)系為y＝－x2＋18x－25(x∈N+)，則該公司年平均利潤(rùn)的最大值是________萬(wàn)元． 解析：每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤(rùn)為＝18－，而x＞0，故≤18－2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)年平均利潤(rùn)最大，最大值為8萬(wàn)元． 答案：8 　　　　　　基本不等式的綜合應(yīng)用(多維探究) 角度一　與其他知識(shí)的交匯問題 (1)已知直線

11、ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)經(jīng)過圓x2＋y2－2y－5＝0的圓心，則＋的最小值是________． (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d，其前n項(xiàng)和是Sn，若a1＝d＝1，則的最小值是________． 【解析】　(1)圓x2＋y2－2y－5＝0化成標(biāo)準(zhǔn)方程， 得x2＋(y－1)2＝6， 所以圓心為C(0，1)． 因?yàn)橹本€ax＋by＋c－1＝0經(jīng)過圓心C， 所以a×0＋b×1＋c－1＝0， 即b＋c＝1. 因此＋＝(b＋c)＝＋＋5. 因?yàn)閎，c>0， 所以＋≥2＝4. 當(dāng)且僅當(dāng)b＝2c，且b＋c＝1， 即b＝，c＝時(shí)，＋取得最小值9. (2)an＝a1＋(n－

12、1)d＝n，Sn＝， 所以＝＝(n＋＋1) ≥＝， 當(dāng)且僅當(dāng)n＝4時(shí)取等號(hào)． 所以的最小值是. 【答案】　(1)9　(2) 角度二　求參數(shù)的值或取值范圍 已知不等式(x＋y)≥9對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為________． 【解析】　(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2(x，y，a>0)， 當(dāng)且僅當(dāng)y＝x時(shí)取等號(hào)， 所以(x＋y)的最小值為(＋1)2， 所以(＋1)2≥9恒成立． 所以a≥4. 【答案】　4 (1)應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立：對(duì)所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解． (2)條件不等式的最值問題

13、：通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解． (3)求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或范圍．　 1．已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，則＋的最小值是(　　) A．2 B．2 C．4 D．2 解析：選C.因?yàn)閘g 2x＋lg 8y＝lg 2，所以lg(2x·8y)＝lg 2，所以2x＋3y＝2，所以x＋3y＝1. 因?yàn)閤>0，y>0，所以＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3y＝時(shí)取等號(hào)，所以＋的最小值為4.故選C. 2．已知直線l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)經(jīng)過點(diǎn)(2，3)，

14、則a＋b的最小值為________． 解析：因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)(2，3)，所以2a＋3b－ab＝0， 則＋＝1， 所以a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2. 當(dāng)且僅當(dāng)＝， 即a＝3＋，b＝2＋時(shí)等號(hào)成立． 答案：5＋2 3．已知函數(shù)f(x)＝(a∈R)，若對(duì)于任意的x∈N+，f(x)≥3恒成立，則a的取值范圍是________． 解析：對(duì)任意x∈N+，f(x)≥3恒成立， 即≥3恒成立，即a≥－＋3. 設(shè)g(x)＝x＋，當(dāng)x＝，即x＝2時(shí)，g(x)取得最小值，又x∈N*，則g(2)＝6，g(3)＝. 因?yàn)間(2)＞g(3)，所以g(x)min＝， 所以－＋3≤－， 所以a

15、≥－，故a的取值范圍是. 答案： 　利用均值定理連續(xù)放縮求最值 　已知a>b>0，那么a2＋的最小值為________． 【解析】　因?yàn)閍>b>0，所以a－b>0，所以b(a－b)≤＝，所以a2＋≥a2＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)b＝a－b且a2＝，即a＝且b＝時(shí)取等號(hào)，所以a2＋的最小值為4. 【答案】　4 　設(shè)a>b>0，則a2＋＋的最小值是________． 【解析】　因?yàn)閍>b>0，所以a－b>0，所以a2＋＋＝(a2－ab)＋＋＋ab≥2＋2＝4(當(dāng)且僅當(dāng)a2－ab＝且＝ab，即a＝，b＝時(shí)取等號(hào))． 【答案】　4 利用基本不等式求函數(shù)或代數(shù)式的最值時(shí)一定要注意驗(yàn)證等號(hào)

16、是否成立，特別是當(dāng)連續(xù)多次使用基本不等式時(shí)，一定要注意每次是否能保證等號(hào)成立，并且注意取等號(hào)的條件的一致性，因此在利用基本不等式處理問題時(shí)，列出等號(hào)成立的條件不僅是解題的必要步驟，也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法．　 　已知正實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＝1，c＋d＝1，則＋的最小值是(　　) A．10　　　 B．9　　　　 C．4　　　 D．3 解析：選B.因?yàn)閍＋b＝1，a>0，b>0，所以ab≤＝，所以≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)，取等號(hào)． 又因?yàn)閏＋d＝1，c>0，d>0，所以＋≥4·＋＝(c＋d)·＝5＋＋≥5＋2＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝，且c＝，d＝時(shí)，取等號(hào)，即＋的最小值

17、為9，故選B. [基礎(chǔ)題組練] 1．下列不等式一定成立的是(　　) A．lg>lg x(x>0) B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R) 解析：選C.對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)x>0時(shí)，x2＋－x＝≥0，所以lg≥lg x； 對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)sin x<0時(shí)顯然不成立； 對(duì)于選項(xiàng)C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立； 對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)閤2＋1≥1， 所以0<≤1.故選C. 2．(2020·廣西欽州期末)已知a，b∈R，a2＋b2＝15－ab，則ab的最大值是(　　) A．15 B．12 C．5 D．3

18、解析：選C.因?yàn)閍2＋b2＝15－ab≥2ab，所以3ab≤15，即ab≤5，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝±時(shí)等號(hào)成立．所以ab的最大值為5.故選C. 3．已知f(x)＝，則f(x)在上的最小值為(　　) A. B． C．－1 D．0 解析：選D.f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝1時(shí)取等號(hào)．又1∈，所以f(x)在上的最小值是0. 4．若實(shí)數(shù)a，b滿足＋＝，則ab的最小值為(　　) A. B．2 C．2 D．4 解析：選C.因?yàn)椋剑詀＞0，b＞0， 由＝＋≥2＝2， 所以ab≥2(當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a時(shí)取等號(hào))， 所以ab的最小值為2. 5．(2

19、020·湖南衡陽(yáng)期末)已知P是面積為1的△ABC內(nèi)的一點(diǎn)(不含邊界)，若△PAB，△PAC和△PBC的面積分別為x，y，z，則＋的最小值是(　　) A. B． C. D．3 解析：選D.因?yàn)閤＋y＋z＝1，00，b>0，3a＋b＝2ab，則a＋b的最小值為________． 解析：由a>0，b>0，3a＋b＝2ab，得＋＝1， 所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋，當(dāng)且僅當(dāng)b＝a時(shí)等號(hào)成立，則a＋b的最小值為2＋. 答案：2＋ 7．(

20、2020·江西吉安期末)已知函數(shù)f(x)＝，則f(x) 的最大值為________． 解析：設(shè)t＝sin x＋2，則t∈[1，3]，則sin2x＝(t－2)2，則g(t)＝＝t＋－4(1≤t≤3)，由“對(duì)勾函數(shù)”的性質(zhì)可得g(t)在[1，2)上為減函數(shù)，在(2，3]上為增函數(shù)，又g(1)＝1，g(3)＝，所以g(t)max＝g(1)＝1.即f(x)的最大值為1. 答案：1 8．已知正數(shù)x，y滿足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，則實(shí)數(shù)λ的最小值為________． 解析：依題意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)取等號(hào))，即的最大值為2.又λ≥恒成立，因此有λ

21、≥2，即λ的最小值為2. 答案：2 9．(1)當(dāng)x<時(shí)，求函數(shù)y＝x＋的最大值； (2)設(shè)00， 所以＋≥2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)＝， 即x＝－時(shí)取等號(hào)． 于是y≤－4＋＝－， 故函數(shù)的最大值為－. (2)因?yàn)?0， 所以y＝＝·≤·＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2－x， 即x＝1時(shí)取等號(hào)， 所以當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y＝的最大值為. 10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求 (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 解：(1)由2x＋8y－xy＝0

22、，得＋＝1， 又x>0，y>0， 則1＝＋≥2 ＝. 得xy≥64， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝16，y＝4時(shí)，等號(hào)成立． 所以xy的最小值為64. (2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 則x＋y＝·(x＋y) ＝10＋＋≥10＋2 ＝18. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝12，y＝6時(shí)等號(hào)成立， 所以x＋y的最小值為18. [綜合題組練] 1．已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，則m的最大值為(　　) A．9 B．12 C．18 D．24 解析：選B.由＋≥， 得m≤(a＋3b)＝＋＋6. 又＋＋6≥2＋6＝12， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝3b時(shí)等號(hào)成立， 所以m≤12，所以

23、m的最大值為12. 2．(2020·湖北恩施2月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))已知角α，β的頂點(diǎn)都為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合，且都為第一象限的角，α，β終邊上分別有點(diǎn)A(1，a)，B(2，b)，且α＝2β，則＋b的最小值為(　　) A．1 B． C. D．2 解析：選C.由已知得，a>0，b>0，tan α＝a，tan β＝，因?yàn)棣粒?β，所以tan α＝tan 2β， 所以a＝＝，所以＋b＝＋b＝＋≥2＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即b＝時(shí)，取等號(hào)．故＋b的最小值為. 3．(2020·安徽合肥第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))若a＋b≠0，則a2＋b2＋的最小值為________． 解析：a2＋b2＋

24、≥＋≥2＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2－時(shí)，a2＋b2＋取得最小值. 答案： 4．當(dāng)x∈R時(shí)，32x－(k＋1)3x＋2>0恒成立，則k的取值范圍是________． 解析：由32x－(k＋1)3x＋2>0，解得k＋1<3x＋. 因?yàn)?x＋≥2 ， 所以3x＋的最小值為2. 又當(dāng)x∈R時(shí)，32x－(k＋1)3x＋2>0恒成立， 所以當(dāng)x∈R時(shí)，k＋1<， 即k＋1<2，即k<2－1. 答案：(－∞，2－1) 5．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20. 求：(1)u＝lg x＋lg y的最大值； (2)＋的最小值． 解：(1)因?yàn)閤>0，y>0， 所以由基本不等式，得2x

25、＋5y≥2. 因?yàn)?x＋5y＝20， 所以2≤20，xy≤10， 當(dāng)且僅當(dāng)2x＝5y時(shí)，等號(hào)成立． 因此有解得 此時(shí)xy有最大值10. 所以u(píng)＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1. 所以當(dāng)x＝5，y＝2時(shí)，u＝lg x＋lg y有最大值1. (2)因?yàn)閤>0，y>0， 所以＋＝· ＝≥＝. 當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，等號(hào)成立． 由 解得 所以＋的最小值為. 6．某廠家擬定在2020年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用m(m≥0)萬(wàn)元滿足x＝3－(k為常數(shù))．如果不搞促銷活動(dòng)，那么該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬(wàn)件．已知2020年

26、生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)． (1)將2020年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷費(fèi)用m萬(wàn)元的函數(shù)； (2)該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家利潤(rùn)最大？ 解：(1)由題意知，當(dāng)m＝0時(shí)，x＝1(萬(wàn)件)， 所以1＝3－k?k＝2，所以x＝3－(m≥0)， 每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5×(元)， 所以2020年的利潤(rùn)y＝1.5x×－8－16x－m ＝－＋29(m≥0)． (2)因?yàn)閙≥0時(shí)，＋(m＋1)≥2＝8， 所以y≤－8＋29＝21，當(dāng)且僅當(dāng)＝m＋1?m＝3(萬(wàn)元)時(shí)，ymax＝21(萬(wàn)元)． 故該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大為21萬(wàn)元． 16