(浙江專版)2019版高考數學大一輪復習 第七章 數列與數學歸納法 第5節(jié) 直接證明與間接證明(供選用)學案 理
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1、 第5節(jié) 直接證明與間接證明(供選用) 最新考綱 1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過程和特點;2.了解間接證明的一種基本方法——反證法;了解反證法的思考過程和特點. 知 識 梳 理 1.直接證明 內容 綜合法 分析法 定義 利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等,經過一系列的推理論證,最后推導出所要證明的結論成立 從要證明的結論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直到最后把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止 實質 由因導果 執(zhí)果索因 框圖表示 →→…→ →→…→ 文字語言
2、 因為……所以…… 或由……得…… 要證……只需證…… 即證…… 2.間接證明 間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法,反證法是一種常用的間接證明方法. (1)反證法的定義:假設原命題不成立(即在原命題的條件下,結論不成立),經過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設錯誤,從而證明原命題成立的證明方法. (2)用反證法證明的一般步驟:①反設——假設命題的結論不成立;②歸謬——根據假設進行推理,直到推出矛盾為止;③結論——斷言假設不成立,從而肯定原命題的結論成立. [常用結論與微點提醒] 分析法與綜合法相輔相成,對較復雜的問題,常常先從結論進行分析,尋求結論與條件、基礎知識之
3、間的關系,找到解決問題的思路,再運用綜合法證明,或者在證明時將兩種方法交叉使用. 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”) (1)分析法是從要證明的結論出發(fā),逐步尋找使結論成立的充要條件.( ) (2)用反證法證明結論“a>b”時,應假設“a
4、3)× (4)√ 2.要證a2+b2-1-a2b2≤0,只要證明( ) A.2ab-1-a2b2≤0 B.a2+b2-1-≤0 C.-1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0 解析 a2+b2-1-a2b2≤0?(a2-1)(b2-1)≥0. 答案 D 3.若a,b,c為實數,且aab>b2 C.< D.> 解析 a2-ab=a(a-b),∵a0,∴a2>ab.① 又ab-b2=b(a-b)>0,∴ab>b2,② 由①②得a2>ab
5、>b2. 答案 B 4.用反證法證明命題:“設a,b為實數,則方程x3+ax+b=0至少有一個實根”時,要做的假設是( ) A.方程x3+ax+b=0沒有實根 B.方程x3+ax+b=0至多有一個實根 C.方程x3+ax+b=0至多有兩個實根 D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個實根 解析 因為“方程x3+ax+b=0至少有一個實根”等價于“方程x3+ax+b=0的實根的個數大于或等于1”,所以要做的假設是“方程x3+ax+b=0沒有實根”. 答案 A 5.在△ABC中,三個內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數列,a,b,c成等比數列,則△ABC的形狀
6、為________. 解析 由題意2B=A+C,又A+B+C=π,∴B=,又b2=ac,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac, ∴a2+c2-2ac=0,即(a-c)2=0,∴a=c, ∴A=C,∴A=B=C=,∴△ABC為等邊三角形. 答案 等邊三角形 6.(2017·紹興檢測)完成反證法證題的全過程.設a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一個排列,求證:乘積p=(a1-1)·(a2-2)·…·(a7-7)為偶數. 證明:假設p為奇數,則a1-1,a2-2,…,a7-7均為奇數.因奇數個奇數之和為奇數,故有奇數=____________=______
7、______=0.但0≠奇數,這一矛盾說明p為偶數. 解析 ∵a1-1,a2-2,…,a7-7均為奇數,∴(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)也為奇數,即(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)為奇數.又∵a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一個排列,∴a1+a2+…+a7=1+2+…+7,故上式為0,∴奇數=(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0. 答案 (a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7) (a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7) 考點一 綜合法的應用 【例1】 已知a,b,c>0,a+b+c=1
8、.求證: (1)++≤; (2)++≥. 證明 (1)∵(++)2=(a+b+c)+2+2+2≤(a+b+c)+(a+b)+(b+c)+(c+a)=3, ∴++≤. (2)∵a>0,∴3a+1>0, ∴+(3a+1)≥2=4, ∴≥3-3a,同理得≥3-3b,≥3-3c, 以上三式相加得 4≥9-3(a+b+c)=6, ∴++≥. 規(guī)律方法 用綜合法證題是從已知條件出發(fā),逐步推向結論,綜合法的適用范圍: (1)定義明確的問題,如證明函數的單調性、奇偶性、求證無條件的等式或不等式; (2)已知條件明確,并且容易通過分析和應用條件逐步逼近結論的題型.在使用綜合法證明時,易
9、出現的錯誤是因果關系不明確,邏輯表達混亂. 【訓練1】 設a,b,c均為正數,且a+b+c=1,證明: (1)ab+bc+ac≤; (2)++≥1. 證明 (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由題設知(a+b+c)2=1, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤. (2)因為a>0,b>0,c>0, 所以+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c, 故+++(a+b+c)≥2(a+b+c), 即++≥a+b+c.所以++≥1. 考點二 分析法的應
10、用 【例2】 已知a>0,證明:-≥a+-2. 證明 要證-≥a+-2, 只需證≥-(2-). 因為a>0,所以-(2-)>0, 所以只需證≥, 即2(2-)≥8-4,只需證a+≥2. 因為a>0,a+≥2顯然成立,所以要證的不等式成立. 規(guī)律方法 (1)逆向思考是用分析法證題的主要思想,通過反推,逐步尋找使結論成立的充分條件.正確把握轉化方向是使問題順利獲解的關鍵. (2)證明較復雜的問題時,可以采用兩頭湊的辦法,即通過分析法找出某個與結論等價(或充分)的中間結論,然后通過綜合法證明這個中間結論,從而使原命題得證. 【訓練2】 △ABC的三個內角A,B,C成等差數列,A,
11、B,C的對邊分別為a,b,c. 求證:+=. 證明 要證+=, 即證+=3也就是+=1, 只需證c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 需證c2+a2=ac+b2, 又△ABC三內角A,B,C成等差數列,故B=60°, 由余弦定理,得b2=c2+a2-2accos 60°,即b2=c2+a2-ac, 故c2+a2=ac+b2成立. 于是原等式成立. 考點三 反證法的應用 【例3】 等差數列{an}的前n項和為Sn,a1=1+,S3=9+3. (1)求數列{an}的通項an與前n項和Sn; (2)設bn=(n∈N*),求證:數列{bn}中任意不同的三項都不可
12、能成為等比數列. (1)解 由已知得解得d=2, 故an=2n-1+,Sn=n(n+). (2)證明 由(1)得bn==n+.假設數列{bn}中存在三項bp,bq,br(p,q,r∈N*,且互不相等)成等比數列,則b=bpbr.即(q+)2=(p+)(r+). ∴(q2-pr)+(2q-p-r)=0. ∵p,q,r∈N*,∴ ∴=pr,(p-r)2=0. ∴p=r,與p≠r矛盾. ∴數列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數列. 規(guī)律方法 (1)當一個命題的結論是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出現時,可用反證法來證,反證法關鍵是在正確的推理下得出矛盾,矛盾可以
13、是與已知條件矛盾,與假設矛盾,與定義、公理、定理矛盾,與事實矛盾等. (2)用反證法證明不等式要把握三點:①必須否定結論;②必須從否定結論進行推理;③推導出的矛盾必須是明顯的. 【訓練3】 (2017·鄭州一中月考)已知a1+a2+a3+a4>100,求證:a1,a2,a3,a4中至少有一個數大于25. 證明 假設a1,a2,a3,a4均不大于25,即a1≤25,a2≤25,a3≤25,a4≤25,則a1+a2+a3+a4≤25+25+25+25=100, 這與已知a1+a2+a3+a4>100矛盾,故假設錯誤. 所以a1,a2,a3,a4中至少有一個數大于25. 基礎鞏固題組
14、 一、選擇題 1.用反證法證明命題:“三角形三個內角至少有一個不大于60°”時,應假設( ) A.三個內角都不大于60° B.三個內角都大于60° C.三個內角至多有一個大于60° D.三個內角至多有兩個大于60° 答案 B 2.若a,b∈R,則下面四個式子中恒成立的是( ) A.lg(1+a2)>0 B.a2+b2≥2(a-b-1) C.a2+3ab>2b2 D.< 解析 在B中,∵a2+b2-2(a-b-1)=(a2-2a+1)+(b2+2b+1)=(a-1)2+(b+1)2≥0, ∴a2+b2≥2(a-b-1)恒成立. 答案 B 3.已知m>1,a
15、=-,b=-,則以下結論正確的是( )
A.a>b B.a+>0(m>1),
∴<,即a 16、+c)>0?(a-c)(a-b)>0.
答案 C
5.①已知p3+q3=2,求證p+q≤2,用反證法證明時,可假設p+q≥2;②已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求證方程x2+ax+b=0的兩根的絕對值都小于1,用反證法證明時可假設方程有一根x1的絕對值大于或等于1,即假設|x1|≥1.以下正確的是( )
A.①與②的假設都錯誤
B.①與②的假設都正確
C.①的假設正確;②的假設錯誤
D.①的假設錯誤;②的假設正確
解析 反證法的實質是否定結論,對于①,其結論的反面是p+q>2,所以①不正確;對于②,其假設正確.
答案 D
6.(2018·杭州一模)記Sn是各項均為正數的 17、等差數列{an}的前n項和,若a1≥1,則( )
A.S2mS2n≥S,ln S2mln S2n≤ln2Sm+n
B.S2mS2n≤S,ln S2mln S2n≤ln2Sm+n
C.S2mS2n≥S,ln S2mln S2n≥ln2Sm+n
D.S2mS2n≤S,ln S2mln S2n≥ln2Sm+n
解析 由Sn是各項均為正數的等差數列{an}的前n項和,可采用取特殊數列方法驗證排除,如:數列1,2,3,4,5,6,…,取m=1,n=1,則S2m=S2=3,S2n=S4=10,Sm+n=S3=6,∴S2mS2n=S2S4=30<36=S=S,排除A,C;又ln S2mln S2 18、n=ln 3·ln 10<ln26=ln2Sm+n,排除D.
答案 B
二、填空題
7.+與2+的大小關系為________.
解析 要比較+與2+的大小,
只需比較(+)2與(2+)2的大小,
只需比較6+7+2與8+5+4的大小,
只需比較與2的大小,只需比較42與40的大小,
∵42>40,∴+>2+.
答案?。?2+
8.用反證法證明命題“a,b∈R,ab可以被5整除,那么a,b中至少有一個能被5整除”,那么假設的內容是______________.
解析 “至少有一個能”的反面是“都不能”.
答案 a,b都不能被5整除
9.下列條件:①ab>0,②ab<0, 19、③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使+≥2成立的條件的序號是________.
解析 要使+≥2,只需>0成立,即a,b不為0且同號即可,故①③④能使+≥2成立.
答案?、佗邰?
10.給出如下四個命題:①e>2;②ln 2>;③π2<3π;④<,正確的命題是________(只填序號).
解析 要證e>2,只要證>ln 2,即2>eln 2,
設f(x)=eln x-x,x>0,∴f′(x)=-1=,
當0<x<e時,f′(x)>0,函數單調遞增,
當x>e時,f′(x)<0,函數單調遞減,
∴f(x)<f(e)=eln e-e=0,∴f(2)=eln 2-2<0,
20、即2>eln 2,∴e>2,因此①正確;
∵3ln 2=ln 8>ln 2.82>ln e2=2.
∴l(xiāng)n 2>,因此②正確;
π2<42=16,3π>33=27,因此π2<3π,③正確;
∵2π<π2,∴<,④正確;
正確的命題是①②③④.
答案?、佗冖邰?
三、解答題
11.若a,b,c是不全相等的正數,求證:
lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c.
證明 ∵a,b,c∈(0,+∞),
∴≥>0,≥>0,≥>0.
又上述三個不等式中等號不能同時成立.
∴··>abc成立.
上式兩邊同時取常用對數,
得lg>lg abc,
∴l(xiāng)g+lg+lg>lg a 21、+lg b+lg c.
12.設數列{an}是公比為q的等比數列,Sn是它的前n項和.
(1)求證:數列{Sn}不是等比數列;
(2)數列{Sn}是等差數列嗎?為什么?
(1)證明 假設數列{Sn}是等比數列,則S=S1S3,
即a(1+q)2=a1·a1·(1+q+q2),
因為a1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2,
即q=0,這與公比q≠0矛盾,
所以數列{Sn}不是等比數列.
(2)解 當q=1時,Sn=na1,故{Sn}是等差數列;
當q≠1時,{Sn}不是等差數列,
否則2S2=S1+S3,即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2),
得q=0,這與公 22、比q≠0矛盾.
綜上,當q=1時,數列{Sn}是等差數列;當q≠1時,數列{Sn}不是等差數列.
能力提升題組
13.已知函數f(x)=,a,b是正實數,A=f,B=f(),C=f,則A,B,C的大小關系為( )
A.A≤B≤C B.A≤C≤B
C.B≤C≤A D.C≤B≤A
解析 ∵≥≥,又f(x)=在R上是減函數,∴f≤f()≤f.
答案 A
14.設a,b,c均為正實數,則三個數a+,b+,c+( )
A.都大于2 B.都小于2
C.至少有一個不大于2 D.至少有一個不小于2
解析 ∵a>0,b>0,c>0,
∴++=++
≥6,當且僅 23、當a=b=c=1時,“=”成立,故三者不能都小于2,即至少有一個不小于2.
答案 D
15.如果a+b>a+b,則a,b應滿足的條件是________.
解析 ∵a+b-(a+b)
=(a-b)+(b-a)
=(-)(a-b)
=(-)2(+).
∴當a≥0,b≥0且a≠b時,(-)2(+)>0.
∴a+b>a+b成立的條件是a≥0,b≥0且a≠b.
答案 a≥0,b≥0且a≠b
16.設x≥1,y≥1,證明x+y+≤++xy.
證明 由于x≥1,y≥1,
所以要證明x+y+≤++xy,
只需證xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2.
將上式中的右式減左式,得
[ 24、y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1]
=[(xy)2-1]-[xy(x+y)-(x+y)]
=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)
=(xy-1)(xy-x-y+1)
=(xy-1)(x-1)(y-1).
因為x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,
從而所要證明的不等式成立.
17.(2016·浙江卷)設函數f(x)=x3+,x∈[0,1],證明:
(1)f(x)≥1-x+x2;
(2)<f(x)≤.
證明 (1)因為1-x+x2-x3==,
由于x∈[0,1],有≤,
即1-x+x2-x3≤,
所以f(x)≥1-x+x2.
(2)由0≤x≤1得x3≤x,故f(x)=x3+≤x+=x+-+=+≤,
所以f(x)≤.
由(1)得f(x)≥1-x+x2=+≥,
又因為f=>,
所以f(x)>.
綜上,<f(x)≤.
12
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