2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第一節(jié) 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)課時(shí)作業(yè) 理（選修4-1）

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第一節(jié) 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)課時(shí)作業(yè) 理（選修4-1） 一、填空題 1．如圖，BD，CE是△ABC的高，BD，CE交于F，寫出圖中所有與△ACE相似的三角形為________． 解析：由Rt△ACE與Rt△FCD和Rt△ABD各共一個(gè)銳角，因而它們均相似，又易知∠BFE＝∠A，故Rt△ACE∽R(shí)t△FBE. 答案：△FCD、△FBE、△ABD 2．如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AD＝5，DB＝3，F(xiàn)C＝2，則BF＝________. 解析：由平行線的性質(zhì)可得＝＝＝，所以BF＝FC＝. 答案： 3．在△ABC中，∠AC

2、B＝90°，CD⊥AB于D，ADBD＝23.則△ACD與△CBD的相似比為________． 解析： 如圖所示，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得：CD2＝AD·BD， 又∵AD:BD＝2:3，令A(yù)D＝2x， BD＝3x(x>0)， ∴CD2＝6x2，∴CD＝x. 又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∠A＝∠BCD. ∴△ACD∽△CBD. 易知△ACD與△CBD的相似比為＝＝. 即相似比為:3. 答案：:3 4. 如圖，已知AB∥EF∥CD，若AB＝4，CD＝12，則EF＝__________. 解析：∵AB∥CD∥EF， ∴＝，＝， ∴＝，＝，

3、∴4(BC－BF)＝12BF， ∴BC＝4BF， ∴＝4＝， ∴EF＝3. 答案：3 5．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD與AC相交于O，過(guò)O的直線分別交AB、CD于E、F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，則EF＝________. 解析：∵EF∥AD∥BC，∴△OAD∽△OCB， OA:OC＝AD:BC＝12:20， △OAE∽△CAB，OE:BC＝OA:CA＝12:32， ∴EF＝2××20＝15. 答案：15 6．如圖，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EF⊥DB，垂足為F，若AB＝6，AE＝1，則DF·DB＝________. 解

4、析：連接AD，由射影定理可知ED2＝AE·EB＝1×5＝5，又易知△EBD與△FED相似，得DF·DB＝ED2＝5. 答案：5 7．如圖，等邊三角形DEF內(nèi)接于△ABC，且DE∥BC，已知AH⊥BC于點(diǎn)H，BC＝4，AH＝，則△DEF的邊長(zhǎng)為________． 解析：設(shè)DE＝x，AH交DE于點(diǎn)M，顯然MH的長(zhǎng)度與等邊三角形DEF的高相等，又DE∥BC，則＝＝，∴＝＝，解得x＝. 答案： 8．如圖， 在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，EF與BD相交于點(diǎn)M.若DB＝9，則BM＝________. 解析：∵E是AB的中點(diǎn)， ∴AB＝2

5、EB. ∵AB＝2CD，∴CD＝EB. 又AB∥CD，∴四邊形CBED是平行四邊形． ∴CB∥DE，∴ ∴△EDM∽△FBM.∴＝. ∵F是BC的中點(diǎn)，∴DE＝2BF. ∴DM＝2BM. ∴BM＝DB＝3. 答案：3 9. 如圖，圓O的半徑為1，A，B，C是圓周上的三點(diǎn)，滿足∠ABC＝30°，過(guò)點(diǎn)A做圓O的切線與OC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，則PA＝________. 解析：連接AO，AC，因?yàn)椤螦BC＝30°，所以∠CAP＝30°，∠AOC＝60°，△AOC為等邊三角形，則∠ACP＝120°，∴∠APC＝30°，∴△ACP為等腰三角形，且AC＝CP＝1，∴PA＝2×1×si

6、n60°＝. 答案： 二、解答題 10．已知△ABC中，BF⊥AC于點(diǎn)F，CE⊥AB于點(diǎn)E，BF和CE相交于點(diǎn)P，求證： (1)△BPE∽△CPF； (2)△EFP∽△BCP. 證明：(1)∵BF⊥AC于點(diǎn)F，CE⊥AB于點(diǎn)E， ∴∠BFC＝∠CEB. 又∵∠CPF＝∠BPE，∴△CPF∽△BPE. (2)由(1)得△CPF∽△BPE，∴＝. 又∵∠EPF＝∠BPC，∴△EFP∽△BCP. 11．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，求證： (1)AB·AC＝BC·AD； (2)AD3＝BC·CF·BE.

7、證明：(1)在Rt△ABC中，AD⊥BC， ∴S△ABC＝AB·AC＝BC·AD. ∴AB·AC＝BC·AD. (2)Rt△ADB中，DE⊥AB，由射影定理可得 BD2＝BE·AB，同理CD2＝CF·AC， ∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC. 又在Rt△BAC中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC， ∴AD4＝BE·AB·CF·AC， 又AB·AC＝BC·AD.即AD3＝BC·CF·BE. 1．如圖，在△ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，E為AD上的一點(diǎn)，延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F.若＝，求的值． 解： 如圖，過(guò)點(diǎn)A作AG∥BC， 交BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G. ∵＝，

8、∴＝. 又∵△AGE∽△DBE， ∴＝＝. ∵D為BC中點(diǎn)，BC＝2BD， ∴＝. ∵△AGF∽△CBF，∴＝＝，∴＝. 2．如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE，BE. 求證：(1)∠FEB＝∠CEB； (2)EF2＝AD·BC. 證明：(1)由直線CD與⊙O相切， 得∠CEB＝∠EAB. 由AB為⊙O的直徑，得AE⊥EB， 從而∠EAB＋∠EBF＝； 又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝. 從而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB. (2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共邊， 得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF. 同理可證Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF. 又在Rt△AEB中，EF⊥AB， 故EF2＝AF·BF， 所以EF2＝AD·BC.