2022年高一上學期期中考試數學試題 含解析(III)
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1、2022年高一上學期期中考試數學試題 含解析(III) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每個小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.設全集,集合,則集合( ) A. B. C. D. 2. 函數的圖象必經過點( ) A. B. C. D. x y O 1 x y O 1 x y O 1 x y O 1 3.函數的大致圖象為( ) A. B. C.
2、 D. 4.已知函數,則的值為( ) A. B. C. D. 5.下列函數在上是增函數并且是定義域上的偶函數的是( ) A. B. C. D. 6.設,則的大小關系為( ) A. B. C. D. 7.函數在區(qū)間上是單調函數,則的取值范圍是( ) A.或 B. C. D. 8.函數的值域為( ) A. B. C. D. 9.若,則下列關系中,一定成立的是( ) A. B. C. D. 10
3、.設是奇函數,且在內是增函數,又,則的解集是 ( ) A. B. C. D. 11.若函數,若,則實數的取值范圍是( ) A. B. C. D. 12.集合,集合為集合的兩個非空子集,若集合中元素的最大值小于集合中元素的最小值,則滿足條件的的不同情形有( )種。 A. B. C. D. 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中橫線上)
4、 13. 函數的定義域為 . 14.化簡: . 15.已知函數,則= . 16.在定義域內給定區(qū)間上存在滿足,則稱函數在區(qū)間上的“平均值函數”,是它的一個均值點.若函數是上的平均值函數,則實數的取值范圍是 . 三、解答題(本大題共6小題,70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 17.(本小題共10分) (1)設,證明:; (2)若,求的值. 18. (本題12分) 集合。 (1)若,求實數m的取值范圍; (2)若,求實數m的取值范圍
5、; 19.(本小題共12分) 在20世紀30年代,地震科學家制定了一種表明地震能量大小的尺度,就是利用測震儀衡量地震的能量等級,等級M與地震的最大振幅A之間滿足函數關系,(其中表示標準地震的振幅) (1)假設在一次4級地震中,測得地震的最大振幅是10,求M關于A的函數解析式; (2)地震的震級相差雖小,但帶來的破壞性很大,計算8級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的多少倍. 20.(本小題共12分)已知定義在R的奇函數滿足當時,, (1)在右圖的坐標系中作出函數的圖象,并找出函數的單調區(qū)間; (2)若集合恰有兩個元素,結合函數的圖象求實數應滿足的條
6、件. -1 O x y 2 3 -2 -3 1 2 4 -1 -2 -3 -4 1 3 21.(本小題共12分)已知函數, (1)判斷并證明函數在R上的奇偶性和單調性; (2)當時,不等式恒成立,求實數的取值范圍. 22.(本小題共12分)已知函數,對任意的,都有成立, (1)求的值; (2)函數取得最小值0,且對任意,不等式恒成立,求函數的解析式; (3)若方程沒有實數根,判斷方程根的情況,并說明理由. xx重慶十八中高一(上)期中數學試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題(本大題共
7、12小題,每小題5分,共60分.在每個小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.設全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2,4},則集合?UM=( ?。? A.{1,2,4} B.{3,4,5} C.{2,5} D.{3,5} 【考點】補集及其運算. 【專題】集合. 【分析】根據全集U及M,求出M的補集即可. 【解答】解:∵全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2,4}, ∴?UM={3,5}. 故選:D. 【點評】此題考查了補集及其運算,熟練掌握補集的定義是解本題的關鍵. 2.函數的圖象必經過點( ) A.(0,1) B.(1,1) C
8、.(2,0) D.(2,2) 【考點】指數函數的單調性與特殊點. 【專題】計算題. 【分析】根據a0=1(a≠0)時恒成立,我們令函數解析式中的指數部分為0,即可得到函數的圖象恒過點的坐標. 【解答】解:∵當X=2時 =2恒成立 故函數的圖象必經過點(2,2) 故選D 【點評】本題考查的知識點是指數函數的單調性與特殊點,其中指數的性質a0=1(a≠0)恒成立,是解答本題的關鍵. 3.函數的大致圖象為( ?。? 【考點】函數的圖象. 【專題】作圖題. 【分析】利用函數的單調性及圖象上的特殊點對選項進行篩選. 【解答】解:f(x)==﹣log2x, 當x∈(0,
9、+∞)時,因為log2x單調遞增,所以f(x)=﹣log2x單調遞減,排除選項A、D. 又f(1)=﹣log21=0,所以排除選項B, 【點評】本題考查了依據函數解析式作圖問題,選擇題要充分利用選擇支提供的信息進行篩選. 4.(5分)(xx秋?新都區(qū)校級期中)已知f(x)=,則f[f(1)]的值為( ?。? A.﹣1 B.0 C.1 D.2 【考點】函數迭代;函數的值. 【專題】計算題. 【分析】由題意先求f(1)的值,然后再求f[f(1)]的值即可(注意看清要代入哪一段的解析式,避免出錯). 【解答】解:∵f(x)=, ∴f(1)=f(1﹣2)=f(﹣1)=(﹣1)2﹣
10、1=0; ∴f[f(1)]=f(0)=﹣1. 故選:A. 【點評】本題考查函數值的求法,注意要由里致外逐次求解.解決分段函數的求值問題時,一定要先看自變量在哪個范圍內,再代入對應的解析式,避免出錯. 5.(5分)(xx秋?江北區(qū)校級期中)下列函數在(0,+∞)上是增函數并且是定義域上的偶函數的是( ?。? A.y=()x B.y=|x| C.y=lnx D.y=x2+2x+3 【考點】奇偶性與單調性的綜合. 【專題】函數的性質及應用. 【分析】由指數函數和對數函數不具奇偶性,可判斷A,C不正確;根據二次函數的圖象和性質,分析出函數的對稱軸,進而可判斷D的真假,分析y=|x|
11、的單調性和奇偶性可得答案. 【解答】解:y=()x與y=lnx不具有奇偶性,排除A,C; 又y=x2+2x+3對稱軸為x=﹣1,不是偶函數,排除D; y=|x|在(0,+∞)上是增函數且在定義域R上是偶函數, 故選B. 【點評】本題考查的知識點是函數奇偶性與單調性,其中熟練掌握基本初等函數的單調性和奇偶性是解答本題的關鍵. 6.(5分)(xx秋?江北區(qū)校級期中)設a=0.30.2,b=0.20.3,c=0.30.3,則a,b,c的大小關系為( ?。? A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.a>c>b 【考點】指數函數的圖象與性質. 【專題】函數的性質及應用.
12、 【分析】根據指數函數和冪函數的性質,即可比較大?。? 【解答】解:∵函數y=0.3x單調遞減, ∴0.30.2>0.30.3, 即a>c ∵函數y=x0.3單調遞增, ∴0.20.3<0.30.3, 即b<c. ∴a>c>b. 故選:D. 【點評】本題主要考查了指數函數和冪函數的性質,屬于基礎題. 7.函數f(x)=x2﹣2ax+3在區(qū)間[2,3]上是單調函數,則a的取值范圍是( ?。? A.a≤2或a≥3 B.2≤a≤3 C.a≤2 D.a≥3 【考點】二次函數的性質. 【專題】計算題. 【分析】由已知中函數的解析式f(x)=x2﹣2ax+3,根據二次函數的
13、圖象和性質,判斷出函數f(x)=x2﹣2ax+3在區(qū)間(﹣∞,a]為減函數,在區(qū)間[a,+∞)上為增函數,由函數f(x)=x2﹣2ax+3在區(qū)間[2,3上為單調函數,可得區(qū)間在對稱軸的同一側,進而構造關于a的不等式,解不等式即可得到實數a的取值范圍. 【解答】解:∵函數f(x)=x2﹣2ax+3的圖象是 開口方向向上,且以x=a為對稱軸的拋物線 故函數f(x)=x2﹣2ax+3在區(qū)間(﹣∞,a]為減函數,在區(qū)間[a,+∞)上為增函數, 若函數f(x)=x2﹣2ax+3在區(qū)間[2,3]上為單調函數, 則a≤2,或a≥3, 故答案為:a≤2或a≥3. 故選A. 【點評】本題考查的知
14、識點是二次函數的性質,其中根據函數f(x)=x2﹣2ax+3在區(qū)間[2,3]上為單調函數,判斷出區(qū)間在對稱軸的同一側,進而構造關于a的不等式是解答本題的關鍵. 8.(5分)(xx秋?江北區(qū)校級期中)函數f(x)=,(x∈(﹣∞,0]∪[2,+∞))的值域為( ?。? A.[0,4] B.[0,2)∪(2,4] C.(﹣∞,0]∪[4,+∞) D.(﹣∞,2)∪(2,+∞) 【考點】函數的值域. 【專題】計算題. 【分析】利用反比例函數的單調性,在區(qū)間(﹣∞,0]和(2,+∞]上分別求出函數的值域,再求并集. 【解答】解:f(x)===2+, ∵函數f(x)在(﹣∞,0]和[2
15、,+∞)都單調遞減, ∴在(﹣∞,0]上有,0≤f(x)<2, 在[2,+∞)上有,2<f(x)≤4, ∴函數在(﹣∞,0]∪[2,+∞)上的值域為[0,2)∪(2,4], 故選B. 【點評】本題考查利用函數的單調性求函數的值域問題,熟練掌握反比例函數的性質是解答本題的關鍵. 9.(5分)(xx秋?江北區(qū)校級期中)若2a=5b=100,則下列關系中,一定成立的是( ?。? A.2a+2b=ab B.a+b=ab C.a+b=10 D.ab=10 【考點】對數的運算性質;指數式與對數式的互化. 【專題】函數的性質及應用. 【分析】把2a=5b=100,化為a=log210
16、0,b=log5100,分別計算ab,a+b,即可得出. 【解答】解:∵2a=5b=100, ∴a=log2100,b=log5100, ∴ab=log2100?log5100== a+b===. ∴2(a+b)=ab. 故選:A. 【點評】本題考查了指數式與對數式的互化、對數的運算性質,屬于基礎題. 10.設f(x)是奇函數,且在(0,+∞)內是增函數,又f(﹣3)=0,則(x﹣1)?f(x)<0的解集是( ?。? A.{x|﹣3<x<0或1<x<3} B.{x|1<x<3} C.{x|x>3或x<﹣3} D.{x|x<﹣3或x>1} 【考點】奇偶性與單調性的綜合.
17、 【專題】函數的性質及應用. 【分析】利用函數奇偶性和單調性之間的關系得到不等式f(x)>0和f(x)<0的解,然后將不等式(x﹣1)?f(x)<0轉化為或,進行求解. 【解答】解:∵f(x)是奇函數,且在(0,+∞)內是增函數, ∴f(x)在(﹣∞,0)內是增函數, ∵f(﹣3)=﹣f(3)=0, ∴f(3)=0. 則當﹣3<x<0或x>3時,f(x)>0, 當0<x<3或x<﹣3時,f(x)<0, 則不等式(x﹣1)?f(x)<0等價為: ①或,② 由①得,即解得1<x<3. 由②得即解得﹣3<x<0. 綜上:1<x<3或﹣3<x<0. 故不等式的解集為:(1,
18、3)∪(﹣3,0). 【點評】本題主要考查函數奇偶性和單調性之間的關系的應用,利用數形結合是解決本題的關鍵. 11.(5分)(xx?天津)若函數f(x)=,若f(a)>f(﹣a),則實數a的取值范圍是( ?。? A.(﹣1,0)∪(0,1) B.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) C.(﹣1,0)∪(1,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) 【考點】對數值大小的比較. 【專題】函數的性質及應用. 【分析】由分段函數的表達式知,需要對a的正負進行分類討論. 【解答】解:由題意. 故選C. 【點評】本題主要考查函數的對數的單調性、對數的基本運算及分類討論思想,屬于中等題.分類
19、函數不等式一般通過分類討論的方式求解,解對數不等式既要注意真數大于0,也要注意底數在(0,1)上時,不等號的方向不要寫錯. 12.(5分)(xx秋?江北區(qū)校級期中)集合I={1,2,3,4,5},集合A、B為集合I的兩個非空子集,若集合A中元素的最大值小于集合B中元素的最小值,則滿足條件的A、B的不同情形有( ?。┓N. A.46 B.47 C.48 D.49 【考點】元素與集合關系的判斷. 【專題】分類討論;綜合法;集合. 【分析】通過討論B中最小元素,從而判斷出符合條件的集合A,求和即可. 【解答】解:(1).B中最小元素是5時: B={5},A可以為{1,2,3,4}的
20、非空子集,共15個, 如 A={1,2,3,4},A={1,2,3}等,共15個組合; (2).B中最小元素是4時: B有{4,5}{4}兩種,A可以為{1,2,3}的非空子集,共7個, 共14個組合 (3).B中最小元素是3時: B有{3},{3,4},{3,5},{3,4,5}四種,A可以為{1,2}的非空子集,共3個, 共12個組合; (4).B中最小元素是2時: B有{2},{2,3},{2,4},{2,5}{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5}{2,3,4,5}八種,A={1}, 共8個組合; 綜上,共15+14+12+8=49; 故選:D. 【點評
21、】本題考查排列組合的實際應用,本題解題的關鍵是理解題意,能夠看懂使B中的最小數大于A中的最大數的意義,本題是一個難題也是一個易錯題,需要認真解答. 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中橫線上) 13.函數y=的定義域為 ?。? 【考點】函數的定義域及其求法. 【專題】函數的性質及應用. 【分析】令y=,u=log0.5(4x﹣3),必須滿足,解之即可. 【解答】解:∵log0.5(4x﹣3)≥0,∴0<4x﹣3≤1,解之得. ∴函數y=的定義域為. 故答案為. 【點評】本題考查了復合函數的定義域,掌握函數y=和y=logax的定義域是解決問題的
22、關鍵. 14.化簡: 3?。? 【考點】對數的運算性質. 【專題】函數的性質及應用. 【分析】利用對數的運算性質、lg2+lg5=1即可得出. 【解答】解:原式=2+lg2(lg2+lg5)+lg5 =2+lg2+lg5 =2+1 =3. 故答案為:3. 【點評】本題考查了對數的運算性質、lg2+lg5=1.屬于基礎題. 15.已知函數f(x)=﹣(x﹣1)+log2,則f()+f(﹣)= 2?。? 【考點】函數的值. 【專題】計算題;轉化思想;換元法;函數的性質及應用. 【分析】推導出f(x)+f(﹣x)==2,由此能求出f()+f(﹣)的值. 【解答】
23、解:∵f(x)=﹣(x﹣1)+log2, ∴=x+1﹣, ∴f(x)+f(﹣x)=﹣x+1++x+x﹣=2, ∴f()+f(﹣)=2. 故答案為:2. 【點評】本題考查函數值的求法,是基礎題,解題時要認真審題,注意函數性質的合理運用. 16.(5分)(xx秋?江北區(qū)校級期中)在定義域內給定區(qū)間[a,b]上存在x0(a<x0<b)滿足f(x0)=,則稱函數y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的“平均值函數”,x0是它的一個均值點.若函數f(x)=﹣x2+mx+1是[﹣1,1]上的平均值函數,則實數m的取值范圍是 (0,2)?。? 【考點】函數與方程的綜合運用;函數單調性的性質. 【
24、專題】計算題;定義法;函數的性質及應用. 【分析】函數f(x)=﹣x2+mx+1是區(qū)間[﹣1,1]上的平均值函數,故有﹣x2+mx+1=在(﹣1,1)內有實數根,求出方程的根,讓其在(﹣1,1)內,即可求出實數m的取值范圍 【解答】解:∵函數f(x)=﹣x2+mx+1是區(qū)間[﹣1,1]上的平均值函數, ∴關于x的方程﹣x2+mx+1=在(﹣1,1)內有實數根. 即﹣x2+mx+1=m在(﹣1,1)內有實數根. 即x2﹣mx+m﹣1=0,解得x=m﹣1,x=1. 又1?(﹣1,1) ∴x=m﹣1必為均值點, 即﹣1<m﹣1<1?0<m<2. ∴所求實數m的取值范圍是(0,2).
25、 故答案為:(0,2) 【點評】本題主要是在新定義下考查二次方程根的問題.在做關于新定義的題目時,一定要先認真的研究定義理解定義,再按定義做題. 三、解答題(本大題共6小題,70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 17.(10分)(xx秋?江北區(qū)校級期中)(1)設,證明:f(2x)=2f(x)?g(x); (2)若xlog34=1,求4x+4﹣x的值. 【考點】對數的運算性質. 【專題】函數的性質及應用. 【分析】(1)利用指數的運算性質即可得出; (2)利用對數的運算性質和對數恒等式即可得出. 【解答】(1)證明:∵, , ∴f(2x)=2f(x
26、)?g(x). (2)解:∵xlog34=1,∴x=log43, 由對數的定義及性質得, ∴. 【點評】本題考查了指數的運算性質、對數的運算性質和對數恒等式,屬于基礎題. 18.(12分)(xx秋?江北區(qū)校級期中)設集合A={x|﹣2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m﹣1}. (1)若A∩B=B,求m的取值范圍; (2)若,求m的取值范圍. 【考點】交集及其運算. 【專題】計算題;集合. 【分析】(1)若A∩B=B,則B?A,說明B是A的子集,需要注意集合B=?的情形. (2)考慮A∩B=?,再求補集. 【解答】解:(1)∵A∩B=B, ∴B?A, B=?
27、,則m+1>2m﹣1,即m<2時,B?A; B≠?,則m+1≤2m﹣1,即m≥2時,∵B?A,∴,∴﹣3≤m≤3,∴2≤m≤3, 綜上,m≤3; (2)考慮A∩B=, ∵x∈R,且A={x|﹣2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m﹣1}, ∴①若B=,即m+1>2m﹣1,得m<2時滿足條件; ②若B≠,則m+1≤2m﹣1,即m≥2時,要滿足的條件是m+1>5或2m﹣1<﹣2,解得m>4. 綜上,有m<2或m>4, ∴A∩B≠,m的取值范圍是2≤m≤4. 【點評】若B?A,需要注意集合B能否是空集,必要時要進行討論. 19.(12分)(xx秋?江北區(qū)校級期中)在20世
28、紀30年代,地震科學家制定了一種表明地震能量大小的尺度,就是利用測震儀衡量地震的能量等級,等級M與地震的最大振幅A之間滿足函數關系M=lgA﹣lgA0,(其中A0表示標準地震的振幅) (1)假設在一次4級地震中,測得地震的最大振幅是10,求M關于A的函數解析式; (2)地震的震級相差雖小,但帶來的破壞性很大,計算8級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的多少倍. 【考點】對數的運算性質;函數解析式的求解及常用方法;函數模型的選擇與應用. 【專題】函數的性質及應用. 【分析】(1)將M=4,A=10代入函數關系M=lgA﹣lgA0,利用對數的運算性質即可得出; (2)記8級地震的最大振幅
29、為A8,5級地震的最大振幅為A5,代入函數關系M=lgA﹣lgA0,即可得出. 【解答】解:(1)將M=4,A=10代入函數關系M=lgA﹣lgA0: 4=lg10﹣lgA0?lgA0=﹣3,解得A0=0.001, ∴函數解析式為M=lgA+3. (2)記8級地震的最大振幅為A8,5級地震的最大振幅為A5, 則, 同理, ∴A8:A5=1000. 【點評】本題考查了對數的運算性質,屬于基礎題. 20.(12分)(xx秋?江北區(qū)校級期中)已知定義在R的奇函數f(x)滿足當x>0時,f(x)=|2x﹣2|, (1)求函數f(x)的解析式;
30、(2)在圖中的坐標系中作出函數y=f(x)的圖象,并找出函數的單調區(qū)間; (3)若集合{x|f(x)=a}恰有兩個元素,結合函數f(x)的圖象求實數a應滿足的條件. 【考點】函數奇偶性的性質;函數解析式的求解及常用方法. 【專題】函數的性質及應用. 【分析】(1)利用奇函數的性質即可得出; (2)如圖所示,由圖象即可得出單調區(qū)間; (3)作直線y=a與函數y=f(x)的圖象有兩個交點,即可得出a的取值范圍. 【解答】解:(1)設x<0,則﹣x>0, ∴, 又f(﹣x)=﹣f(x), ∴. ∴函數f(x)的解析式為: (2)圖象如圖所示, 由圖象得函數的減區(qū)間為[﹣
31、1,0)和(0,1]. 增區(qū)間為(﹣∞,﹣1]和[1,+∞). (3)作直線y=a與函數y=f(x)的圖象有兩個交點, 則a∈(﹣1,0)∪(0,1). 【點評】本題考查了奇函數的圖象與單調性、直線與相交的交點問題,考查了數形結合的思想方法,考查了推理能力和計算能力,屬于中檔題. 21.(12分)(xx秋?江北區(qū)校級期中)已知函數f(x)=ln(x+), (Ⅰ)判斷并證明函數y=f(x)的奇偶性; (Ⅱ)判斷并證明函數y=f(x)在R上的單調性; (Ⅲ)當x∈[1,2]時,不等式f(a?4x)+f(2x+1)>0恒成立,求實數a的取值范圍. 【考點】函數奇偶性的性質
32、;函數單調性的判斷與證明. 【專題】函數的性質及應用;不等式的解法及應用. 【分析】(1)求出函數的定義域,然后結合f(﹣x)=﹣f(x)可得函數的奇偶性; (2)直接利用函數單調性的定義證明; (3)把不等式f(a?4x)+f(2x+1)>0轉化為f(a?4x)>﹣f(2x+1),結合函數是奇函數得到,由復合函數的單調性求得在區(qū)間[1,2]上的最大值,則答案可求. 【解答】解:(1)函數f(x)=ln(x+)為奇函數. 要使函數有意義,則, ∵, ∴的解集為R,即函數f(x)的定義域為R, 又, ∴函數y=f(x)是奇函數; (2)設x1,x2∈[0,+∞),且x1<x
33、2, 則, ∵0≤x1<x2, ∴, ∴, 即, ∴f(x1)<f(x2). ∴函數y=f(x)在[0,+∞)上為增函數, 又f(x)為奇函數, ∴函數y=f(x)在R上為增函數; (3)不等式f(a?4x)+f(2x+1)>0等價于f(a?4x)>﹣f(2x+1). ∵f(﹣x)=﹣f(x), ∴f(a?4x)>f(﹣2x﹣1). 函數y=f(x)在R上為增函數, ∴原不等式等價于a?4x>﹣2x﹣1, 即在區(qū)間[1,2]上恒成立, 只需. 令, 由復合函數的單調性知,在區(qū)間[1,2]上為增函數. ∴當x=2時,. 即. 【點評】本題考查了函數的單調
34、性與奇偶性的判斷與證明,考查了數學轉化思想方法及分離變量法,訓練了利用函數的單調性求函數的最值,是中檔題. 22.(12分)(xx秋?江北區(qū)校級期中)已知函數f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0),對任意的x∈R,都有f(x﹣4)=f(2﹣x)成立, (1)求2a﹣b的值; (2)函數f(x)取得最小值0,且對任意x∈R,不等式x≤f(x)≤()2恒成立,求函數f(x)的解析式; (3)若方程f(x)=x沒有實數根,判斷方程f(f(x))=x根的情況,并說明理由. 【考點】二次函數的性質. 【專題】函數的性質及應用. 【分析】(1)由f(x﹣4)=f(2﹣x)
35、成立,可得函數y=f(x)圖象的對稱軸方程為 x=﹣=﹣1,由此求得 2a﹣b的值. (2)當x=﹣1 時,f(x)=a﹣b+c=0,對于不等式x≤f(x)≤()2 ,當x=1時,由1≤f(1)≤1,可得f(1)=a+b+c=1.求得a、b、c的值,可得函數的解析式. (3)由題意可得,當a>0時,不等式f(x)>x恒成立,f(f(x))>f(x)>x,方程f(f(x))=x無實數解.當a<0時,由不等式f(x)<x恒成立,可得f(f(x))<f(x)<x,方程f(f(x))=x無實數解,綜合可得結論. 【解答】解:(1)由f(x﹣4)=f(2﹣x)成立,可得函數y=f(x
36、)圖象的對稱軸方程為x==﹣1, ∴﹣=﹣1,∴2a﹣b=0. (2)當x=﹣1 時,f(x)=a﹣b+c=0, 對于不等式x≤f(x)≤()2 ,當x=1時,有1≤f(1)≤1,∴f(1)=a+b+c=1. 由以上方程解得 a==c,b=,∴函數的解析式為. (3)因為方程f(x)=x無實根,所以當a>0時,不等式f(x)>x恒成立, ∴f(f(x))>f(x)>x,故方程f(f(x))=x無實數解. 當a<0時,不等式f(x)<x恒成立,∴f(f(x))<f(x)<x, 故方程f(f(x))=x無實數解, 綜上得:方程f(f(x))=x無實數解. 【點評】本題主要考查二次函數的性質,體現(xiàn)了轉化的數學思想,屬于中檔題.
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