（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第5節(jié) 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)學(xué)案 理

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1、 第5節(jié)　直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 最新考綱　1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題． 知 識(shí) 梳 理 1．直線與平面垂直 (1)直線和平面垂直的定義 如果一條直線l與平面α內(nèi)的任意直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直． (2)判定定理與性質(zhì)定理 文字語(yǔ)言 圖形表示 符號(hào)表示 判定定理 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直 ?l⊥α 性質(zhì)定理 兩直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行 ?a∥b

2、 2.平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的定義 兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直． (2)判定定理與性質(zhì)定理 文字語(yǔ)言 圖形表示 符號(hào)表示 判定定理 一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直 ?α⊥β 性質(zhì)定理 如果兩個(gè)平面互相垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面 ?l⊥α [常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒] 1．垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 2．直線與平面垂直的五個(gè)結(jié)論 (1)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線． (2)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂

3、直于這個(gè)平面． (3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行． (4)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直． (5)過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直． 診 斷 自 測(cè) 1．思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.(　　) (2)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行．(　　) (3)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面．(　　) (4)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則α⊥β.(　　) 解析　(1)直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則有l(wèi)⊥α或l與α斜交或l?α或l∥α，故(1)錯(cuò)誤． (2)垂

4、直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行或相交，故(2)錯(cuò)誤． (3)若兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線可能垂直于另一平面，也可能與另一平面平行，也可能與另一平面相交，也可能在另一平面內(nèi)，故(3)錯(cuò)誤． (4)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的所有直線，則α⊥β，故(4)錯(cuò)誤． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(必修2P56A組7T改編)下列命題中錯(cuò)誤的是(　　) A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．

5、如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β 解析　對(duì)于D，若平面α⊥平面β，則平面α內(nèi)的直線可能不垂直于平面β，即與平面β的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面β內(nèi)，其他選項(xiàng)易知均是正確的． 答案　D 3．(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則(　　) A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 解析　因?yàn)棣痢搔拢絣，所以l?β，又n⊥β，所以n⊥l， 故選C. 答案　C 4．(2017·全國(guó)Ⅲ卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則(　　) A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD

6、 C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC 解析　如圖，由題設(shè)知，A1B1⊥平面BCC1B1且BC1?平面BCC1B1，從而A1B1⊥BC1，又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E?平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1. 答案　C 5．(2017·浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝.將△ABD沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中，(　　) A．存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直 B．存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直 C．存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直 D．對(duì)任意位置，三對(duì)

7、直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直 解析　若AB⊥CD，BC⊥CD，則可得CD⊥平面ACB，因此有CD⊥AC.因?yàn)锳B＝1，BC＝AD＝，CD＝1，所以AC＝1，所以存在某個(gè)位置，使得AB⊥CD. 答案　B 6．(必修2P67練習(xí)2改編)在三棱錐P－ABC中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O， (1)若PA＝PB＝PC，則點(diǎn)O是△ABC的________心． (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點(diǎn)O是△ABC的________心． 解析　(1)如圖1，連接OA，OB，OC，OP， 在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，

8、所以O(shè)A＝OB＝OC，即O為△ABC的外心． 　　 　　 　　圖1　 　　　　　　圖2 (2)如圖2，∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P， ∴PC⊥平面PAB，AB?平面PAB， ∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P， ∴AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC，∴AB⊥CG， 即CG為△ABC邊AB的高． 同理可證BD，AH分別為△ABC邊AC，BC上的高，即O為△ABC的垂心． 答案　(1)外　(2)垂 考點(diǎn)一　線面垂直的判定與性質(zhì) 【例1】 如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD， AB⊥AD，AC⊥CD， ∠ABC＝60°，PA＝A

9、B＝BC，E是PC的中點(diǎn)．證明： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 證明　(1)在四棱錐P－ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD， 又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC， ∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC. 由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面PCD. 而PD?平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD， ∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A， ∴AB

10、⊥平面PAD，而PD?平面PAD， ∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE. 規(guī)律方法　(1)證明直線和平面垂直的常用方法有： ①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l?β?l⊥α)． (2)證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想． 【訓(xùn)練1】 如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且AD＝DB，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且BC＝AC，PD⊥平面ABC，PD＝

11、DB. 求證：PA⊥CD. 證明　因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以AC⊥CB. 在Rt△ABC中，由AC＝BC得，∠ABC＝30°. 設(shè)AD＝1，由3AD＝DB得，DB＝3，BC＝2. 由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 30°＝3， 所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AB. 因?yàn)镻D⊥平面ABC，CD?平面ABC， 所以PD⊥CD，由PD∩AB＝D得，CD⊥平面PAB， 又PA?平面PAB，所以PA⊥CD. 考點(diǎn)二　面面垂直的判定與性質(zhì) 【例2】 (2017·江蘇卷)如圖，在三棱錐A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)

12、(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求證：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC. 證明　(1)在平面ABD內(nèi)，AB⊥AD，EF⊥AD， 則AB∥EF. ∵AB?平面ABC，EF?平面ABC， ∴EF∥平面ABC. (2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴BC⊥平面ABD. ∵AD?平面ABD，∴BC⊥AD. 又AB⊥AD，BC，AB?平面ABC，BC∩AB＝B， ∴AD⊥平面ABC，又因?yàn)锳C?平面ABC，∴AD⊥AC. 規(guī)律方法　(1)證明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定義；②面面

13、垂直的判定定理． (2)已知兩平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直． 【訓(xùn)練2】 (2017·山東卷)由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱錐C1－B1CD1后得到的幾何體如圖所示．四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，A1E⊥平面ABCD. (1)證明：A1O∥平面B1CD1； (2)設(shè)M是OD的中點(diǎn)，證明：平面A1EM⊥平面B1CD1. 證明　(1)取B1D1的中點(diǎn)O1，連接CO1，A1O1， 由于ABCD－A1B1C1D1是四棱柱， 所以A1O1∥OC，A1O1＝OC， 因

14、此四邊形A1OCO1為平行四邊形， 所以A1O∥O1C， 又O1C?平面B1CD1，A1O?平面B1CD1， 所以A1O∥平面B1CD1. (2)因?yàn)锳C⊥BD，E，M分別為AD和OD的中點(diǎn)， 所以EM⊥BD， 又A1E⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， 所以A1E⊥BD， 因?yàn)锽1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1， 又A1E，EM?平面A1EM，A1E∩EM＝E， 所以B1D1⊥平面A1EM， 又B1D1?平面B1CD1， 所以平面A1EM⊥平面B1CD1. 考點(diǎn)三　平行與垂直的綜合問題(多維探究) 命題角度1　多面體中平行與垂直關(guān)系的證明

15、 【例3－1】 如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求證： (1)直線DE∥平面A1C1F； (2)平面B1DE⊥平面A1C1F. 證明　(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC. 在△ABC中，因?yàn)镈，E分別為AB，BC的中點(diǎn)， 所以DE∥AC，于是DE∥A1C1. 又因?yàn)镈E?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F， 所以直線DE∥平面A1C1F. (2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1. 因?yàn)锳1C1?平面A1B1C1，所以A1A⊥A

16、1C1. 又因?yàn)锳1C1⊥A1B1，A1A?平面ABB1A1，A1B1?平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1. 因?yàn)锽1D?平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D. 又因?yàn)锽1D⊥A1F，A1C1?平面A1C1F，A1F?平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F. 因?yàn)橹本€B1D?平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F. 規(guī)律方法　(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化． (2)垂直與平行的結(jié)合問題，求解時(shí)應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用． 命題角度2　平行垂直中探索性

17、問題 【例3－2】 如圖所示，平面ABCD⊥平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BC＝CE，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)． (1)證明：AE∥平面BDF. (2)點(diǎn)M為CD上任意一點(diǎn)，在線段AE上是否存在點(diǎn)P，使得PM⊥BE？若存在，確定點(diǎn)P的位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由． (1)證明　 連接AC交BD于O，連接OF，如圖①. ∵四邊形ABCD是矩形，∴O為AC的中點(diǎn)，又F為EC的中點(diǎn)， ∴OF為△ACE的中位線， ∴OF∥AE，又OF?平面BDF，AE?平面BDF， ∴AE∥平面BDF. (2)解　當(dāng)P為AE中點(diǎn)時(shí)，有PM⊥BE， 證明如下：取BE中點(diǎn)H，連接D

18、P，PH，CH，∵P為AE的中點(diǎn)，H為BE的中點(diǎn)， ∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四點(diǎn)共面． ∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD?平面ABCD，CD⊥BC. ∴CD⊥平面BCE，又BE?平面BCE， ∴CD⊥BE，∵BC＝CE，H為BE的中點(diǎn)，∴CH⊥BE， 又CD∩CH＝C，∴BE⊥平面DPHC，又PM?平面DPHC， ∴BE⊥PM，即PM⊥BE. 規(guī)律方法　(1)求條件探索性問題的主要途徑：①先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；②先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性． (2)涉及點(diǎn)的位置探索

19、性問題一般是先根據(jù)條件猜測(cè)點(diǎn)的位置再給出證明，探索點(diǎn)存在問題，點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中某一個(gè)，也可以根據(jù)相似知識(shí)建點(diǎn)． 【訓(xùn)練3】 (2018·嘉興七校聯(lián)考)在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC＝，AB＝2BC＝2，AC⊥FB. (1)求證：AC⊥平面FBC. (2)求四面體FBCD的體積． (3)線段AC上是否存在點(diǎn)M，使EA∥平面FDM？若存在，請(qǐng)說明其位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由． (1)證明　在△ABC中， 因?yàn)锳C＝，AB＝2，BC＝1，所以AC2＋BC2＝AB2， 所以AC⊥BC. 又因?yàn)锳C⊥FB，BC∩FB

20、＝B， 所以AC⊥平面FBC. (2)解　因?yàn)锳C⊥平面FBC，F(xiàn)C?平面FBC，所以AC⊥FC. 因?yàn)镃D⊥FC，AC∩CD＝C，所以FC⊥平面ABCD. 在等腰梯形ABCD中可得CB＝DC＝1，所以FC＝1. 所以△BCD的面積為S＝. 所以四面體FBCD的體積為VF－BCD＝S·FC＝. (3)解　線段AC上存在點(diǎn)M，且點(diǎn)M為AC中點(diǎn)時(shí)，有EA∥平面FDM.證明如下： 連接CE，與DF交于點(diǎn)N，取AC的中點(diǎn)M，連接MN. 因?yàn)樗倪呅蜟DEF是正方形， 所以點(diǎn)N為CE的中點(diǎn)． 所以EA∥MN.因?yàn)镸N?平面FDM，EA?平面FDM， 所以EA∥平面FDM. 所

21、以線段AC上存在點(diǎn)M，且M為AC的中點(diǎn)，使得EA∥平面FDM成立． 基礎(chǔ)鞏固題組 一、選擇題 1．(2018·紹興檢測(cè))已知平面α⊥平面β，且α∩β＝b，a?α，則“a⊥b”是“a⊥β”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　平面α⊥平面β，且α∩β＝b，a?α，若a⊥b，則a⊥β，充分性成立；平面α⊥平面β，因?yàn)棣痢搔拢絙，所以b?β，若a⊥β，則a⊥b，必要性成立，所以“a⊥b”是“a⊥β”的充要條件，故選C. 答案　C 2．(2015·浙江卷)設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α

22、，m?β(　　) A．若l⊥β，則α⊥β B．若α⊥β，則l⊥m C．若l∥β，則α∥β D．若α∥β，則l∥m 解析　由面面垂直的判定定理，可知A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)中，l與m可能平行；C選項(xiàng)中，α與β可能相交；D選項(xiàng)中，l與m可能異面． 答案　A 3．若平面α，β滿足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P?l，則下列命題中是假命題的為(　　) A．過點(diǎn)P垂直于平面α的直線平行于平面β B．過點(diǎn)P垂直于直線l的直線在平面α內(nèi) C．過點(diǎn)P垂直于平面β的直線在平面α內(nèi) D．過點(diǎn)P且在平面α內(nèi)垂直于l的直線必垂直于平面β 解析　由于過點(diǎn)P垂直于平面α的直線必平行于平面β內(nèi)垂直于交線

23、的直線，因此也平行于平面β，因此A正確．過點(diǎn)P垂直于直線l的直線有可能垂直于平面α，不一定在平面α內(nèi)，因此B不正確．根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理知，選項(xiàng)C，D正確． 答案　B 4．如圖，在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論不成立的是(　　) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC 解析　因?yàn)锽C∥DF，DF?平面PDF， BC?平面PDF， 所以BC∥平面PDF，故選項(xiàng)A正確． 在正四面體中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E， ∴BC⊥平面PAE，DF∥BC，則DF⊥平

24、面PAE，又DF?平面PDF，從而平面PDF⊥平面PAE.因此選項(xiàng)B，C均正確． 答案　D 5．(2017·麗水調(diào)研)設(shè)l是直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是(　　) A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l∥α，l⊥β，則α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，則l∥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β 解析　A中，α∥β或α與β相交，不正確．B中，過直線l作平面γ，設(shè)α∩γ＝l′，則l′∥l，由l⊥β，知l′⊥β，從而α⊥β，B正確．C中，l∥β或l?β，C不正確．D中，l與β的位置關(guān)系不確定． 答案　B 6．如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，

25、把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個(gè)平面后，某學(xué)生得出下列四個(gè)結(jié)論： ①BD⊥AC； ②△BAC是等邊三角形； ③三棱錐D－ABC是正三棱錐； ④平面ADC⊥平面ABC. 其中正確的是(　　) A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 解析　由題意知，BD⊥平面ADC，且AC?平面ADC，故BD⊥AC，①正確；AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等邊三角形，②正確；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正確；由①知④錯(cuò)． 答案　B 二、填空題 7．如圖，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角

26、形的個(gè)數(shù)為________． 解析　∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC?平面ABC， ∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，則△PAB，△PAC為直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，從而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形． 答案　4 8．(2018·杭州質(zhì)檢)設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，m是一條直線，給出下列命題： ①若m⊥α，m?β，則α⊥β； ②若m∥α，α⊥β，則m⊥β. 其中真命題是__________(填序號(hào))． 解析　由面面垂直的判定定理可知①是真命題；若m∥α，α⊥β，則m，β的位置關(guān)系不確定，可能平行、相交或m?β，

27、則②是假命題． 答案?、? 9.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可)． 解析　由題意可知，BD⊥PC. ∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，有PC⊥平面MBD. 又PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD. 答案　DM⊥PC(或BM⊥PC等) 10．(2016·全國(guó)Ⅱ卷改編)α，β是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線． (1)如果m⊥α，n∥α，那么m，n的位置關(guān)系是________； (2)如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所

28、成的角的大小關(guān)系是________． 解析　(1)由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l?α，n∥l，m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n. (2)因?yàn)閙∥n，所以m與α所成的角和n與α所成的角相等．因?yàn)棣痢桅?，所以n與α所成的角和n與β所成的角相等，所以m與α所成的角和n與β所成的角相等． 答案　(1)垂直　(2)相等 三、解答題 11．如圖，在三棱錐P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分別為AB，PA的中點(diǎn)． (1)求證：PB∥平面MNC； (2)若AC＝BC，求證：PA⊥平面MNC. 證明　(1)因?yàn)镸，N分別為AB，PA的中點(diǎn)，所以MN∥PB. 又因?yàn)镸N

29、?平面MNC，PB?平面MNC，所以PB∥平面MNC. (2)因?yàn)镻A⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN. 因?yàn)锳C＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB. 因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABC， CM?平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB. 所以CM⊥平面PAB. 因?yàn)镻A?平面PAB，所以CM⊥PA. 又MN∩CM＝M，所以PA⊥平面MNC. 12．(2016·北京卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC. (1)求證：DC⊥平面PAC； (2)求證：平面PAB⊥平面PAC； (3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得PA∥平

30、面CEF？說明理由． (1)證明　因?yàn)镻C⊥平面ABCD， 所以PC⊥DC.又因?yàn)锳C⊥DC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC. (2)證明　因?yàn)锳B∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC. 因?yàn)镻C⊥平面ABCD，所以PC⊥AB. 又因?yàn)镻C∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC. 又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC. (3)解　棱PB上存在點(diǎn)F，使得PA∥平面CEF. 理由如下：取PB的中點(diǎn)F，連接EF，CE，CF，又因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA.又因?yàn)镻A?平面CEF，且EF?平面CEF， 所以PA∥平面CEF. 能力提升題組 13．(2018·舟

31、山調(diào)研)在三棱錐P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F(xiàn)分別是線段PB，PC上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是(　　) A．當(dāng)AE⊥PB時(shí)，△AEF一定為直角三角形 B．當(dāng)AF⊥PC時(shí)，△AEF一定為直角三角形 C．當(dāng)EF∥平面ABC時(shí)，△AEF一定為直角三角形 D．當(dāng)PC⊥平面AEF時(shí)，△AEF一定為直角三角形 解析　因?yàn)锳P⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以AP⊥BC，又AB⊥BC，且PA和AB是平面PAB內(nèi)兩條相交直線，則BC⊥平面PAB，又AE?平面PAB，所以BC⊥AE，當(dāng)AE⊥PB時(shí)，AE⊥平面PBC，又EF?平面PBC，則AE⊥EF，△AEF一定是直角三角

32、形，A正確；當(dāng)EF∥平面ABC時(shí)，EF在平面PBC內(nèi)，平面PBC與平面ABC相交于BC，則EF∥BC，則EF⊥AE，△AEF一定是直角三角形，C正確；當(dāng)PC⊥平面AEF時(shí)，AE⊥PC，又AE⊥BC，則AE⊥平面PBC，又EF?平面PBC，所以AE⊥EF，△AEF一定是直角三角形，D正確；B中結(jié)論無(wú)法證明． 答案　B 14．(2017·諸暨調(diào)研)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，沿AE，AF，EF把正方形折成一個(gè)四面體，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P，P點(diǎn)在△AEF內(nèi)的射影為O，則下列說法正確的是(　　) A．O是△AEF的垂心 B．O是△AEF的內(nèi)心

33、 C．O是△AEF的外心 D．O是△AEF的重心 解析　由題意可知PA，PE，PF兩兩垂直， 所以PA⊥平面PEF，從而PA⊥EF， 而PO⊥平面AEF，則PO⊥EF，因?yàn)镻O∩PA＝P， 所以EF⊥平面PAO， ∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO， ∴O為△AEF的垂心． 答案　A 15.如圖，已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論中： ①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直線BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°. 其中正確的有________(把所有正確的序號(hào)都填上)． 解析　由PA⊥平面AB

34、C，AE?平面ABC，得PA⊥AE， 又由正六邊形的性質(zhì)得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB?平面PAB，∴AE⊥PB，①正確；又平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②錯(cuò)；由正六邊形的性質(zhì)得BC∥AD，又AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直線BC∥平面PAE也不成立，③錯(cuò)；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正確． 答案　①④ 16.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD. (1)在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PAB，并說

35、明理由． (2)證明：平面PAB⊥平面PBD. (1)解　取棱AD的中點(diǎn)M(M∈平面PAD)，點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn)，理由如下： 因?yàn)锳D∥BC，BC＝AD.所以BC∥AM，且BC＝AM. 所以四邊形AMCB是平行四邊形，從而CM∥AB. 又AB?平面PAB.CM?平面PAB. 所以CM∥平面PAB. (說明：取棱PD的中點(diǎn)N，則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn)) (2)證明　由已知，PA⊥AB，PA⊥CD. 因?yàn)锳D∥BC，BC＝AD， 所以直線AB與CD相交， 所以PA⊥平面ABCD. 又BD?平面ABCD， 從而PA⊥BD. 因?yàn)锳D∥BC，BC＝AD，

36、M為AD的中點(diǎn)，連接BM， 所以BC∥MD，且BC＝MD. 所以四邊形BCDM是平行四邊形， 所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB. 又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB. 又BD?平面PBD， 所以平面PAB⊥平面PBD. 17．如圖，三棱臺(tái)DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點(diǎn)． (1)求證：BD∥平面FGH； (2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求證：平面BCD⊥平面EGH. 證明　(1)連接DG，CD，設(shè)CD∩GF＝M，連接MH. 在三棱臺(tái)DEF－ABC中， AB＝2DE，G為AC中點(diǎn)， 可得DF∥GC，且DF＝GC， 則四邊形DFCG為平行四邊形． 從而M為CD的中點(diǎn)， 又H為BC的中點(diǎn)， 所以HM∥BD，又HM?平面FGH，BD?平面FGH， 故BD∥平面FGH. (2)連接HE，因?yàn)镚，H分別為AC，BC的中點(diǎn)， 所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC. 又H為BC的中點(diǎn)，所以EF∥HC，EF＝HC， 因此四邊形EFCH是平行四邊形， 所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC. 又HE，GH?平面EGH，HE∩GH＝H， 所以BC⊥平面EGH. 又BC?平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH. 19