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1、2022高中數學 第3章 不等式 第二節(jié) 一元二次不等式學案 蘇教版必修5
一、考點突破
知識點
課標要求
題型
說明
一元二次不等式
1. 掌握簡單的一元二次不等式的解法。
2. 掌握一元二次不等式與相應的函數、方程的關系。
選擇題
填空題
一元二次不等式是解不等式的基礎，要認真掌握。并注意體會不等式、函數、方程間的相互轉化思想。
二、重難點提示
重點：理解一元二次不等式與一元二次方程、二次函數的關系；理解一元二次不等式的恒成立問題；從實際情境中抽象出一元二次不等式模型。
難點：理解二次函數圖象、一元二次方程的根與一元二次不等式解集之間的關系。
2、考點一：一元二次不等式及其解集
（1）概念
形如或（其中）的不等式叫做一元二次不等式。
（2）與二次方程、二次函數的關系
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c
（a＞0）的圖象
ax2＋bx＋c＝0
（a＞0）的根
有兩個不相等的實數根x1，x2且x1＜x2
有兩個相等的
實數根x1，x2
沒有實數根
ax2＋bx＋c＞0
（a＞0）的解集
{x|x＞x2或x＜x1}
{x|x≠－}
R
ax2＋bx＋c＜0 （a＞0）的解集
{x|x1＜x＜x2}
?
?
考點二：一元二次不等式的解法
解一元二次不
3、等式的一般步驟是：
（1）對不等式變形，使一端為零且二次項系數大于零；
（2）計算相應的判別式；
（3）當時，求出相應的一元二次方程的根；
（4）根據一元二次不等式解的結構，寫出其解。
【核心歸納】
其中對的解的結構可記為“”的解為“大于大根或小于小根”，“”的解為“大于小根且小于大根”，總結為“大于0取兩邊，小于0去中間”。
【隨堂練習】若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|－3＜x＜4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b＜0的解集。
思路分析：由不等式的解集→方程的解→利用韋達定理求a、b、c關系→解所求不等式
答案：∵ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|－3＜x＜
4、4}，
∴a＜0且－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根。
由韋達定理，得
即
∵不等式bx2＋2ax－c－3b＜0，
∴－ax2＋2ax＋15a＜0，即x2－2x －15＜0。
故所求的不等式的解集為{x|－3＜x＜5}。
技巧點撥：
1. 一元二次不等式解集的區(qū)間端點值就是相應方程的實根，也是相應二次函數的零點，三者之間的相互轉化是本題求解的關鍵。
2. 由一元二次不等式解集的情況，還可判斷出二次項系數的正負，解題時也要注意到。
例題1 （一元二次不等式的基本解法）
解下列不等式：
（1）2x2－3x－2＞0；（2） 2x2－4x＋7＜0；
（3）－6
5、x2－x＋2≥0；（4）－4x2≥1－4x。
思路分析：化一邊為0→二次項系數化為正→求對應方程的根→二次函數圖象與解集
答案：（1）∵Δ＝（－3）2－4×2×（－2）＝25＞0，
∴方程2x2－3x－2＝0的兩根是－，2，
∴原不等式的解集為；
（2）∵Δ＝（－4）2－4×2×7＜0，
∴不等式2x2－4x＋7＜0的解集為；
（3）原不等式可化為6x2＋x－2≤0，
∵Δ＝12－4×6×（－2）＞0，
∴方程6x2＋x－2＝0的兩根是－，，
∴原不等式的解集為；
（4）原不等式可化為4x2－4x＋1≤0，即（2x－1）2≤0，
∴原不等式的解集是；
技巧點撥：
1
6、. 本題給出了解一元二次不等式的各種常見類型，要認真體會。
2. 一元二次不等式的解集一定要寫成集合或區(qū)間的形式，尤其要注意“>”與“≥”，“<”與“≤”符號的區(qū)分。
例題2 （含參數的一元二次不等式的解法）
解關于x的不等式：ax2－（a＋1）x＋1＜0（a∈R）。
思路分析：當a＝0時，不等式的解集→a＜0時，不等式的解集→a＞0時不等式的解集
答案：若a＝0，原不等式可化為－x＋1＜0，
即x＞1；
若a＜0，原不等式可化為（x－）（x－1）＞0，
即x＜或x＞1；
若a＞0，原不等式可化為（x－）（x－1）＜0。（*）
其解的情況應由與1的大小關系決定，故
7、（1）當a＝1時，由（*）式可得x∈；
（2）當a＞1時，由（*）式可得＜x＜1；
（3）當0＜a＜1時，由（*）式可得1＜x＜。
綜上所述：當a＜0時，解集為{x|x＜或x＞1}；
當a＝0時，解集為{x|x＞1}；
當0＜a＜1時，解集為{x|1＜x＜}；
當a＝1時，解集為?；
當a＞1時，解集為{x|＜x＜1}。
技巧點撥：
1. 含參數的一元二次不等式中，若二次項系數為參數，則應先考慮二次項系數是否為零，然后再討論二次項系數不為零時的情形，以便確定解集的形式。
2. 其次對方程的根比較大小，由根的大小確定參數的范圍，然后根據范圍對參數分類討論。
例題3 （
8、恒成立問題）
若（m＋1）x2－（m－1）x＋3（m－1）＜0對任何實數x恒成立，求實數m的取值范圍。
思路分析：對任何實數x恒成立?不等式解集為實數集R→討論m＋1的取值情況
答案：由題意可知當m＋1＝0，即m＝－1時，
原不等式可化為2x－6＜0，
解得x＜3，不符合題意，應舍去；
當m＋1≠0時，由（m＋1）x2－（m－1）x＋3（m－1）＜0對任何實數x恒成立，
則有
解得m＜－。
綜上所述，實數m的取值范圍是（－∞，－）。
技巧點撥：
1. 不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全體實數（或恒成立）的條件是當a＝0時，b＝0，c>0；
當a≠0時，
2. 不等式
9、ax2＋bx＋c<0的解集是全體實數（或恒成立）的條件是當a＝0時，b＝0，c<0；
當a≠0時，
類似地，還有f（x）≤a恒成立?[f（x）]max≤a；f（x）≥a恒成立?[f（x）]min≥a。
【綜合拓展】
綜合型不等式的解法
（1）解不等式（x＋1）（2－x）（x－3）＞0。
（2）設a＜1，解關于x的不等式。
思路分析：（1）兩邊都乘以，再利用根軸法求解。
（2）解含參數的不等式時，一般要利用轉化思想和分類討論思想，在轉化時一定要注意等價性原則。
答案：（1）原不等式可化為（x＋1）（x－2）（x－3）＜0，且方程（x＋1）（x－2）（x－3）＝0的
10、根為x1＝－1，x2＝2，x3＝3，
則由穿針引線法（如圖）可得原不等式的解集為{x|x＜－1或2＜x＜3}。
（2）原不等式可化為
①當a＝0時，化為＞0，
∴－2＜x＜0；
②當0＜a＜1時，化為＞0，
此時－2＜－a＜，∴－2＜x＜－a或x＞。
③當a＜0時，化為＜0；
當a＜－時，有x＜－2或＜x＜－a；
當a＝－時，有x＜且x≠－2；
當－＜a＜0時，有x＜或－2＜x＜－a。
綜上所述，當a＝0時，不等式的解集為{x|－2＜x＜0}；
當0＜a＜1時，不等式的解集為{x|－2＜x＜－a或x＞}；
當a＜－時，不等式的解集為{x|x＜－2或＜x＜－a}；
11、
當a＝－時，不等式的解集為{x|x＜且x≠－2}；
當－＜a＜0時，不等式的解集為{x|x＜或－2＜x＜－a}。
技巧點撥：
解一元高次不等式關鍵是掌握根軸法的規(guī)則。
解分式不等式的主要方法是移項、通分、因式分解、右邊化為0，利用實數運算的符號法則等價轉化為整式不等式（組）求解，本題第二步含有參數的分式不等式，解含參數的不等式要注意以下基本策略：
1. 分清主變量與參變量，正確實施等價轉化；
2. 在轉化過程中，考慮參數在取值范圍內對運算結果是否有影響，從哪一步開始對結果有影響，就從哪一步展開對參數的討論；
3. 對不同的參數取值范圍所得的結果，不能取交集，也不能取并集（因為不是對主變量x的討論），而應按參數分類的方法依次列出。
2022高中數學 第3章 不等式 第二節(jié) 一元二次不等式學案 蘇教版必修5
