江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 14個(gè)填空題強(qiáng)化練（十二）橢圓、雙曲線和拋物線（含解析）

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1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 14個(gè)填空題強(qiáng)化練（十二）橢圓、雙曲線和拋物線（含解析） 題型一　橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 1．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且PF1∶PF2＝4∶3，則△PF1F2的面積為________． 解析：因?yàn)镻F1＋PF2＝14， 又PF1∶PF2＝4∶3， 所以PF1＝8，PF2＝6. 因?yàn)镕1F2＝10，所以PF1⊥PF2. 所以S△PF1F2＝PF1·PF2＝×8×6＝24. 答案：24 2．一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，)是橢圓上一點(diǎn)，且PF1，F(xiàn)1F2，PF2成等差數(shù)列，則橢圓

2、方程為________________． 解析：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)．由點(diǎn)(2，)在橢圓上，知＋＝1.① 又PF1，F(xiàn)1F2，PF2成等差數(shù)列，則PF1＋PF2＝2F1F2，即2×2c＝2a，＝，② 又c2＝a2－b2，③ 聯(lián)立①②③得a2＝8，b2＝6. 故橢圓方程為＋＝1. 答案：＋＝1 [臨門一腳] 1．求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系數(shù)法)．如若不能確定焦點(diǎn)的位置，則兩種情況都要考慮，這一點(diǎn)一定要注意，不要遺漏，此時(shí)設(shè)所求的橢圓方程為一般形式：Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0且A≠B)；若A＜B，則焦點(diǎn)在x軸上；若A＞B，則焦

3、點(diǎn)在y軸上． 2．橢圓的定義中一定滿足“PF1＋PF2＝2a，且a＞c”，用橢圓的定義求解a，b，c有時(shí)比用方程簡(jiǎn)便． 題型二　橢圓的幾何性質(zhì) 1．橢圓＋＝1的離心率是________． 解析：根據(jù)題意知，a＝3，b＝2，則c＝＝， ∴橢圓的離心率e＝＝. 答案： 2．橢圓x2＋my2＝1的焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則m＝________. 解析：由題意可得， ＝，所以m＝4. 答案：4 3．已知圓C1：x2＋2cx＋y2＝0，圓C2：x2－2cx＋y2＝0，橢圓C：＋＝1(a>b>0)，若圓C1，C2都在橢圓內(nèi)，則橢圓離心率的取值范圍是________． 解析

4、：圓C1，C2都在橢圓內(nèi)等價(jià)于圓C2的右頂點(diǎn)(2c,0)，上頂點(diǎn)(c，c)在橢圓內(nèi)部， ∴只需?0<≤. 答案： 4．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為________． 解析：以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝a2，由原點(diǎn)到直線bx－ay＋2ab＝0的距離d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的離心率e＝ ＝. 答案： [臨門一腳] 1．弄清楚a，b，c，e的幾何意義，以及相關(guān)的點(diǎn)坐標(biāo)、線的方程的表示． 2．求解幾何性質(zhì)之前方程應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)式，否則會(huì)混淆a，b. 3．離

5、心率求解主要是根據(jù)幾何條件建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式． 題型三　雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 1．F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：－＝1的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且|PF1|＝8，則△PF1F2的周長(zhǎng)為________． 解析：由雙曲線的方程可知a＝3，b＝，所以c＝4，則|PF2|＝|PF1|－2a＝2，|F1F2|＝2c＝8，據(jù)此可知△PF1F2的周長(zhǎng)為8＋2＋8＝18. 答案：18 2．已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(2，1)，其一條漸近線方程為y＝x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________． 解析：設(shè)雙曲線的方程為－y2＝λ(λ≠0)，則－12＝λ，解得λ＝1，故雙

6、曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1. 答案：－y2＝1 3．(2018·柳州模擬)設(shè)雙曲線－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點(diǎn)，則|AF2|＋|BF2|的最小值為________． 解析：|AF2|＋|BF2|＝2a＋|AF1|＋2a＋|BF1|＝4a＋|AB|≥4a＋＝4×3＋＝16. 答案：16 4．設(shè)雙曲線與橢圓＋＝1有共同的焦點(diǎn)，且與橢圓相交，其中一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(，4)，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是____________． 解析：法一：橢圓＋＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，±3)，設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，根據(jù)雙曲線的定義知2a＝|－|＝4，

7、故a＝2.又b2＝32－a2＝5，故所求雙曲線的方程為－＝1. 法二：橢圓＋＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，±3)．設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，則a2＋b2＝9，① 又點(diǎn)(，4)在雙曲線上，所以－＝1，② 聯(lián)立①②解得a2＝4，b2＝5.故所求雙曲線的方程為－＝1. 法三：設(shè)雙曲線的方程為＋＝1(27<λ<36)，由于雙曲線過點(diǎn)(，4)，故＋＝1，解得λ1＝32，λ2＝0，經(jīng)檢驗(yàn)λ1＝32，λ2＝0都是分式方程的根，但λ＝0不符合題意，應(yīng)舍去，所以λ＝32. 故所求雙曲線的方程為－＝1. 答案：－＝1 [臨門一腳] 1．先確定焦點(diǎn)是在x軸上還是在y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件

8、確定a2，b2的值，即“先定型，再定量”；如果焦點(diǎn)位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為－＝λ(λ≠0)，再根據(jù)條件求λ的值． 2．雙曲線的定義運(yùn)用時(shí)，首先要分清楚點(diǎn)在雙曲線的哪一支上或在兩支上，否則會(huì)出錯(cuò)． 題型四　雙曲線的幾何性質(zhì) 1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線－＝1的離心率為________． 解析：由已知得，a＝，b＝，則c＝＝3，所以e＝＝. 答案： 2．已知雙曲線－＝1(a>0)的一條漸近線方程為y＝2x，則該雙曲線的焦距為________． 解析：由題意得，＝2，所以a＝，所以c＝＝5，所以該雙曲線的焦距為10. 答案：10 3．(2018·南京高三模擬)在平面

9、直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為2a，則該雙曲線的離心率為________． 解析：由雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為2a得b＝2a，則該雙曲線的離心率e＝＝ ＝. 答案： 4．已知F是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)，E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為________． 解析：由題意得E(a,0)，不妨設(shè)A，B，顯然△ABE是等腰三角形，故當(dāng)△ABE是銳角三角形時(shí)，∠AEB＜90°，從而＜a＋c，化簡(jiǎn)得c2－ac－2a2＜0，即e2－

10、e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，故1＜e＜2. 答案：(1,2) [臨門一腳] 1．雙曲線的離心率與漸近線方程之間有著密切的聯(lián)系，二者之間可以互求．根據(jù)漸近線方程求離心率時(shí)要注意有兩解． 2．在解析幾何中，解決求范圍問題，一般可從以下幾個(gè)方面考慮： (1)與已知范圍聯(lián)系，通過求函數(shù)值域或解不等式來完成； (2)通過一元二次方程的根的判別式Δ的符號(hào)建立不等關(guān)系； (3)利用點(diǎn)在曲線內(nèi)部建立不等式關(guān)系； (4)利用解析式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，如a2，|a|，等的非負(fù)性來完成范圍的求解． 題型五　拋物線 1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y2＝4x上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為3，

11、則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是________． 解析：因?yàn)閽佄锞€方程為y2＝4x，所以焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線l的方程為x＝－1，設(shè)PA⊥l，A為垂足， 所以PF＝PA＝xP－(－1)＝3， 所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是2. 答案：2 2．若點(diǎn)P到直線y＝－1的距離比它到點(diǎn)(0,3)的距離小2，則點(diǎn)P的軌跡方程是________． 解析：由題意可知點(diǎn)P到直線y＝－3的距離等于它到點(diǎn)(0,3)的距離，故點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)(0,3)為焦點(diǎn)，以y＝－3為準(zhǔn)線的拋物線，且p＝6，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝12y. 答案：x2＝12y 3．一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，另外兩點(diǎn)在拋物線y2＝2x上的正三角形的面積為________

12、． 解析：如圖，根據(jù)對(duì)稱性：A，B關(guān)于x軸對(duì)稱，故∠AOx＝30°. 直線OA的方程y＝x，代入y2＝2x，得x2－6x＝0，解得x＝0或x＝6.即得A的坐標(biāo)為(6,2)，所以AB＝4.故正三角形OAB的面積為×4×6＝12. 答案：12 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y2＝6x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足．若直線AF的斜率k＝－，則線段PF的長(zhǎng)為________． 解析：∵拋物線方程為y2＝6x， ∴焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線l的方程為x＝－. ∵直線AF的斜率為－， ∴直線AF的方程為y＝－， 當(dāng)x＝－時(shí)，y＝3， 由此可得A點(diǎn)坐標(biāo)為. ∵PA⊥

13、l，A為垂足，∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，代入拋物線方程，得P點(diǎn)坐標(biāo)為， ∴PF＝PA＝－＝6. 答案：6 [臨門一腳] 1．一次項(xiàng)的變量與焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸的名稱相同，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定拋物線的開口方向，即“對(duì)稱軸看一次項(xiàng)，符號(hào)決定開口方向”． 2．拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程形式要記清楚，求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置和開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 3．求解幾何性質(zhì)時(shí)，首先要把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，其次拋物線方程的p幾何意義要明確． B組——高考提速練 1．若雙曲線x2－＝1的離心率為，則實(shí)數(shù)

14、m＝________. 解析：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知a2＝1，b2＝m，所以a＝1，c＝，所以e＝＝，解得m＝2. 答案：2 2．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，則以A，B為焦點(diǎn)，且過C，D兩點(diǎn)的橢圓的短軸的長(zhǎng)為________． 解析：依題意得AC＝5，所以橢圓的焦距為2c＝AB＝4，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a＝AC＋BC＝8，所以短軸長(zhǎng)為2b＝2＝2＝4. 答案：4 3．拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線截圓x2＋y2－2y－1＝0所得的弦長(zhǎng)為2，則p＝________. 解析：拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線方程為x＝－，而圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝2，圓心坐標(biāo)為(0,1

15、)，半徑為，圓心到準(zhǔn)線的距離為，所以2＋1＝()2，解得p＝2. 答案：2 4．已知P是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓＋＝1(a>b>0)上的一點(diǎn)，若1·2＝0，tan∠PF1F2＝，則此橢圓的離心率為________． 解析：因?yàn)?·2＝0，tan∠PF1F2＝，所以1⊥2，sin∠PF1F2＝，cos∠PF1F2＝.所以PF1＝c，PF2＝c，則PF1＋PF2＝c＝2a，所以e＝＝. 答案： 5．(2018·蘇北四市質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為x－2y＝0，則該雙曲線的離心率為________． 解析：由雙曲線－＝1(a>0，b

16、>0)的一條漸近線方程為x－2y＝0，得＝，則該雙曲線的離心率e＝＝＝. 答案： 6．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)是F(1,0)，若橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)M，N與F構(gòu)成正三角形，則此橢圓的方程為____________． 解析：由△FMN為正三角形，得c＝OF＝MN＝×b＝1.解得b＝，∴a2＝b2＋c2＝4.故橢圓的方程為＋＝1. 答案：＋＝1 7．已知雙曲線C：－y2＝1與直線l：x＋ky＋4＝0，若直線l與雙曲線C的一條漸近線平行，則雙曲線C的右焦點(diǎn)到直線l的距離是________． 解析：由題意得，雙曲線C：－y2＝1的右焦點(diǎn)F(2,0)，其漸近線方程為y＝±x，

17、又直線l：x＋ky＋4＝0與雙曲線C的一條漸近線平行，所以k＝±，所以直線l的方程為x±y＋4＝0，所以雙曲線C的右焦點(diǎn)到直線l的距離d＝＝3. 答案：3 8．(2018·鎮(zhèn)江高三期末)已知雙曲線－y2＝1的左焦點(diǎn)與拋物線y2＝－12x的焦點(diǎn)重合，則雙曲線的右準(zhǔn)線方程為________． 解析：由題意知雙曲線－y2＝1的左焦點(diǎn)為(－3,0)，所以a2＝8，因此雙曲線的右準(zhǔn)線方程為x＝. 答案：x＝ 9．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且過點(diǎn)P(－5,4)，則橢圓的方程為____________． 解析：設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)，將點(diǎn)P(－5,4)代入得＋＝1

18、. 又離心率e＝＝，即e2＝＝＝， 解得a2＝45，b2＝36，故橢圓的方程為＋＝1. 答案：＋＝1 10．已知拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)F是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)，若P，Q是橢圓與拋物線的公共點(diǎn)，且直線PQ經(jīng)過焦點(diǎn)F，則該橢圓的離心率為________． 解析：設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由題意，p＝2c，P(，c)，即P(2c，c)，代入橢圓方程，可得＋＝1，整理可得e4－6e2＋1＝0，∵0＜e＜1，∴e＝－1. 答案：－1 11.如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，OF1為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，

19、B，且△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為________． 解析：連結(jié)AF1，依題意得AF1⊥AF2，∠AF2F1＝30°，AF1＝c，AF2＝c，因此該雙曲線的離心率e＝＝＝＋1. 答案：＋1 12.如圖，已知過橢圓＋＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)A(－a,0)作直線l交y軸于點(diǎn)P，交橢圓于點(diǎn)Q，若△AOP是等腰三角形，且＝2，則橢圓的離心率為________． 解析：法一：因?yàn)椤鰽OP是等腰三角形，所以O(shè)A＝OP，故A(－a,0)，P(0，a)，又＝2，所以Q，由點(diǎn)Q在橢圓上得＋＝1，解得＝，故離心率e＝＝ ＝. 法二：因?yàn)椤鰽OP是等腰三角形，所以O(shè)A＝OP，故直線AP的方

20、程為y＝x＋a，與橢圓方程聯(lián)立并消去y得(a2＋b2)x2＋2a3x＋a2c2＝0，從而(－a)xQ＝，即xQ＝－，又由A(－a,0)，P(0，a)，＝2，得xQ＝－，故－＝－，即5c2＝4a2，e2＝，故e＝. 答案： 13．(2018·南京四校聯(lián)考)已知右焦點(diǎn)為F的雙曲線的離心率為，過點(diǎn)F且與一條漸近線平行的直線l與另一條漸近線交于點(diǎn)A，AF＝2，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________． 解析：法一：由e＝知，雙曲線的漸近線方程為y＝±x，不妨設(shè)直線l：y＝x－c，聯(lián)立得解得A，AF＝＝2，解得c2＝8，又由e＝知，a2＝b2＝4，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 法二：由e＝知，雙曲線的漸近線方程為y＝±x，且兩條漸近線互相垂直，此時(shí)AF＝2＝b＝a，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 答案：－＝1 14.如圖所示，橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為A，離心率為，點(diǎn)P為橢圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)．若S△PF1A∶S△PF1F2＝2∶1，則直線PF1的斜率為________． 解析：連結(jié)AF2交PF1于點(diǎn)B.由S△PF1A∶S△PF1F2＝2∶1得＝.而A(0，b)，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，所以由A，B，F(xiàn)2三點(diǎn)共線得B，kPF1＝＝.又因?yàn)殡x心率為，所以a＝2c，b＝c，故kPF1＝＝. 答案：