福建省2022年中考數(shù)學總復習 第四單元 三角形 課時訓練21 直角三角形及勾股定理練習

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1、福建省2022年中考數(shù)學總復習 第四單元 三角形 課時訓練21 直角三角形及勾股定理練習 1．下列各組數(shù)據(jù)中三個數(shù)作為三角形的邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是(　　) A． B．1， C．6，7，8 D．2，3，4 2．如圖K21－1，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，則BC＝(　　) 圖K21－1 A．6 B．6 C．6 D．12 3．如圖K21－2，正方形ABCD的面積為1，則以相鄰兩邊中點連線EF為

2、邊的正方形EFGH的周長為(　　) 圖K21－2 A． B．2 C．＋1 D．2＋1 4．[xx·揚州]如圖K21－3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，則下列結(jié)論一定成立的是(　　) 圖K21－3 A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC 5．選擇用反證法證明“已知：在△ABC中，∠C＝90°．求證：∠A，∠B中至少有一個角不大于45

3、°”時，應先假設(shè)(　　) A．∠A＞45°，∠B＞45° B．∠A≥45°，∠B≥45° C．∠A＜45°，∠B＜45° D．∠A≤45°，∠B≤45° 6．[xx·徐州]如圖K21－4，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D為AC的中點，若∠C＝55°，則∠ABD＝　　　　．? 圖K21－4 7．[xx·黃岡]如圖K21－5，圓柱形玻璃杯高為14 cm，底面周長為32 cm，在杯內(nèi)壁離杯底5 cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3 cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的

4、最短距離為　　　　 cm(杯壁厚度不計)．? 圖K21－5 8．[xx·淮安]如圖K21－6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分別以A，B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧交點分別為點P，Q，過P，Q兩點作直線交BC于點D，則CD的長是　　　　．? 圖K21－6 9．[xx·荊門]如圖K21－7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E為AB邊的中點，以BE為邊作等邊三角形BDE，連接AD，CD． (1)求證：△ADE≌△CDB； (2)若BC＝，在AC邊上找一點H，使得BH＋EH最小，并求出這個最小值． 圖K21－7

5、 能力提升 10．[xx·東營]如圖K21－8，點E在△DBC的邊DB上，點A在△DBC的內(nèi)部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC，給出下列結(jié)論：①BD＝CE；②∠ABD＋∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2(AD2＋AB2)－CD2． 其中正確的是(　　) 圖K21－8 A．①②③④ B．②④ C．①②④ D．①③④ 11．如圖K21－9，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于點F，若AB＝6，BC＝4，

6、則FD的長為(　　) 圖K21－9 A．2 B．4 C． D．2 12．[xx·銅仁]在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D，E是邊AB上兩點，且CE所在直線垂直平分線段AD，CD平分∠BCE，BC＝2，則AB＝　　　?。? 圖K21－10 13．[xx·齊齊哈爾]如圖K21－11，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝AD，DG＝DC，E，F(xiàn)分別是BG，AC的中點． (1)求證：DE＝DF，DE⊥DF； (2)連接EF，若AC＝10，求EF的長．

7、圖K21－11 拓展練習 14．[xx·十堰]如圖K21－12，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6，點D，E分別是邊BC，AC上的動點，則DA＋DE的最小值為　　　?。? 圖K21－12 15．已知點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點(不與A，B重合)，分別過點A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，Q為斜邊AB的中點． (1)如圖K21－13①，當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關(guān)系是　　　　，QE與QF的數(shù)量關(guān)系是　　　　．? (2)如圖②，當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與

8、QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明． (3)如圖③，當點P在線段BA(或AB)的延長線上時，此時(2)中的結(jié)論是否成立？請畫出圖形并給予證明． 圖K21－13 參考答案 1．B　 2．A　 3．B 4．C　[解析] 根據(jù)同角的余角相等可得出∠BCD＝∠A，根據(jù)角平分線的定義可得出∠ACE＝∠DCE，再結(jié)合 ∠BEC＝∠A＋∠ACE，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE即可得出∠BEC＝∠BCE，利用等角對等邊即可得出BC＝BE． ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠ACD＋∠A

9、＝90°，∴∠BCD＝∠A．∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE． 又∵∠BEC＝∠A＋∠ACE，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE．故選C． 5．A　 6．35° 7．20　[解析] 如圖，點E與點A關(guān)于直線l對稱，連接EB，即為螞蟻爬行的最短路徑，過點B作BC⊥AE于點C，則Rt△EBC中，BC＝32÷2＝16(cm)，EC＝3＋14－5＝12(cm)，所以EB＝＝20(cm)． 8．1．6　[解析] 連接AD， 由作法可知AD＝BD，在Rt△ACD中，AC＝3，設(shè)CD＝x，則AD＝BD＝5－x， 由勾股定理，得CD2＋AC2＝AD2

10、，即x2＋32＝(5－x)2，解得x＝1．6． 故答案為1．6． 9．解：(1)證明：在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，E為AB邊的中點，∴BC＝EA，∠ABC＝60°． ∵△DEB為等邊三角形，∴DB＝DE，∠DEB＝∠DBE＝60°， ∴∠DEA＝120°，∠DBC＝120°，∴∠DEA＝∠DBC，∴△ADE≌△CDB． (2)如圖，作點E關(guān)于直線AC的對稱點E'，連接BE'交AC于點H．則點H即為符合條件的點． 由作圖可知：EH＋BH＝BE'，AE'＝AE，∠E'AC＝∠BAC＝30°， ∴∠EAE'＝60°，∴△EAE'為等邊三角形，∴EE'＝EA＝AB，∴∠AE'

11、B＝90°． 在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝，∴AB＝2，AE'＝AE＝， ∴BE'＝＝3， ∴BH＋EH的最小值為3． 10．A　[解析] ∵∠DAE＝∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠DAE＋∠EAB＝∠CAB＋∠EAB，∠ABC＝∠ACB＝45°，即∠DAB＝∠EAC． ∵AD＝AE，AB＝AC，∴△DAB≌△EAC，∴BD＝CE，∠DBA＝∠ECA，故①正確． ∴∠ABD＋∠ECB＝∠ACE＋∠ECB＝∠ACB＝45°，故②正確． ∵∠ABC＝45°，∴在△EBC中，∠EBA＋∠ABC＋∠ECB＝90°， ∴∠BEC＝90°，即BD⊥CE，故③正確．

12、 在Rt△BEC中，BE2＝BC2－CE2， 在Rt△DEC中，CE2＝DC2－DE2， ∴BE2＝BC2－CE2＝BC2－(DC2－DE2)＝BC2＋DE2－DC2． ∵Rt△ABC與Rt△ADE都是等腰直角三角形， ∴BC2＝2AB2，DE2＝2AD2， ∴BE2＝2AD2＋2AB2－DC2＝2(AD2＋AB2)－DC2，故④正確． 故選A． 11．B 12．4　[解析] 根據(jù)CE垂直平分AD，得AC＝CD，再根據(jù)等腰三角形的三線合一得∠ACE＝∠ECD，結(jié)合角平分線定義和∠ACB＝90°，得∠ACE＝∠ECD＝∠BCD＝30°，所以∠ACD＝∠ADC＝∠A＝60°，∠B

13、＝∠BCD＝30°，在Rt△ACB中，∠B＝30°，BC＝2，∴AB＝4． 13．解：(1)證明：∵AD⊥BC于D，∴∠BDG＝∠ADC＝90°， ∵BD＝AD，DG＝DC，∴△BDG≌△ADC(SAS)，∴BG＝AC． ∵AD⊥BC于D，E，F(xiàn)分別是BG，AC的中點，∴DE＝BG，DF＝AC，∴DE＝DF． ∵DE＝DF，BD＝AD，BE＝AF，∴△BDE≌△ADF(SSS)，∴∠BDE＝∠ADF， ∴∠EDF＝∠EDG＋∠ADF＝∠EDG＋∠BDE＝∠BDG＝90°， ∴DE⊥DF． (2)∵AC＝10，∴DE＝DF＝AC＝×10＝5． ∵∠EDF＝90°，∴EF＝＝5．

14、 14．　[解析] 如圖，作A關(guān)于BC的對稱點A'，連接AA'，交BC于F，過A'作AE⊥AC于E，交BC于D，則AD＝A'D，此時AD＋DE的值最小，就是A'E的長． Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6，∴BC＝＝9， S△ABC＝AB·AC＝BC·AF，∴3×6＝9AF，解得AF＝2，∴AA'＝2AF＝4， ∵∠A'FD＝∠DEC＝90°，∠A'DF＝∠CDE，∴∠A'＝∠C， ∵∠AEA'＝∠BAC＝90°，∴△AEA'∽△BAC，∴，即， ∴A'E＝，即AD＋DE的最小值是． 故答案為． 15．解：(1)AE∥BF　QE＝QF (2)QE＝QF． 證明：如圖①，延長FQ交AE于點D． ∵AE⊥CP，BF⊥CP，∴AE∥BF，∴∠1＝∠2． ∵∠3＝∠4，AQ＝BQ，∴△AQD≌△BQF，∴QD＝QF． ∵AE⊥CP，∴QE為斜邊FD的中線，∴QE＝FD＝QF． (3)此時(2)中結(jié)論仍然成立． 理由：如圖②，延長EQ，F(xiàn)B交于點D． ∵AE⊥CP，BF⊥CP，∴AE∥BF，∴∠1＝∠D． ∵∠2＝∠3，AQ＝BQ，∴△AQE≌△BQD，∴QE＝QD． ∵BF⊥CP，∴FQ為斜邊DE的中線．∴QF＝DE＝QE．