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1、四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第一章 簡易邏輯綜合檢測 新人教A版選修1 -1
一、選擇題
1.命題“若x2<4,則-22或x<-2,則x2>4
D.若x≥2或x≤-2,則x2≥4
【解析】命題“若p,則q”的逆否命題為“若?q,則?p”.故選D.
【答案】D
2.設(shè)p:log2x<0,q:2x≥2,則p是?q的( ).
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
【解析】p:log
2、2x<0,即0β”是“sin α>sin β”成立的( ).
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【解析】取α=180°,β=30°,則α>β,但sin 30°>sin 180°,所以充分性不成立;反過來,取α=30°,β=180°,可以得出必要性也不成立.故選D.
【答案】D
4.下列結(jié)論正確的是( ).
A.若向量a∥b,則存在唯一實(shí)數(shù)λ使a=λb
B.已知向量a,b為非零向量,則“a,b的夾角為鈍角”的充
3、要條件是“a·b<0”
C.“若θ=,則cos θ=”的否命題為“若θ≠,則cos θ≠”
D.若命題p:?x∈R,x2-x+1<0,則?p:?x∈R,x2-x+1>0
【解析】選項(xiàng)A中,若b為零向量,a為非零向量,則不存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb;選項(xiàng)B中,當(dāng)a,b的夾角為180°時(shí),也有a·b<0;選項(xiàng)D中,?p應(yīng)為“?x∈R,x2-x+1≥0”.故選C.
【答案】C
5.已知命題p:?x∈R,2x<3x;命題q:?x∈R,x3=1-x2,則下列命題中為真命題的是( ).
A.p∧q B.(?p)∧q
C.p∧(?q) D.(?p)∧(?q)
【解析】因?yàn)楫?dāng)x=-1時(shí),2-1>
4、3-1,所以命題p:?x∈R,2x<3x為假命題,則?p為真命題.
令f(x)=x3+x2-1,因?yàn)閒(0)=-1<0,f(1)=1>0,所以函數(shù)f(x)=x3+x2-1在(0,1)上存在零點(diǎn),即命題q:?x∈R,x3=1-x2為真命題.
所以(?p)∧q為真命題.
故選B.
【答案】B
6.已知命題p:若不等式x2+x+m>0恒成立,則m>;命題q:在△ABC中,“A>B”是“sin A>sin B”的充要條件,則( ).
A.p假q真 B.“p∧q”為真
C.“p∨q”為假 D.?p假?q真
【解析】易判斷出命題p為真命題,命題q為真命題,所以?p為假命題,?q為假命題,
5、結(jié)合各選項(xiàng)知B正確.
【答案】B
7.給定兩個(gè)命題p,q,若?p是?q的充分不必要條件,則q是p的( ).
A.充要條件 B.必要不充分條件
C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件
【解析】因?yàn)?p是?q的充分不必要條件,所以?p??q,?q?/ ?p,所以q?p,p?/ q,所以q是p的充分不必要條件.
【答案】C
8.下列有關(guān)命題的敘述,錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為( ).
①若p∨q為真命題,則p∧q為真命題;
②“x>5”是“x2-4x-5>0”的充分不必要條件;
③若命題p:?x0∈R,使得+x0-1<0,則?p:?x∈R,使得x2+x-1≥0;
④命題“若x2-3x
6、+2=0,則x=1或x=2”的逆否命題為“若x≠1或x≠2,則x2-3x+2≠0”.
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】若p∨q為真命題,則p,q中至少有一個(gè)為真,所以p∧q不一定為真,所以①錯(cuò)誤.由x2-4x-5>0得x>5或x<-1,所以“x>5”是“x2-4x-5>0”的充分不必要條件,所以②正確.由特稱命題的否定是全稱命題知③正確.“若x2-3x+2=0,則x=1或x=2”的逆否命題為“若x≠1且x≠2,則x2-3x+2≠0”,故④錯(cuò)誤.
【答案】B
9.下列說法正確的個(gè)數(shù)是( ).
①若命題p:?x∈R,使得x2+x-1<0,則?p:?x∈R,均有x2+x-1>
7、0;
②若p是q的必要不充分條件,則?p是?q的充分不必要條件;
③命題“若x=y,則sin x=sin y”的逆否命題為真命題;
④“m=-1”是“直線l1:mx+(2m-1)y+1=0與直線l2:3x+my+3=0垂直”的充要條件.
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】①若命題p:?x∈R,使得x2+x-1<0,則?p:?x∈R,均有x2+x-1≥0,因此①不正確.
②若p是q的必要不充分條件,則?p是?q的充分不必要條件,因此②正確.
③因?yàn)槊}“若x=y,則sin x=sin y”是真命題,所以其逆否命題也為真命題,因此③正確.
④當(dāng)m=0時(shí),直線l1:mx+(
8、2m-1)y+1=0與直線l2:3x+my+3=0垂直;當(dāng)m≠0時(shí),若兩條直線垂直,則-×=-1,解得m=-1.所以“m=-1”是“直線l1:mx+(2m-1)y+1=0與直線l2:3x+my+3=0垂直”的充分不必要條件,因此④不正確.
綜上可得,正確說法的個(gè)數(shù)為2.
【答案】B
10.已知命題p:函數(shù)f(x)=x2-2mx+4在[2,+∞)上單調(diào)遞增;命題q:關(guān)于x的不等式mx2+2(m-2)x+1>0對(duì)任意的x∈R恒成立.若p∨q為真命題,p∧q為假命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為( ).
A.(1,4) B.[-2,4]
C.(-∞,1]∪(2,4) D.(-∞,1)∪(2,
9、4)
【解析】當(dāng)命題p為真命題時(shí),∵函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x=m,∴m≤2.
當(dāng)命題q為真命題時(shí),若m=0,則原不等式為-4x+1>0,該不等式的解集不為R,不符合條件;
若m≠0,則有解得11;
③“φ=+kπ(k∈Z)”是“
10、函數(shù)y=sin(2x+φ)為偶函數(shù)”的充要條件;
④命題p:?x0∈R,使sin x0+cos x0=;命題q:若sin α>sin β,則α>β,那么(?p)∧q為真命題.
其中正確的個(gè)數(shù)是( ).
A.4 B.3 C.2 D.1
【解析】因?yàn)棰僦械脑}為真,所以其逆否命題也為真,所以①錯(cuò)誤.由全稱命題的否定是特稱命題知②正確.當(dāng)函數(shù)為偶函數(shù)時(shí),有φ=+kπ(k∈Z),所以其為充要條件,所以③正確.因?yàn)閟in x+cos x=sin的最大值為<,所以命題p為假命題,?p為真命題,又因?yàn)槿呛瘮?shù)在定義域內(nèi)不單調(diào),所以q為假命題,所以(?p)∧q為假命題,所
11、以④錯(cuò)誤.所以正確的個(gè)數(shù)為2.
【答案】C
12.已知a>0,則x0滿足關(guān)于x的方程ax=b的充要條件是( ).
A.?x0∈R,ax2-bx≤a-bx0
B.?x0∈R,ax2-bx≥a-bx0
C.?x∈R,ax2-bx≤a-bx0
D.?x∈R,ax2-bx≥a-bx0
【解析】因?yàn)閤0滿足方程ax=b,所以x0=.
而ax2-bx-=ax2-bx-a·+b·=ax2-bx+,
令h(x)=ax2-bx+,則其對(duì)應(yīng)的一元二次方程ax2-bx+=0的判別式Δ=b2-4·a·=0.又a>0,故對(duì)?x∈R,有h(x)≥0恒成立,即對(duì)?x∈R,ax2-bx≥a-bx0恒成立.
12、
【答案】D
二、填空題
13.已知命題p:函數(shù)f(x)=log0.5(3-x)的定義域?yàn)?-∞,3);命題q:若k<0,則函數(shù)h(x)=在(0,+∞)上是減函數(shù).給出下列結(jié)論:①命題“p∧q”為真;②命題“p∨(?q)”為假;③命題“p∨q”為假;④命題“(?p)∧(?q)”為假.其中錯(cuò)誤的是 .(填序號(hào))?
【解析】由3-x>0,得x<3,故命題p為真,?p為假.又由k<0,得函數(shù)h(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù),故命題q為假,?q為真.所以命題“p∧q”為假,命題“p∨(?q)”為真,命題“p∨q”為真,命題“(?p)∧(?q)”為假.
【答案】①②③
14.已知p:
13、-40,若?p是?q的充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .?
【解析】p:a-4b+d”是“a>b且c>d”的必要不充分條件.
【解析】①當(dāng)x=1時(shí),x2=x成立,反之,不一
14、定,
所以“x=1”是“x2=x”的充分不必要條件,所以①正確.
②函數(shù)y=cos2kx-sin2kx=cos 2kx,其最小正周期T==,當(dāng)k=1時(shí),T=π;當(dāng)=π時(shí),k=±1.所以②不正確.
③轉(zhuǎn)化為等價(jià)命題,即判斷“x2=1”是“x=1”的充分不必要條件,由于x2=1時(shí),x=±1,不一定有x=1,所以充分條件不成立,所以③不正確.
④a+c>b+d不一定有a>b且c>d,但a>b且c>d時(shí),必有a+c>b+d,所以④正確.
綜上可知,正確結(jié)論的序號(hào)為①④.
【答案】①④
16.命題“對(duì)于正數(shù)a,若a>1,則lg a>0”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中,真命題的個(gè)數(shù)為m.
15、命題“n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根”是真命題,則logmn的值為 .?
【解析】原命題“對(duì)于正數(shù)a,若a>1,則lg a>0”是真命題,逆命題“對(duì)于正數(shù)a,若lg a>0,則a>1”是真命題,所以其否命題與逆否命題都是真命題.所以m=4.
因?yàn)橐辉畏匠蘹2-4x+n=0有整數(shù)根,所以由Δ=16-4n≥0得n≤4,又因?yàn)閚∈N*,所以n=1,2,3,4,驗(yàn)證可知n=3,4符合題意.
因此,logmn=log43或logmn=log44=1.
【答案】log43或1
三、解答題
17.π為圓周率,a,b,c,d∈Q,已知命題p:若aπ+b=cπ+d,則a=
16、c且b=d.
(1)寫出?p并判斷真假;
(2)寫出p的逆命題、否命題及逆否命題并判斷真假.
【解析】(1)?p:若aπ+b=cπ+d,則a≠c或b≠d.
因?yàn)閍,b,c,d∈Q,由aπ+b=cπ+d,
得π(a-c)=d-b∈Q,所以a=c且b=d.
故p是真命題,?p是假命題.
(2)逆命題:若a=c且b=d,則aπ+b=cπ+d.它是真命題.
否命題:若aπ+b≠cπ+d,則a≠c或b≠d.它是真命題.
逆否命題:若a≠c或b≠d,則aπ+b≠cπ+d.它是真命題.
18.給出下列兩個(gè)命題:
命題甲:關(guān)于x的不等式x2+(a-1)x+a2≤0的解集為?;命題乙:函數(shù)
17、y=(2a2-a)x為增函數(shù).
分別求出符合下列條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(1)甲、乙至少有一個(gè)是真命題;
(2)甲、乙中有且只有一個(gè)是真命題.
【解析】當(dāng)命題甲為真時(shí),Δ=(a-1)2-4a2<0,解得a>或a<-1.
當(dāng)命題乙為真時(shí),2a2-a>1,解得a>1或a<-.
(1)當(dāng)甲、乙至少有一個(gè)是真命題時(shí),即上面兩個(gè)范圍取并集,
所以a的取值范圍是.
(2)甲、乙中有且只有一個(gè)是真命題,有兩種情況:
當(dāng)甲真乙假時(shí),
18、x2-2x-3>0的充分條件?
(2)是否存在實(shí)數(shù)m,使得2x+m<0是x2-2x-3>0的必要條件?
【解析】(1)欲使得2x+m<0是x2-2x-3>0的充分條件,則只要?{x|x<-1或x>3},則只要滿足-≤-1,即m≥2.故存在實(shí)數(shù)m≥2,使得2x+m<0是x2-2x-3>0的充分條件.
(2)欲使得2x+m<0是x2-2x-3>0的必要條件,則只要?{x|x<-1或x>3}.而這是不可能的,故不存在實(shí)數(shù)m,使得2x+m<0是x2-2x-3>0的必要條件.
20.設(shè)a,b,c為△ABC的三邊,求證:方程x2+2ax+b2=0與x2+2cx-b2=0有公共根的充要條件是∠A=9
19、0°.
【解析】充分性:因?yàn)椤螦=90°,所以a2=b2+c2.
于是方程x2+2ax+b2=0可化為x2+2ax+a2-c2=0,
所以x2+2ax+(a+c)(a-c)=0.
所以[x+(a+c)][x+(a-c)]=0.
所以該方程有兩根x1=-(a+c),x2=-(a-c),
同樣,方程x2+2cx-b2=0也可化為x2+2cx-(a2-c2)=0,即[x+(c+a)][x+(c-a)]=0,
所以該方程有兩根x3=-(a+c),x4=-(c-a).
可以發(fā)現(xiàn),x1=x3,所以這兩個(gè)方程有公共根.
必要性:設(shè)x是這兩個(gè)方程的公共根,
則
由①+②,得x=-(a+c
20、)或x=0(舍去).
代入①并整理得a2=b2+c2.所以∠A=90°.所以結(jié)論成立.
21.已知a∈R,命題p:對(duì)于x∈[1,2],不等式x2+2ax-2>0恒成立;命題q:關(guān)于x的不等式(a2-1)x2+(a-1)x-2>0的解集為空集.當(dāng)p,q中有且僅有一個(gè)為真命題時(shí),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】因?yàn)閷?duì)于x∈[1,2],不等式x2+2ax-2>0恒成立,所以2a>=-x在x∈[1,2]上恒成立.
令g(x)=-x,則g(x)在[1,2]上是減函數(shù),
所以g(x)max=g(1)=1,所以2a>1,
所以若命題p為真,則a>.
當(dāng)命題q為真時(shí),a應(yīng)滿足a=1或
解
21、得-≤a≤1.
所以當(dāng)p,q中有且僅有一個(gè)為真命題時(shí),
有或
所以a∈∪(1,+∞).
22.命題p:x2-4mx+1=0有實(shí)數(shù)解,命題q:?x0∈R,使得m-2x0-1>0成立.
(1)若命題p為真命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若命題q為真命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)若命題(?p)∨(?q)為真命題,且命題p∨q為真命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解析】(1)因?yàn)榉匠蘹2-4mx+1=0有實(shí)根,
所以Δ=16m2-4≥0,解得m≤-或m≥.
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是∪.
(2)設(shè)f(x)=mx2-2x-1.
當(dāng)m=0時(shí),f(x)=-2x-1,q為真命題;
當(dāng)m>0時(shí),q為真命題;
當(dāng)m<0時(shí),需有Δ=4+4m>0,解得-1