3、(a2＋a8)＝11.
∵a4，a7，a12成等比數(shù)列，
∴a＝a4·a12，
即(11＋2d)2＝(11－d)·(11＋7d)，
又d≠0，
∴d＝2，
∴a1＝11－4×2＝3，
∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1(n∈N*)．
(2)證明 由(1)得，Sn＝＝n(n＋2)，
∴＝＝，
∴Tn＝＋＋…＋
＝
＝
＝－<.
∴Tn<.
3．(2018·廈門質(zhì)檢)如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝，BC＝2AD＝2，E為CD的中點，PB⊥AE.
(1)證明：平面PBD⊥平面ABCD；
(2)若PB＝PD，P
4、C與平面ABCD所成的角為，求二面角B－PD－C的余弦值．
(1)證明 由ABCD是直角梯形，
AB＝，BC＝2AD＝2，可得DC＝2，BD＝2，
從而△BCD是等邊三角形，
∠BCD＝，BD平分∠ADC，
∵E為CD的中點，DE＝AD＝1，
∴BD⊥AE.
又∵PB⊥AE，PB∩BD＝B，
又PB，BD?平面PBD，
∴AE⊥平面PBD.
∵AE?平面ABCD，
∴平面PBD⊥平面ABCD.
(2)解 方法一 作PO⊥BD于點O，連接OC，
∵平面PBD⊥平面ABCD，
平面PBD∩平面ABCD＝BD，
PO?平面PBD，
∴PO⊥平面ABCD，
∴∠P
5、CO為PC與平面ABCD所成的角，∠PCO＝，
又∵PB＝PD，
∴O為BD的中點，OC⊥BD，OP＝OC＝，
以O(shè)為坐標原點，分別以O(shè)B，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
則B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，P(0,0，)，
＝(0，，－)，＝(－1,0，－)．
設(shè)平面PCD的一個法向量為n＝(x，y，z)，
由得
令z＝1，則x＝－，y＝1，得n＝(－，1,1)．
又平面PBD的一個法向量為m＝(0,1,0)，
設(shè)二面角B－PD－C的平面角為θ，
則|cos θ|＝＝＝，
由圖可知θ為銳角，
∴所求二面角B－PD－C的余
6、弦值是.
方法二 作PO⊥BD于點O，連接OC，
∵平面PBD⊥平面ABCD，
平面PBD∩平面ABCD＝BD，
PO?平面PBD，
∴PO⊥平面ABCD，
∴∠PCO為PC與平面ABCD所成的角，∠PCO＝，
又∵PB＝PD，
∴O為BD的中點，OC⊥BD，OP＝OC＝，
作OH⊥PD于點H，連接CH，
則PD⊥平面CHO，
又HC?平面CHO，則PD⊥HC，
則∠CHO為所求二面角B－PD－C的平面角．
由OP＝，得OH＝，
∴CH＝，
∴cos∠CHO＝＝＝.
4．(2018·益陽模擬)某大型水果超市每天以10元/千克的價格從水果基地購進若干A水果，然
7、后以15元/千克的價格出售，若有剩余，則將剩余的水果以8元/千克的價格退回水果基地，為了確定進貨數(shù)量，該超市記錄了A水果最近50天的日需求量(單位：千克)，整理得下表：
日需求量
140
150
160
170
180
190
200
頻數(shù)
5
10
8
8
7
7
5
以50天記錄的各日需求量的頻率代替各日需求量的概率．
(1)若該超市一天購進A水果150千克，記超市當天A水果獲得的利潤為X(單位：元)，求X的分布列及期望；
(2)若該超市計劃一天購進A水果150千克或160千克，請以當天A水果獲得的利潤的期望值為決策依據(jù)，在150千克與160千克之
8、中任選其一，應(yīng)選哪一個？若受市場影響，剩余的水果以7元/千克的價格退回水果基地，又該選哪一個？
解 (1)若A水果日需求量為140千克，
則X＝140×(15－10)－(150－140)×(10－8)
＝680(元)，
且P(X＝680)＝＝0.1.
若A水果日需求量不小于150千克，
則X＝150×(15－10)＝750(元)，
且P(X＝750)＝1－0.1＝0.9.
故X的分布列為
X
680
750
P
0.1
0.9
E(X)＝680×0.1＋750×0.9＝743.
(2)設(shè)該超市一天購進A水果160千克，
當天的利潤為Y(單位：元)，
則Y
9、的可能取值為
140×5－20×2,150×5－10×2,160×5，
即660,730,800，
則Y的分布列為
Y
660
730
800
P
0.1
0.2
0.7
E(Y)＝660×0.1＋730×0.2＋800×0.7＝772.
因為772>743，所以該超市應(yīng)購進160千克A水果．
若剩余的水果以7元/千克的價格退回水果基地，
同理可得X，Y的分布列分別為
X
670
750
P
0.1
0.9
Y
640
720
800
P
0.1
0.2
0.7
因為670×0.1＋750×0.9<640×0.1＋720×
10、0.2＋800×0.7，
所以該超市還是應(yīng)購進160千克A水果．
5.如圖，在平面直角坐標系中，橢圓C：＋＝1(a>b>0)過點，離心率為.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)過點K(2,0)作一直線與橢圓C交于A，B兩點，過A，B兩點作直線l：x＝的垂線，垂足分別為A1，B1，試問直線AB1與A1B的交點是否為定點，若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．
解 (1)由題意得?
所以橢圓C的標準方程為＋y2＝1.
(2)①當直線AB的斜率不存在時，直線l：x＝，
AB1與A1B的交點是.
②當直線AB的斜率存在時，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直線AB為y
11、＝k(x－2)，
由
得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
A1，B1，
所以：y＝＋y2，
：y＝＋y1，
聯(lián)立解得x＝＝
＝＝，
代入上式可得y＝＋y2
＝
＝＝0.
綜上，直線AB1與A1B過定點.
6．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)(a∈R)．
(1)當a＝1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若f(x)≥0對任意x∈[1，＋∞)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
(3)當θ∈時，試比較ln(tan θ)與tan的大小，并說明理由．
解 (1)當a＝1時，f(x)＝(x＋1)ln x－(x－1)
12、，
f′(x)＝ln x＋，
設(shè)g(x)＝ln x＋(x>0)，則g′(x)＝，
當x∈(0,1)時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，
當x∈(1，＋∞)時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，
g(x)min＝g(1)＝1>0，
∴f′(x)>0.故f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
無單調(diào)遞減區(qū)間．
(2)f′(x)＝ln x＋＋1－a＝g(x)＋1－a，
由(1)可知g(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增，
則g(x)≥g(1)＝1，
即f′(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增，且f′(1)＝2－a，
①當a≤2時，f′(x)≥0，
f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上
13、單調(diào)遞增，
∴f(x)≥f(1)＝0滿足條件；
②當a>2時，設(shè)h(x)＝ln x＋＋1－a(x≥1)，
則h′(x)＝－＝≥0(x≥1)，
∴h(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增，
且h(1)＝2－a<0，h(ea)＝1＋e－a>0，
∴?x0∈[1，ea]，使得h(x0)＝0，
∴當x∈[1，x0)時，h(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，
即當x∈[1，x0)時，f(x)≤f(1)＝0，不滿足題意．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為(－∞，2]．
(3)由(2)可知，取a＝2，
當x>1時，f(x)＝(x＋1)ln x－2(x－1)>0，
即ln x>，
當01，
∴l(xiāng)n>?<，
又∵tan＝，
∴當0<θ<時，01，
ln(tan θ)>tan.
綜上，當θ∈時，ln(tan θ)tan.
（京津?qū)Ｓ茫?022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練（80分）解答題標準練（一）理
