新人教版八上數(shù)學(xué)培優(yōu)講義(15講)

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第一講 三角形 考點(diǎn)方法破譯 1．了解與三角形有關(guān)的線段(邊、高、中線、角平分線)，會(huì)畫出任意三角形的高、中線、角平分線. 2．知道三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊. 3．了解與三角形有關(guān)的角(內(nèi)角、外角) . 4．掌握三角形三內(nèi)角和等于180，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和. 5．會(huì)用方程的思想解與三角形基本要素相關(guān)的問(wèn)題. 6．會(huì)從復(fù)雜的圖形中找到基本圖形，從而尋求解決問(wèn)題的方法. 經(jīng)典考題賞析 【例１】若的三邊分別為4，x，9，則x的取值范圍是______________，周長(zhǎng)l的取值范圍是______________??；當(dāng)周長(zhǎng)為奇數(shù)時(shí)，x＝______________. 【變式題組】 1．若△ABC的三邊分別為4，x，9，且9為最長(zhǎng)邊，則x的取值范圍是______________，周長(zhǎng)l的取值范圍是______________. 2．設(shè)△ABC三邊為a，b，c的長(zhǎng)度均為正整數(shù)，且a＜b＜c，a+b+c＝13，則以a，b，c為邊的三角形，共有______________個(gè). 3．用9根同樣長(zhǎng)的火柴棒在桌面上擺一個(gè)三角形（不許折斷）并全部用完，能擺出不同形狀的三角形個(gè)數(shù)是(　　　). A．1 B．2 C．3 D．4 【例２】已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為18cm，周長(zhǎng)為58cm，試求三角形三邊的長(zhǎng). 【變式題組】 1．已知等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別為6cm，12cm，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是(　　　) A．24cm B．30cm C．24cm或30cm D．18cm 2．已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別是4cm和9cm，則下列長(zhǎng)度的四條線段中能作為第三條邊的是(　　　) A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm 3．等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)分成12和10兩部分，則此等腰三角形的腰長(zhǎng)為______________. 【例３】如圖AD是△ABC的中線，DE是△ADC的中線，EF是△DEC的中線，F(xiàn)G是△EFC的中線，若S△GFC＝1cm2，則S△ABC＝______________. 【變式題組】 1．如圖，已知點(diǎn)D、E、F分別是BC、AD、BE的中點(diǎn)，S△ABC＝4，則S△EFC＝______________. 2．如圖，點(diǎn)D是等腰△ABC底邊BC上任意一點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若一腰上的高為4cm，則DE+DF＝______________. 3．如圖，已知四邊形ABCD是矩形(AD＞AB) ，點(diǎn)E在BC上，且AE＝AD，DF⊥AE于F，則DF與AB的數(shù)量關(guān)系是______________. 【例４】已知，如圖，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E ＝______________. 【變式題組】 1．如圖，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E ＝______________. 2．如圖，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F＝______________. 3．如圖，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F ＝______________. 【例５】如圖，已知∠A＝70，BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB．則∠BOC ＝ ______________. 【變式題組】 1．如圖，∠A＝70，∠B＝40，∠C＝20，則∠BOC＝______________. 3．如圖，∠O＝140，∠P＝100，BP、CP分別平分∠ABO、∠ACO，則∠A＝______________. 【例６】如圖，已知∠B＝35，∠C＝47，AD⊥BC，AE平分∠BAC，則∠EAD＝______________. 【變式題組】 1.（改）如圖，已知∠B＝39，∠C＝61，BD⊥AC，AE平分∠BAC，則∠BFE＝__________. 2．如圖，在△ABC中，∠ACB＝40，AD平分∠BAC，∠ACB的外角平分線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，點(diǎn)F是BC上一動(dòng)點(diǎn)(F、D不重合) ，過(guò)點(diǎn)F作EF⊥BC交于點(diǎn)E，下列結(jié)論:①∠P+∠DEF為定值，②∠P－∠DEF為定值中，有且只有一個(gè)答案正確，請(qǐng)你作出判斷，并說(shuō)明理由. *【例７】如圖，在平面內(nèi)將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△AB′C′，使CC′∥AB，若∠BAC＝70，則旋轉(zhuǎn)角α＝______________. 【變式題組】 1.如圖，用等腰直角三角形板畫∠AOB＝45，并將三角板沿OB方向平移到如圖所示的虛線后繞點(diǎn)M逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)22，則三角板的斜邊與射線OA的直角α＝______________. 2．如圖，在平面內(nèi)將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角度得到△OA′B′，若點(diǎn)A′在AB上時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角α＝______________.(∠AOB＝90，∠B＝30) 3．如圖，△ABE和△ACD是△ABC沿著AB邊，AC邊翻折180形成的，若∠BAC＝130，則∠α＝______________. 演練鞏固反饋提高 1．如圖，圖中三角形的個(gè)數(shù)為(　　　) A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè) 2．如果三角形的三條高的交點(diǎn)恰是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是(　　　) A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．不確定 3．有4條線段，長(zhǎng)度分別是4cm，8cm，10cm，12cm，選其中三條組成三角形，可以組成三角形的個(gè)數(shù)是(　　　) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 4．下列語(yǔ)句中，正確的是(　　　) A．三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角 B．三角形的一個(gè)外角等于這個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角的和 C．三角形的外角中，至少有兩個(gè)鈍角 D．三角形的外角中，至少有一個(gè)鈍角 5．若一個(gè)三角形的一個(gè)外角小于與它相鄰的內(nèi)角，則這個(gè)三角形是(　　　) A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．無(wú)法確定 6．若一個(gè)三角形的一個(gè)外角大于與它相鄰的內(nèi)角，則這個(gè)三角形是(　　　) A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．無(wú)法確定 7．如果等腰三角形的一邊長(zhǎng)是5cm，另一邊長(zhǎng)是9cm，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是______________. 8．三角形三條邊長(zhǎng)是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，且三角形的周長(zhǎng)不大于18，則這個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別是______________. 9．如圖，在△ABC中，∠A＝42，∠B與∠C的三等分線，分別交于點(diǎn)D、E，則∠BDC的度數(shù)是______________. 10．如圖，光線l照射到平面鏡上，然后在平面鏡Ⅰ、Ⅱ之間來(lái)回反射，已知∠α＝55，∠γ＝75，∠β＝______________. 11．如圖，點(diǎn)D、E、F分別是BC、AD、BE的中點(diǎn)，且S△EFC＝1，則S△ABC＝______________. 12．如圖，已知: ∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63，則∠DAC＝______________. 13．如圖，已知點(diǎn)D、E是BC上的點(diǎn)，且BE＝AB，CD＝CA，∠DAE＝∠BAC，求∠BAC的度數(shù) 培優(yōu)升級(jí)奧賽檢測(cè) 1．在△ABC中，2∠A＝3∠B，且∠C－30＝∠A+∠B，則△ABC是(　　　) A．銳角三角形 　　　　　　　　B．鈍角三角形 C．有一個(gè)角是30的直角三角形 D．等腰直角三角形 B． C． 2．已知三角形的三邊a、b、c的長(zhǎng)都是整數(shù)，且a≤b≤c，如果b＝7，則這樣的三角形共有(　　　) A．21個(gè) B．28個(gè) C．49個(gè) D．54個(gè) 3．在△ABC中，∠A＝50，高BE、CF交于O點(diǎn)，則∠BOC＝______________. 4．在等腰△ABC中，一腰上的高與另一腰的夾角為26，則底角的度數(shù)為______________. 5．如圖，BP平分∠ABC交CD于點(diǎn)F，DP平分∠ADC交AB于點(diǎn)E，若∠A＝40，∠C＝38，則∠P＝ ______________. 6．如圖，已知OABC是一個(gè)長(zhǎng)方形，其中頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(0，a)和(9，a).點(diǎn)E在AB上 ，且AE＝AB．點(diǎn)F在OC上 ，且OF＝OC，點(diǎn)G在OA上，且使△GEC的面積為16，試求α的值. 7．如圖，已知四邊形ABCD中，∠A+∠DCB＝180，兩組對(duì)邊延長(zhǎng)后分別交于P、Q兩點(diǎn)，∠P、∠Q的平分線交于M，求證PM⊥QM. 第二講 全等三角形的性質(zhì)與判定 考點(diǎn)方法破譯 1．能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.全等三角形的形狀和大小完全相同； 2．全等三角形性質(zhì)：①全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；②全等三角形對(duì)應(yīng)高、角平分線、中線相等；③全等三角形對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)相等，面積相等； 3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，對(duì)于兩個(gè)直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，還有HL法； 4．證明兩個(gè)三角形全等的關(guān)鍵，就是證明兩個(gè)三角形滿足判定方法中的三個(gè)條件，具體分析步驟是先找出兩個(gè)三角形中相等的邊或角，再根據(jù)選定的判定方法，確定還需要證明哪些相等的邊或角，再設(shè)法對(duì)它們進(jìn)行證明； 5．．證明兩個(gè)三角形全等，根據(jù)條件，有時(shí)能直接進(jìn)行證明，有時(shí)要證的兩個(gè)三角形并不全等，這時(shí)需要添加輔助線構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、等倍延長(zhǎng)線中線、截取等等. 經(jīng)典考題賞析 【例１】如圖，AB∥EF∥DC,∠ABC＝90,AB＝CD，那么圖中有全等三角形（ ） B A C D E F A．5對(duì) B．4對(duì) C．3對(duì) D．2對(duì) 【變式題組】 1．（武漢2011）下列判斷中錯(cuò)誤的是（ ） A．有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 B．有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 C．有兩邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 D．有一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等 A F C E D B 2．（黃岡）已知命題：如圖，點(diǎn)A、D、B、E在同一條直線上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，則△ABC≌△DEF.判斷這個(gè)命題是真命題還是假命題，如果是真命題，請(qǐng)給出證明；如果是假命題，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)條件使它成為真命題，并加以證明. 3．(上海)已知線段AC與BD相交于點(diǎn)O, 連接AB、DC，E為OB的中點(diǎn)，F(xiàn)為OC的中點(diǎn)，連接EF（如圖所示）. ⑴添加條件∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，求證：AB＝DC； A B C D O F E ⑵分別將“∠A＝∠D”記為①，“∠OEF＝∠OFE”記為②，“AB＝DC”記為③，添加①、③，以②為結(jié)論構(gòu)成命題1；添加條件②、③，以①為結(jié)論構(gòu)成命題2.命題1是______命題，命題2是_______命題（選擇“真”或“假”填入空格）. A C E F B D 【例２】已知AB＝DC，AE＝DF，CF＝FB. 求證：AF＝DE. 【變式題組】 1．如圖，AD、BE是銳角△ABC的高，相交于點(diǎn)O，若BO＝AC，BC＝7，CD＝2，則AO的長(zhǎng)為（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 A E 第1題圖 A B C D E B C D O 第2題圖 2.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90，AE是過(guò)A點(diǎn)的一條直線，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，則BD＝__________. \ 3．（孝感2013）已知：如圖，在△ABC中，∠ ACB＝90，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AC上，CE＝BC，過(guò)點(diǎn)E作AC的垂線，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F. 求證：AB＝FC. A F E C B D 【例３】如圖①，△ABC≌△DEF，將△ABC和△DEF的頂點(diǎn)B和頂點(diǎn)E重合，把△DEF繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，這時(shí)AC與DF相交于點(diǎn)O. ⑴當(dāng)△DEF旋轉(zhuǎn)至如圖②位置，點(diǎn)B（E）、C、D在同一直線上時(shí)，∠AFD與∠DCA的數(shù)量關(guān)系是________________; ⑵當(dāng)△DEF繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖③位置時(shí)，⑴中的結(jié)論成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由_____________. B（E） O C F 圖③ F A B C D E F A B(E) C D D A 圖② 圖① 【變式題組】 1．（紹興2013）如圖，D、E分別為△ABC的AC、BC邊的中點(diǎn)，將此三角形沿DE折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)P處.若∠CDE＝48，則∠APD等于（ ） A．42 B．48 C．52 D．58 2．如圖，Rt△ABC沿直角邊BC所在的直線向右平移得到△DEF，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ） A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90 C． AC＝DF D．EC＝CF E F B A B P D E C 第1題圖 A C D G 第2題圖 3．一張長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線剪開，得到兩種三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成如下圖形式，使點(diǎn)B、F、C、D在同一條直線上. ⑴求證：AB⊥ED； ⑵若PB＝BC，找出圖中與此條件有關(guān)的一對(duì)全等三角形，并證明. B F A C E N M P D D A C B F E 【例４】（第21屆江蘇競(jìng)賽試題）已知，如圖，BD、CE分別是△ABC的邊A C和AB邊上的高，點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線，BP＝AC，點(diǎn)Q在CE上，CQ＝AB. 求證：⑴ AP＝AQ；⑵AP⊥AQ 2 1 A B C P Q E F D 【變式題組】 A B C D F E 1．如圖，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BA＝ED，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，求證：AF⊥CD. 2．（湖州市競(jìng)賽試題）如圖，在一個(gè)房間內(nèi)有一個(gè)梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距離MA為am，此時(shí)梯子的傾斜角為75，如果梯子底端不動(dòng)，頂端靠在對(duì)面的墻上，此時(shí)梯子頂端距地面的垂直距離NB為bm，梯子傾斜角為45，這間房子的寬度是（ ） A． B． C．bm D．a(chǎn)m A E C B A 75 C 45 B N M 第2題圖 第3題圖 D 3． 如圖，已知五邊形ABCDE中，∠ ABC＝∠AED＝90，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，則五邊形ABCDE的面積為__________ 演練鞏固反饋提高 1．（海南2011）已知圖中的兩個(gè)三角形全等，則∠α度數(shù)是（ ） A．72 B．60 C．58 D．50 第3題圖 第1題圖 C A O D B P 第2題圖 A C A/ B B/ a α c c a 50 b 72 58 2．如圖，△ACB≌△A/C/B/，∠ BCB/＝30，則∠ACA/的度數(shù)是（ ） A．20 B．30 C．35 D．40 3．尺規(guī)作圖作∠AOB的平分線方法如下：以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧交OA、OB于C、D，再分別以點(diǎn)C、D為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線OP，由作法得△OCP≌△ODP的根據(jù)是（ ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 4．（武漢2012）如圖，已知AB＝AD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ABC≌△ADC的是（ ） A. CB＝CD B.∠BAC＝∠DAC C. ∠BCA＝∠DCA D.∠B＝∠D＝90 E 2 1 N A B D C 第5題圖 A B C D E A B C D 第4題圖 第6題圖 M 5．有兩塊不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BDE，將它們的一個(gè)銳角頂點(diǎn)放在一起，將它們的一個(gè)銳角頂點(diǎn)放在一起，如圖，當(dāng)A、B、D不在一條直線上時(shí)，下面的結(jié)論不正確的是（ ） A. △ABE≌△CBD B. ∠ABE＝∠CBD C. ∠ABC＝∠EBD＝45 D. AC∥BE 6．如圖，△ABC和共頂點(diǎn)A，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E. BC交AD于M，DE交AC于N，小華說(shuō)：“一定有△ABC≌△AED.”小明說(shuō)：“△ABM≌△AEN.”那么（ ） A. 小華、小明都對(duì) B. 小華、小明都不對(duì) C. 小華對(duì)、小明不對(duì) D.小華不對(duì)、小明對(duì) 7．如圖，已知AC＝EC, BC＝CD, AB＝ED,如果∠BCA＝119，∠ACD＝98,那么∠ECA的度數(shù)是___________. 8．如圖，△ABC≌△ADE，BC延長(zhǎng)線交DE于F，∠B＝25,∠ACB＝105，∠DAC＝10，則∠DFB的度數(shù)為_______. 9．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90, DE⊥AB于D, BC＝BD. AC＝3，那么AE＋DE＝______ 第10題圖 A B C D E 第9題圖 E A B C D A B C D E F O C A E B D 第7題圖 第8題圖 10．如圖，BA⊥AC, CD∥AB. BC＝DE，且BC⊥DE，若AB＝2, CD＝6，則AE＝_____. 11．如圖, AB＝CD, AB∥CD. BC＝12cm，同時(shí)有P、Q兩只螞蟻從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向爬行，P的速度是0.1cm/s, Q的速度是0.2cm/s. 求爬行時(shí)間t為多少時(shí)，△APB≌△QDC. D A C . Q P . B D B A C E F 12．如圖, △ABC中，∠BCA＝90，AC＝BC，AE是BC邊上的中線，過(guò)C作CF⊥AE，垂足為F，過(guò)B作BD⊥BC交CF的延長(zhǎng)線于D. ⑴求證：AE＝CD； ⑵若AC＝12cm, 求BD的長(zhǎng). A E B F D C 13．（吉林）如圖，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD等于AE，AB平分∠DAE交DE于點(diǎn)F, 請(qǐng)你寫出圖中三對(duì)全等三角形，并選取其中一對(duì)加以證明. 14．如圖，將等腰直角三角板ABC的直角頂點(diǎn)C放在直線l上，從另兩個(gè)頂點(diǎn)A、B分別作l的垂線，垂足分別為D、E. B D E C l A ⑴找出圖中的全等三角形，并加以證明； ⑵若DE＝a，求梯形DABE的面積.（溫馨提示：補(bǔ)形法） 15．如圖，AC⊥BC, AD⊥BD, AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分別是E、F.求證：CE＝DF. A E F B D C 培優(yōu)升級(jí)奧賽檢測(cè) 1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且AE＝AF，BF、CE相交于點(diǎn)O，連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，則圖中全等三角形有（ ） A．4對(duì) B．5對(duì) C．6對(duì) D．7對(duì) F 第6題圖 2 1 A B C E N M 3 2 1 A D E B C F A D E C O A E O B F C D 第1題圖 B 第2題圖 第3題圖 2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，OC＝OD，下列結(jié)論中：①∠A＝∠B ②DE＝CE，③連接DE, 則OE平分∠AOB，正確的是（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 3．如圖，A在DE上，F(xiàn)在AB上，且AC＝CE , ∠1=∠2=∠3, 則DE的長(zhǎng)等于（） A．DC B. BC C. AB D.AE＋AC 4．下面有四個(gè)命題，其中真命題是（ ） A．兩個(gè)三角形有兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形全等 B．兩邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 C. 有一角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等 D. 兩邊和第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 5．在△ABC中，高AD和BE所在直線相交于H點(diǎn),且BH＝AC，則∠ABC＝_______. 6．如圖，EB交AC于點(diǎn)M, 交FC于點(diǎn)D, AB交FC于點(diǎn)N，∠E＝∠F＝90，∠B＝∠C, AE＝AF. 給出下列結(jié)論：①∠1＝∠2；②BE＝CF; ③△ACN≌△ABM; ④CD＝DB，其中正確的結(jié)論有___________.（填序號(hào)） 7．如圖，AD為在△ABC的高，E為AC上一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F,且有BF＝AC，F(xiàn)D＝CD. ⑴求證：BE⊥AC； A E F C D B ⑵若把條件“BF＝AC”和結(jié)論“BE⊥AC”互換，這個(gè)命題成立嗎？證明你的判定. 8． 如圖，D為在△ABC的邊BC上一點(diǎn)，且CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中線. 求證：AC＝2AE. A B E D C 9．如圖，在凸四邊形ABCD中，E為△ACD內(nèi)一點(diǎn)，滿足AC＝AD，AB＝AE, ∠BAE＋∠BCE＝90, ∠BAC＝∠EAD.求證：∠CED＝90. A E B D C A D E G C H B 10．如圖，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝180. AH⊥AH于H，HA的延長(zhǎng)線交DE于G. 求證：GD＝GE. 第三講 角平分線的性質(zhì)與判定 考點(diǎn)方法破譯 1．角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等. 2．角平分線的判定定理：角的內(nèi)角到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上. 3．有角平分線時(shí)常常通過(guò)下列幾種情況構(gòu)造全等三角形. 經(jīng)典考題賞析 【例１】如圖，已知OD平分∠AOB，在OA、OB邊上截取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD.求證：PM＝PN 【變式題組】 1．如圖，CP、BP分別平分△ABC的外角∠BCM、∠CBN.求證：點(diǎn)P在∠BAC的平分線上. 2．如圖，BD平分∠ABC，AB＝BC，點(diǎn)P是BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，PM⊥AD，PN⊥CD.求證：PM＝PN 【例２】（天津競(jìng)賽題）如圖，已知四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于點(diǎn)E，且AE＝(AB＋AD)，如果∠D＝120，求∠B的度數(shù) 【變式題組】 1．如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，AC＝5，BC＝3.求 2．(河北競(jìng)賽)在四邊形ABCD中，已知AB＝a，AD＝b.且BC＝DC，對(duì)角線AC平分∠BAD，問(wèn)a與b的大小符合什么條件時(shí)，有∠B＋∠D＝180，請(qǐng)畫圖并證明你的結(jié)論. 【例３】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90,AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE.求證：CE＝BD 【變式題組】 1．如圖，已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB、∠DBA，CD過(guò)點(diǎn)E，求證：AB＝AC＋BD. 2．如圖，在△ABC中，∠B＝60，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F. ⑴請(qǐng)你判斷FE和FD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由； ⑵求證：AE＋CD＝AC. 演練鞏固反饋提高 1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，BD平分∠ABC交AC于D，若CD＝n，AB＝m，則△ABD的面積是（ ） A．mn B．mn C． mn D．2 mn 2．如圖，已知AB＝AC，BE＝CE，下面四個(gè)結(jié)論：①BP＝CP；②AD⊥BC；③AE平分∠BAC；④∠PBC＝∠PCB.其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（ ）個(gè) A． 1 B．2 C．3 D．4 3．如圖，在△ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點(diǎn)，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分別是R、S.若AQ＝PQ，PR＝PS，下列結(jié)論：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正確的是（ ） A． ①③ B．②③ C．①② D．①②③ 4．如圖，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，則下列四個(gè)結(jié)論中：①AD上任意一點(diǎn)到B、C的距離相等；②AD上任意一點(diǎn)到AB、AC的距離相等；③AD⊥BC且BD＝CD；④∠BDE＝∠CDF.其中正確的是（ ） A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，∠CAB＝30，∠ACB的平分線與∠ABC的外角平分線交于E點(diǎn)，則∠AEB的度數(shù)為（ ） A．50 B．45 C．40 D．35 6．如圖，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，給出下列結(jié)論：①AD＝AF；②AB＋EC＝AC＋BE；③BC＋CF＝AB＋AF；④點(diǎn)P是△ABC三條角平分線的交點(diǎn).其中正確的序號(hào)是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 7．如圖，點(diǎn)P是△ABC兩個(gè)外角平分線的交點(diǎn)，則下列說(shuō)法中不正確的是（ ） A．點(diǎn)P到△ABC三邊的距離相等 B．點(diǎn)P在∠ABC的平分線上 C．∠P與∠B的關(guān)系是：∠P＋∠B＝90 D．∠P與∠B的關(guān)系是：∠B＝∠P 8．如圖，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，BD與CD相交于D.給出下列結(jié)論：①點(diǎn)D到AB、AC的距離相等；②∠BAC＝2∠BDC；③DA＝DC；④DB平分∠ADC.其中正確的個(gè)數(shù)是（ ） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 9．如圖，△ABC中，∠C＝90AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，下列結(jié)論中：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③ DE平分∠ADB；④AB＝AC＋BE.其中正確的個(gè)數(shù)有（ ） A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．4個(gè) 10．如圖，已知BQ是∠ABC的內(nèi)角平分線，CQ是∠ACB的外角平分線，由Q出發(fā)，作點(diǎn)Q到BC、AC和AB的垂線QM、QN和QK，垂足分別為M、N、K，則QM、QN、QK的關(guān)系是_________ 11．如圖，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC.求證：BE＝CF 12．如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F.求證：AD⊥EF. 培優(yōu)升級(jí)奧賽檢測(cè) 1．如圖，直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有（ ） A．一處 B．二處 C．三處 D．四處 2．已知Rt△ABC中，∠C＝90，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝32，且BD:CD＝9:7，則D到AB邊的距離為（ ） A．18 B．16 C．14 D．12 3．如圖，△ABC中，∠C＝90，AD是△ABC的平分線，有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從A向B運(yùn)動(dòng).已知：DC＝3cm，DB＝4cm，AD＝8cm.DP的長(zhǎng)為x(cm)，那么x的范圍是__________ 4．如圖，已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分別為E、F、G，且PF＝PG＝PE，則∠BPD＝__________ 5．如圖，已知AB∥CD，O為∠CAB、∠ACD的平分線的交點(diǎn)，OE⊥AC，且OE＝2，則兩平行線AB、CD間的距離等于__________ 6．如圖，AD平分∠BAC，EF⊥AD，垂足為P，EF的延長(zhǎng)線于BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G.求證：∠G＝(∠ACB－∠B) 7．如圖,在△ABC中,AB＞AC,AD是∠BAC的平分線,P為AC上任意一點(diǎn).求證:AB－AC＞DB－DC 8．如圖，在△ABC中，∠BAC＝60，∠ACB＝40，P、Q分別在BC、AC上，并且AP、BQ分別為∠BAC、∠ABC的角平分線上.求證：BQ＋AQ＝AB＋BP 第四講 軸對(duì)稱及軸對(duì)稱變換 考點(diǎn)方法破譯 1．軸對(duì)稱及其性質(zhì) 把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱，這條直線叫對(duì)稱軸. 軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形有如下性質(zhì)：①關(guān)于某直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形；②對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；③兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上. 2．線段垂直平分線 線段垂直平分線也叫線段中垂線，它反映了與線段的兩種關(guān)系：①位置關(guān)系——垂直；②數(shù)量關(guān)系——平分. 性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等. 判定定理：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上. 3．當(dāng)已知條件中出現(xiàn)了等腰三角形、角平分線、高（或垂線）、或求幾條折線段的最小值等情況時(shí)，通常考慮作軸對(duì)稱變換，以“補(bǔ)齊”圖形，集中條件. 經(jīng)典考題賞析 【例１】（蘭州）如圖所示，將一張正方形紙片對(duì)折兩次，然后在上面打3個(gè)洞，則紙片展開后是（ ） 【變式題組】 1．將正方形紙片兩次對(duì)折，并剪出一個(gè)菱形小洞后鋪平，得到的圖形是（ ） 2．（荊州）如圖，將矩形紙片ABCD沿虛線EF折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)G上，點(diǎn)D落在點(diǎn)H上；然后再沿虛線GH折疊，使B落在點(diǎn)E上，點(diǎn)C落在點(diǎn)F上，疊完后，剪一個(gè)直徑在BC上的半圓，再展開，則展開后的圖形為（ ） 【例2】（襄樊）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，將△ABC向右平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A’B’C’，則與點(diǎn)B’關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） A．（0，－1） B．（1，1） C．（2，－1） D．（1，－1） 【變式題組】 1．若點(diǎn)P（－2，3）與點(diǎn)Q（a，b）關(guān)于x軸對(duì)稱，則a、b的值分別是（ ） A．－2，3 B．2，3 C．－2，－3 D．2，－3 2．在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（－3，2），點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，將點(diǎn)Q向右平移4個(gè)單位得到點(diǎn)R，則點(diǎn)R的坐標(biāo)是___________. 3．（荊州）已知點(diǎn)P（a＋1，2a－1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在第一象限，則a的取值范圍為___________. 【例3】如圖，將一個(gè)直角三角形紙片ABC（∠ACB＝90），沿線段CD折疊，使點(diǎn)B落在B1處，若∠ACB1＝70，則∠ACD＝（ ） A．30 B．20 C．15 D．10 【變式題組】 1．（孝感）如圖，把一個(gè)長(zhǎng)方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)D’、C’的位置.若∠EFB＝65，則∠AED’等于（ ） A．70 B．65 C．50 D．25 2．如圖，△ABC中，∠A＝30，以BE為邊，將此三角形對(duì)折，其次，又以BA為邊，再一次對(duì)折，C點(diǎn)落在BE上，此時(shí)∠CDB＝82，則原三角形中∠B＝___________. 【例4】如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，EF是AD的垂直平分線，E為垂足，EF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：∠B＝∠CAF． 【變式題組】 1．如圖，點(diǎn)D在△ABC的BC邊上，且BC＝BD＋AD，則點(diǎn)D在__________的垂直平分線上． 2．如圖，△ABC中，∠ABC＝90，∠C＝15，DE⊥AC于E，且AE＝EC，若AB＝3cm，則DC＝___________cm． 3．如圖，△ABC中，∠BAC＝126，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，則∠EAG＝___________． 4.△ABC中，AB＝AC，AB邊的垂直平分線交AC于F，若AB＝12cm，△BCF的周長(zhǎng)為20cm，則△ABC的周長(zhǎng)是___________cm． 【例5】（荊州）如圖，在33的正方形格點(diǎn)圖中，有格點(diǎn)△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF關(guān)于某直線成軸對(duì)稱，請(qǐng)?jiān)谙旅娴膫溆脠D中畫出所有這樣的△DEF． 【變式題組】 1．如圖，在22的正方形格點(diǎn)圖中，有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC，請(qǐng)你找出格點(diǎn)圖中所有與△ABC成軸對(duì)稱且也以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，這樣的三角形共有___________個(gè)． 2．如圖甲，正方形被劃分成16個(gè) 全等的三角形，將其中若干個(gè)三角形涂黑，且滿足下列條件： ⑴涂黑部分的面積是原正方形面積的一半； ⑵涂黑部分成軸對(duì)稱圖形。 如圖乙是一種涂法，請(qǐng)?jiān)趫D1－3中分別設(shè)計(jì)另外三種涂法．（在所設(shè)計(jì)的圖案中，若涂黑部分全等，則認(rèn)為是同一種不同涂法，如圖乙與圖丙） 【例6】如圖，牧童在A處放牛，其家在B處，若牧童從A處出發(fā)牽牛到河岸CD處飲水后回家，試問(wèn)在何處飲水，所求路程最短？ 【變式題組】 1．（山西）設(shè)直線l是一條河，P、Q兩地相距8千米，P、Q兩地到l地距離分別為2千米、5千米，欲在l上的某點(diǎn)M處修建一個(gè)水泵站向P、Q兩地供水．現(xiàn)在如下四種鋪設(shè)管道方案，圖中的實(shí)線表示輔設(shè)的管道，則鋪設(shè)的管道最短的是（ ） 2．若點(diǎn)A、B是銳角∠MON內(nèi)兩點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)贠M、ON上確定點(diǎn)C、點(diǎn)D，使四邊形ABCD周長(zhǎng)最小，寫出你作圖的主要步驟并標(biāo)明你確定的點(diǎn)． 演練鞏固反饋提高 1．（黃岡）如圖，△ABC與△A’B’C’關(guān)于直線l對(duì)稱，且∠A＝78，∠C’＝48，則∠B的度數(shù)是（ ）． A．48 B．54 C．74 D．78 2．（泰州）如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片對(duì)折，折痕為AB，再以AB的中點(diǎn)O為頂點(diǎn)把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展開鋪平后得到的平面圖形一定是（ ） A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形 3．圖1是四邊形紙片ABCD，其中∠B＝120，∠D＝50，若將其右下角向內(nèi)折出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如圖2所示，則∠C＝（ ） A．80 B．85 C．95 D．110 4．如圖，陰影部分組成的圖案既是關(guān)于x軸成軸對(duì)稱的圖形又是關(guān)于y軸成軸對(duì)稱的圖形，若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，3），則點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)分別是（ ） A．M（1，－3），N（－1，－3） B．M（－1，－3），N（－1，3） C．M（－1，－3），N（1，－3） D．M（－1，3），N（1，－3） 5．點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)P’的坐標(biāo)是（－3，5），則點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） A．（3，－5） B．（－5，3） C．（3，5） D．（5，3） 06．已知M（1－a，2a＋2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)在第二象限，則a的取值范圍是（ ） A．－1＜a＜1 B．－1≤a≤1 C．a(chǎn)＞1 D．a(chǎn)＞－1 7．如圖，鏡子中號(hào)碼的實(shí)際號(hào)碼是___________． 8．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，則圖中陰影部分的面積為___________cm2. 9．已知點(diǎn)A（2a＋3b，－2）和B（8，3a＋2b）關(guān)于x軸對(duì)稱，則a＋b＝___________. 10．如圖，在△ABC中，OE、OF分別是AB、AC中垂線，且∠ABO＝20，∠ABC＝45，求∠BAC和∠ACB的度數(shù)． 11．如圖，C、D、E、F是一個(gè)長(zhǎng)方形臺(tái)球桌的4個(gè)頂點(diǎn)，A、B是桌面上的兩個(gè)球，怎樣擊打A球，才能使A球撞擊桌面邊緣CF后反彈能夠撞擊B球？請(qǐng)畫出A球經(jīng)過(guò)的路線，并寫出作法． 12．如圖，P為∠ABC的平分線與AC的垂直平分線的交點(diǎn)，PM⊥BC于M，PN⊥BA的延長(zhǎng)線于N．求證：AN＝MC． 13．（荊州）有如圖“”的8張紙條，用每4張拼成一個(gè)正方形圖案，拼成的正方形的每一行和每一列中，同色的小正方形僅為2個(gè) ，且使每個(gè)正方形圖案都是軸對(duì)稱圖形，在網(wǎng)格中畫出你拼成的圖．（畫出的兩個(gè)圖案不能全等） 培優(yōu)升級(jí)奧賽檢測(cè) 1．（浙江競(jìng)賽試題）如圖，直線l1與直線l2相交，∠α＝60，點(diǎn)P在∠α內(nèi)（不在l1l2上）．小明用下面的方法作P的對(duì)稱點(diǎn)：先以l1為對(duì)稱軸作點(diǎn)P關(guān)于l1的對(duì)稱點(diǎn)P1,再以l2為對(duì)稱軸作P1關(guān)于l2的對(duì)稱點(diǎn)P2，然后再以l1為對(duì)稱軸作P2關(guān)于l1的對(duì)稱點(diǎn)P3，以l2為對(duì)稱軸作P3關(guān)于l2的對(duì)稱點(diǎn)P4，……如此繼續(xù)，得到一系列P1、P2、P3……Pn與P重合，則n的最小值是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（宜昌）已知：如圖，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足為E，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，PB分別與線段CF、AF相交于P、M． ⑴求證：AB＝CD； ⑵若∠BAC＝2∠MPC，請(qǐng)你判斷∠F與∠MCD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由． 3．在△ABC中，∠BAC＝90，點(diǎn)A關(guān)于BC邊的對(duì)稱點(diǎn)為A’，點(diǎn)B關(guān)于AC邊的對(duì)稱點(diǎn)為B’，點(diǎn)C關(guān)于AB邊的對(duì)稱點(diǎn)為C’，若S△ABC＝1，求S△A’B’C’． 4．小王同學(xué)在小組數(shù)學(xué)活動(dòng)中，給本小組出了這樣一道“對(duì)稱跳棋”題：如圖，在作業(yè)本上畫一條直線l，在直線l兩邊各放一粒圍棋子A、B，使線段AB長(zhǎng)a厘米，并關(guān)于直線l對(duì)稱，在圖中P1處有一粒跳棋子，P1距A點(diǎn)b厘米、與直線l的距離C厘米，按以下程序起跳：第1次，從P1點(diǎn)以A為對(duì)稱中心跳至P2點(diǎn)；第2次，從P2點(diǎn)以l為對(duì)稱軸跳至P3點(diǎn)；第3次，從P3點(diǎn)以B為對(duì)稱中心跳至P4點(diǎn)；第4次，從P4以l為對(duì)稱軸跳至P1點(diǎn)； ⑴畫出跳棋子這4次跳過(guò)的路徑并標(biāo)注出各點(diǎn)字母；（畫圖工具不限） ⑵棋子按上述程序跳躍2011次后停下，假設(shè)a＝8，b＝6，c＝3，計(jì)算這時(shí)它與A的距離是多少？ 5.（孝感）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，－3），B（4，－1）． ⑴若P（p，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)p＝___________時(shí)，△PAB的周長(zhǎng)最短； ⑵若C（a，0），D（a＋3，0）是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)a＝___________時(shí) ，四邊形ABCD的周長(zhǎng)最短； ⑶設(shè)M、N分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)M（m，0）、N（0，n），使四邊形ABMN的周長(zhǎng)最短？若存在，請(qǐng)求出m＝___________，n＝___________（不必寫解答過(guò)程）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 第五講 等腰三角形 考點(diǎn)方法破譯 1．等腰三角形及其性質(zhì) 有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，因此它的性質(zhì)有：⑴等腰三角形的兩個(gè)底角相等（即等邊對(duì)等角）；⑵等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（即等腰三角形三線合一） 2．等腰三角形的判定 證明一個(gè)三角形是等腰三角形的基本方法是：⑴從定義入手，證明一個(gè)三角形有兩條邊相等；⑵從角入手，證明一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，依據(jù)是等腰三角形判定定理；等角對(duì)等邊． 3．構(gòu)造等腰三角形的常用方法 ⑴角平分線＋平行線＝等腰三角形 ⑵角平分線＋垂線（或高）＝等腰三角形 ⑶線段中垂線構(gòu)造等腰三角形 ⑷將2倍角轉(zhuǎn)化為相等角構(gòu)造等腰三角形 經(jīng)典考題賞析 【例１】 等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為400，則這個(gè)等腰三角形的底角為________________. 【變式題組】 1．（黃岡）在等腰⊿ABC中，AB＝AC，一邊上的中線BD將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為15和12兩個(gè)部分，則這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為（ ） A.7 B.11 C.7或11 D．7或10 2.（黃岡）在⊿ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為500，則∠B＝___________度． 3.（襄樊）在⊿ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝6cm,D為BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，那么當(dāng)t＝_________秒時(shí)，過(guò)D、P兩點(diǎn)的直線將⊿ABC的周長(zhǎng)分成兩個(gè)部分，使其中一部分是另一部分的2倍． 【例２】 如圖，在⊿ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，AD＝BD＝BC，求∠A的度數(shù)． 【變式題組】 1．如圖，在⊿ABC中，AB＝AC，BD＝BC,AD＝DE＝EB，求∠A的度數(shù)． 2．如圖，在⊿ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ ED＝EA，求∠A的大?。? 【例３】 已知坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A（2，－2），B是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)．若⊿AOB是等腰三角形，則這樣的點(diǎn)B一共有（ ）個(gè) A．4 B．5 C．6 D．8 【變式題組】 1．(海南競(jìng)賽試題)在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，已知A（3，－3），點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，則使⊿AOP為等腰三角形的點(diǎn)P共有（ ） A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) 2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，），點(diǎn)C在坐標(biāo)平面內(nèi)．若以A、B、C為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰三角形，且底角為30度，則滿足條件的點(diǎn)C有_________個(gè)． A B C D P E 第4題圖 第3題圖 第2題圖 3.（南昌）如圖，已知長(zhǎng)方形紙片ABCD，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G是BC上一點(diǎn)，∠BEG＞600，現(xiàn)沿直線EG將紙片折疊，使點(diǎn)B落在紙片中的點(diǎn)H處，連接AH，則與∠BEG相等的角的個(gè)數(shù)為（ ） A C B M D E (例4題圖) A．4 B．3 C．2 D．1 4．如圖所示，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，點(diǎn)E是折線段A－D－C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)．在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，使△PCB為等腰三角形的點(diǎn)E的位置共有（ ） A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) 【例４】 兩個(gè)全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置，E，A，C三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BD，取BD的中點(diǎn)M，連結(jié)ME，MC．試判斷△EMC的形狀，并說(shuō)明理由． 【變式題組】 1．如圖，在等腰直角三角形ABC中，P是斜邊BC的中點(diǎn),以P為直角頂點(diǎn)的兩邊分別與邊AB、AC交于點(diǎn)E、F，當(dāng)∠EPF繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與A、B重合)，⊿PEF也始終是等腰三角形，請(qǐng)你說(shuō)明理由． 2．如圖，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝900，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB垂足為E，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AC交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF交AD于G． ⑴求證：AD⊥CF; ⑵連接AF，試判斷⊿ACF的形狀，并說(shuō)明理由． 3．如圖，⊿ABC中，∠ACB＝900，AC＝BC,CO為中線．現(xiàn)將一直角三角板頂點(diǎn)放在點(diǎn)O上并繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，若三角板的兩直角邊分別交AC、CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G、H． ⑴試寫出圖中除AC＝BC,OA＝OB＝OC外其他所有相等的線段； ⑵請(qǐng)選一組你寫出的相等線段給予證明． 【例５】 我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．類似地，我們定義：至少有一組對(duì)邊相等的四邊形叫做等對(duì)邊四邊形． ⑴請(qǐng)寫出一個(gè)你學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是等對(duì)邊四邊形的圖形的名稱； ⑵如圖，在中，點(diǎn)分別在上，設(shè)相交于點(diǎn)，若，．請(qǐng)你寫出圖中一個(gè)與相等的角，并猜想圖中哪個(gè)四邊形是等對(duì)邊四邊形； ⑶在中，如果是不等于的銳角，點(diǎn)分別在上，且．探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對(duì)邊四邊形，并證明你的結(jié)論． 【變式題組】 1．如圖，在ABC中，∠B＝2∠C，AD為∠BAC的平分線．求證：AC＝AB＋BD. 2．(天津初賽試題)如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠BAD＝1050，∠ABC＝∠ADC＝450，若AB＝2，求CD的長(zhǎng)． 3．如圖，在ABC中，AB＝AC，D在AB上，F(xiàn)在AC延長(zhǎng)線上，BD＝CF．求證DE＝EF. 【變式題組】 1．(重慶)已知一個(gè)等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1:4，則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為（ ） A．200 B．1200 C．200或1200 D．3600 2．（云南）已知等腰三角形的兩邊分別為6和3，則此等腰三角形周長(zhǎng)為（ ） A．9 B．15 C．15 D．12或15 3.（云南）如圖，等腰ABC的周長(zhǎng)為21，底邊BC＝5，AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則BEC的周長(zhǎng)為（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 4．如圖，C、E和B、D、F分別在∠GAH的兩邊上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，若∠A＝180，則∠GEF的度數(shù)是（ ） A．800 B．900 C．1000 D．1080 5．如圖，RtABC中，CD是斜邊AB上的高，角平分線AE交CD于H，EF⊥AB于F，則下列結(jié)論中不正確的是（ ） A．∠ACD＝∠B B.CH＝CE＝EF C.CH＝HD D.AC＝AF 6．如圖，ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,那么下列結(jié)論：①BDF和CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE;③ADE的周長(zhǎng)等于AB與AC的和；④BF＝CF.其中正確的有（ ） A．①②③ B．①②③④ C．①② D．① 7.（武漢）如圖，已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，OA＝OB＝O